第3章 动量与角动量 第二节（大学物理 张三慧编 清华大学出版社）

1、第第3章章 动量与角动量动量与角动量 Momentum and Angular Momentum23.5 3.5 质心，质心运动定理质心，质心运动定理3.6 3.6 质点的角动量质点的角动量/ /定理定理3.7 3.7 角动量守恒定律角动量守恒定律3.8 3.8 质点系的角动量质点系的角动量内容内容3 3.5 质心质心（center of mass） 质点系的质心，是一个以质量为权重取平均质点系的质心，是一个以质量为权重取平均的特殊点。的特殊点。mrmmrmrNiiiNiiNiiic 1111、质心的位置、质心的位置im c质心质心质点系质点系【思考思考】写出上式的分量形式写出上式的分量形式i

2、rcro4iiiiiCiiiiiCiiiiiCmzmzmymymxmx , ,质心的分量形式质心的分量形式2 2，对对连续质量连续质量的物体，质心位置可用积分式计算的物体，质心位置可用积分式计算dmzdmzdmydmydmxdmxCCC , ,dmdmrrC质元质元dm 视为质点视为质点5说明：说明： 质心的位置由质点系各质点的相对质心的位置由质点系各质点的相对位置决定，与坐标原点的位置无关。位置决定，与坐标原点的位置无关。 重力的着力点重力的着力点重心，就在物重心，就在物体的质心上。体的质心上。 质心处在物体或物体系的对称轴质心处在物体或物体系的对称轴上上。6 例例11 求地球和月球的质心位

3、置。已知地球、月球质量求地球和月球的质心位置。已知地球、月球质量分别为分别为 M = 5.98 1024 kg 和和 m = 7.35 1022 kg ，地球地球中心与月球中心的距离为中心与月球中心的距离为 L = 3.84105 km。km1072. 43mMmLmMmxMxxmMC解：地球和月球本身的质心位于它们各自的几何中心。解：地球和月球本身的质心位于它们各自的几何中心。地月系统的质心必定在它们的连线上。地月系统的质心必定在它们的连线上。选取坐标如图，原点在地球中心。选取坐标如图，原点在地球中心。O xC7 例例2 求质量均匀分布的半球体的质心位置。求质量均匀分布的半球体的质心位置。解

4、：由对称性可知，质心在半球体的对称轴（图中解：由对称性可知，质心在半球体的对称轴（图中z 轴）轴）上，只需算出上，只需算出zC。如图，取如图，取 的薄片的薄片dm，设密度为，设密度为。dzzzdzzRdm)(22zCRzdzzRRRdzzRzmzdmzRRC83)(23 )32()(02233022zdz即质心到圆心的距离为半径的即质心到圆心的距离为半径的 。833-5 3-5 质心运动定理质心运动定理iiiiiiiiirmdtddtrdmvmP代入质点系的动量定代入质点系的动量定理，有理，有考虑一质点系，其总动量为考虑一质点系，其总动量为dtPdFii CCiiivmdtrdmmrmdtdm

5、dtvdmC Cam9 一个质点的运动，该质点集中整个系统一个质点的运动，该质点集中整个系统质量，并集中系统受的外力质量，并集中系统受的外力（2 2）质心运动状态取决系统所受外力，内力）质心运动状态取决系统所受外力，内力不能使质心产生加速度不能使质心产生加速度（1 1）质心的运动：）质心的运动：说明说明 质心运动定理描述了物体质心的运动。体系质心运动定理描述了物体质心的运动。体系的内力不影响质心的运动。的内力不影响质心的运动。10【例例】已知已知1/4 圆圆 M，m由静止下滑，求由静止下滑，求t1t2 过过程程 M 移动的距离移动的距离 S .解：解：选（选（M+m）为体系）为体系水平方向合外

