第一节数量值函数的曲线积分ppt课件

1、第一节第一节 数量值函数的曲线积分数量值函数的曲线积分 ( (第一类曲线积分第一类曲线积分) )一、第一类曲线积分的概念和性质一、第一类曲线积分的概念和性质二、第一类曲线积分的计算二、第一类曲线积分的计算三、几何与物理意义三、几何与物理意义一、第一类的曲线积分的概念一、第一类的曲线积分的概念1、问题的提出、问题的提出实例实例1 1柱面的面积柱面的面积（2 2曲线形构件的质量曲线形构件的质量oxyAB1 nMiM1 iM2M1M),(ii L分割分割,121insMMM ,),(iiis 取取.),(iiiisM 求和求和.),(1 niiiisM 取极限取极限.),(lim10 niiiisM

2、 近似值近似值精确值精确值2、定义、定义,),(,),(,),(,.,.),(,1121 niiiiiiiiiinsfsfisinLMMMLLyxfxoyL 并作和并作和作乘积作乘积点点个小段上任意取定的一个小段上任意取定的一为第为第又又个小段的长度为个小段的长度为设第设第个小段个小段分成分成把把上的点上的点用用上有界上有界在在函数函数面内一条光滑曲线弧面内一条光滑曲线弧为为设设oxyAB1 nMiM1 iM2M1M),(ii L.),(limd),(,d),(,),(,010 niiiiLLsfsyxfsyxfLyxf 即即记作记作线积分线积分第一类曲第一类曲上的曲线积分或上的曲线积分或在曲

3、线弧在曲线弧数数则称此极限为数量值函则称此极限为数量值函这和的极限存在这和的极限存在时时长度的最大值长度的最大值如果当各小弧段的如果当各小弧段的被积函数被积函数积分弧段积分弧段积分和式积分和式曲线形构件的质量曲线形构件的质量.),( LdsyxM 弧长元素弧长元素.对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分第一类曲线积分也称为第一类曲线积分也称为若在若在 L L 上上 f (x, y)1, f (x, y)1, Lsd定积分是否可看作对弧长曲线积分的特例定积分是否可看作对弧长曲线积分的特例 ? ? 否否! ! 对弧长的曲线积分要求对弧长的曲线积分要求 ds 0 ,但定积分中但定积分中dx 可能为负可能为

4、负.d),(),( LsyxfLyxf记为记为上对弧长的曲线积分上对弧长的曲线积分在闭曲线在闭曲线函数函数= L的长度的长度. 思考题思考题3 . 第一类曲线积分存在的条件：第一类曲线积分存在的条件：1) 假设假设 f (x , y)在光滑曲线在光滑曲线 L上连续，那么上连续，那么 一定存在一定存在. Lsyxfd),(2) f (x,y)在在L上有界且在上有界且在L上只有有限个间断点时，上只有有限个间断点时， 存在存在. Lsyxfd),(4. 第一类曲线积分的性质第一类曲线积分的性质 (1)( , )( , )d( , )d( , )d .LLLf x yg x ysf x ysg x y

5、s).,(为常数为常数 .d),(d),(d),()2(21 LLLsyxfsyxfsyxf).(21LLL 定理定理且：且：存在存在则则且且上具有一阶连续导数上具有一阶连续导数在在其中其中的参数方程为的参数方程为上有定义且连续上有定义且连续在曲线弧在曲线弧设设,d),(,0)()(,)(),()(),(),(,),(22 LsyxftytxtytxttyytxxLLyxf ttytxtytxfsyxfLd)()()(),(d),(22 )( 二、第一类曲线积分的计算二、第一类曲线积分的计算xdydsdxyo3. 注意到注意到 22)(d)(ddyxs tttd)()(22 x因此上述计算公式

6、相当于因此上述计算公式相当于“换元法换元法”. . 注意注意: :;. 1 一一定定要要小小于于上上限限定定积积分分的的下下限限.,),(. 2而是相互有关的而是相互有关的不彼此独立不彼此独立中中yxyxf第一类曲线积分在一定条件下化为定积分计算，第一类曲线积分在一定条件下化为定积分计算，但要注意但要注意 ：1) f (x , y) 定义在曲线定义在曲线L上，上， 2) ds是弧长微分是弧长微分 .ttytxsd)()(d22 .20, )cos1(, )sin(:,d1 ttayttaxLsyL其其中中、求求例例解解 Lsyd 202222dsin)cos1()cos1(ttatata 20

7、3d)cos1(2tta 203sin2tta .223a 特殊情形特殊情形.)(:)1(bxaxyyL .d)(1)(,d),(2xxyxyxfsyxfbaL )(ba .)(:)2(dycyxxL .d)(1),(d),(2yyxyyxfsyxfdcL )(dc 22( , )dcos ,sin ( ) ( ) d()Lf x ysf .)()3( 为为极极坐坐标标方方程程：L例例2.)2 , 1()0 , 0(,4:)1(:,d2一段一段到到从从其中其中求求xyLsyIL 解解yyyId)2(1)1(220 xy42 .)2, 1()2 , 1(,4:)2(2一一段段到到从从 xyLyy

8、yd421220 20232)4(3121 y.619 . 0 yyyId)2(1)2(222 .曲线积分曲线积分函数奇偶性计算第一类函数奇偶性计算第一类注：可以利用对称性与注：可以利用对称性与.曲线积分曲线积分函数奇偶性计算第一类函数奇偶性计算第一类注：可以利用对称性与注：可以利用对称性与(1)(, )( , ),( , )0Lfx yf x y Lyf x y ds 若关于 轴对称，则1(2)(, )( , ),( , )2( , )LLfx yf x y Lyf x y dsf x y ds若关于 轴对称，则例例3.,134,d)432(2222ayxLsyxxyIL并设其周长为并设其周

9、长为为椭圆为椭圆其中其中求求 解解sxyILd )122( LLssxyd12d2.12a 例例4.:,)d(22222ayxLsyxIL 其中其中求求解解, )20(sincos ttaytaxL的的参参数数方方程程为为 Lsyxd)(22 20222d)cos()sin(ttataa.23a 例例4.:,)d(22222ayxLsyxIL 其中其中求求.23a d2202aaI ).20( aL的极坐标方程为的极坐标方程为法二：法二：例例5.2:,d2222yyxLsyxIL 其其中中求求解解, )20(sin1cos ttytxL的的参参数数方方程程为为 Lsyxd22 20d)sin1

10、(2tt 20d|2sin2cos|2ttt 223230d)2sin2(cosd)2sin2(cos2tttttt)21(2)12(22 .8 例例5.2:,d2222yyxLsyxIL 其其中中求求解解, )0(sin2 tL的的极极坐坐标标方方程程为为 Lsyxd22 02222d)sin2()cos2()sin()cos( 0d2 0dsin4.8 例例5.2:,d2222yyxLsyxIL 其其中中求求解解, )0(sin2sincos22 ttyttxL的的参参数数方方程程为为 Lsyxd22 0222d)2sin2()2cos2(sin4tttt 0d2|sin2|tt 0dsi

11、n4tt 0cos4t .8 例例6.)1 , 0(, )0 , 2(, )0 , 0(,)d(22为为顶顶点点的的三三角角形形是是以以其其中中求求BAOLsyxIL 解解其其中中：,321LLLL ,)10(01 yxL ：,)20(02 xyL ：,)10(223 yyxL ： Lsyx)d(22syxLLL)d(22321 xyyxxyyd5)22(dd1022202102 1032354453831 yyy.3553 对空间曲线有类似的定义和计算公式对空间曲线有类似的定义和计算公式.),(limd),(10iniiiisfszyxf 曲曲线线积积分分为为上上对对弧弧长长的的在在空空间间

12、曲曲线线弧弧函函数数 ),(zyxf计算方法计算方法:)().(),(),(: ttzztyytxx)(d)()()()(),(),(d),(222 ttztytxtztytxfszyxf例例1)20(.,sin,cos:, 的的一一段段其其中中求求kzayaxxyzdsI解解 dkaka222sincos 20I.21222kaka =2222229,()d .xyzxyxyzs设为与的交线求例例2 2例例3 . 0,d22222zyxazyxsxI为为圆圆周周其其中中求求 解解 由对称性由对称性, 知知.ddd222 szsysx szyxId)(31222故故 sad32.323a ),

13、2(球面大圆周长球面大圆周长 dsa三、几何与物理意义三、几何与物理意义,),()1(的的线线密密度度时时表表示示当当Lyx ;d),( LsyxM (3)( , )1,d ;Lf x yLs弧长当时(2)( , )( , ),f x yLx y当表示立于 上的柱面在点处的高时.d),( LsyxfS柱柱面面面面积积sL),(yxfz ,)4(轴轴的的转转动动惯惯量量轴轴及及曲曲线线弧弧对对yx.d,d22 LyLxsxIsyI 曲线弧的重心坐标曲线弧的重心坐标)5(.dd,dd LLLLssyyssxx 例例4 设螺旋线的方程为设螺旋线的方程为 x =acos t，y = a sin t，z

14、 =k t (0 t 2)，其线密度为，其线密度为 x2+ y2+ z2，求其质量，对求其质量，对 z 轴的转动惯量及质心轴的转动惯量及质心.解解 szyxMd)()1(222 20222222d)cos()sin(tktatatkattkakad2022222 02322223 tktaka)43(3222222kaka szyxyxIzd)()2(22222ttkakaad20222222 )43(32222222kakaa szyxMd)()3(222 szyxxMxd)(1222 szyxyMyd)(1222 szyxzMzd)(1222=故重心坐标为故重心坐标为 2222222222

15、222243)2(3,436,436kakakkaakkaak 四、小结四、小结1 1、第一类曲线积分的概念、第一类曲线积分的概念2 2、第一类曲线积分的计算、第一类曲线积分的计算3 3、第一类曲线积分的应用、第一类曲线积分的应用一、一、 填空题填空题: :1 1、 已知曲线形构件已知曲线形构件L的线密度为的线密度为),(yx , ,则则L的质量的质量M= =_；2 2、 Lds= =_；3 3、 对对_的曲线积分与曲线的方向无关；的曲线积分与曲线的方向无关；4 4、 Ldsyxf),(= = dtttttf)()()(),(22中要中要求求 _ . .二二、 计计算算下下列列求求弧弧长长的的

16、曲曲线线积积分分: : 1 1、 Lyxdse22, ,其其中中L为为圆圆周周222ayx , ,直直线线xy 及及x轴轴在在第第一一象象限限内内所所围围成成的的扇扇形形的的整整个个边边界界；练习题练习题 2 2、 yzdsx2, ,其中其中L为折线为折线ABCD, ,这里这里DCBA, 依次为点依次为点(0,0,0)(0,0,0), ,(0,0,2),(1,0,2),(1,3,2)(0,0,2),(1,0,2),(1,3,2)； 3 3、 Ldsyx)(22, ,其中其中L为曲线为曲线 )cos(sin)sin(costttaytttax )20( t； 4 4、计算、计算 Ldsy, ,其中其中L为双纽线为双纽线 )0()()(222222 ayxayx . .三、设螺旋形弹簧一圈的方程为三、设螺旋形弹簧一圈的方程为taxcos , ,taysin , ,ktz , ,其中其中 20t, ,它的线密度它的线密度222),(zy