6、力水平方向合外力=0，水平方向质心静止。，水平方向质心静止。11OMmRt1x0mMmRMxX01体系质心体系质心OMmx0+St2 S体系质心体系质心mMmSSxMX0221XX 质心静止质心静止RmMmS M 移动的距离移动的距离 t1时刻时刻t2时刻时刻123.5 3.5 质心，质心运动定理质心，质心运动定理3.6 3.6 质点的角动量及定理质点的角动量及定理3.7 3.7 角动量守恒定律角动量守恒定律3.8 3.8 质点系的角动量质点系的角动量内容内容131.1.质点的角动量质点的角动量引入角动量的引入角动量的：和动量一样，角动量服从守：和动量一样，角动量服从守恒定律，因此它是力学中最

7、重要的物理量之一。恒定律，因此它是力学中最重要的物理量之一。 角动量的角动量的： （对点）（对点）设一质点具有动量设一质点具有动量 ，由惯性系中某一固定，由惯性系中某一固定点点O指向它的位置矢量为指向它的位置矢量为 ，则该质点，则该质点O 为为prLsinrpL L的大小：的大小：的方向：垂直于的方向：垂直于 和和 构成的平面。构成的平面。Lrp右手螺旋法则右手螺旋法则prLrLpOm注意：注意： 角动量是角动量是矢量矢量。举例：举例：圆周运动的质点圆周运动的质点对圆心的角动量：对圆心的角动量：mvrL bmvL00 粒子散射实验中，粒子散射实验中， 粒子粒子对固定的重原子核的角动量：对固定的

8、重原子核的角动量：vrL 角动量的分量式：角动量的分量式：xyzzxyyzxypxpLxpzpLzpypL )(kzj yi xrLrvO0v0rLbO 说一个角动量时，必须指明是对哪个固定点而言的。说一个角动量时，必须指明是对哪个固定点而言的。15rMFOm2.2.质点的角动量定理质点的角动量定理 力矩的力矩的定义定义 （对点）（对点）FrM设设O为惯性系中的某一固定点，由它指向质点的位置为惯性系中的某一固定点，由它指向质点的位置矢量为矢量为 ，则该质点，则该质点O 为为rMFdrFMsinM的大小：的大小：d 角动量定理角动量定理 （对点）（对点）考虑角动量的变化率：考虑角动量的变化率：d

9、tpdrpdtrdprdtddtLd)(FrdtpdrdtLdM牛顿定律牛顿定律 角动量定理角动量定理 惯性系惯性系16 ：质点所受合外力矩等于它的角：质点所受合外力矩等于它的角动量对时间的变化率，即动量对时间的变化率，即dtLdM注意注意 ：合外力矩和角动量是对某惯：合外力矩和角动量是对某惯性系中性系中同一固定点同一固定点的。的。M 和和L都是相对都是相对惯性系中同一定点惯性系中同一定点定义的。定义的。 21tttMd d冲量矩，力矩的时间积累。冲量矩，力矩的时间积累。积分形式：积分形式：1221LLtMtt d d17xyxyzyvgtvxmyvxvmL00)()(gtvvvvyyxx00

10、yOxrgmxyzvdtdygxvdtdxmdtdL0)(sinmgrmgxzM 例例 利用抛体运动的速度方程证明角动量定利用抛体运动的速度方程证明角动量定理。理。证：证：速度方程为速度方程为183.5 3.5 质心，质心运动定理质心，质心运动定理3.6 3.6 质点的角动量质点的角动量/ /定理定理3.7 3.7 角动量守恒定律角动量守恒定律3.8 3.8 质点系的角动量质点系的角动量内容内容19说明说明： 守恒与否与所对的点有关。只有当质点不受外力守恒与否与所对的点有关。只有当质点不受外力（做匀速直线运动）时，对（做匀速直线运动）时，对任何点任何点角动量守恒。角动量守恒。：如果对于某一固定

11、点，质点所受的：如果对于某一固定点，质点所受的合外力矩为零，则此质点对该点的角动量保持不变。合外力矩为零，则此质点对该点的角动量保持不变。由角动量定理由角动量定理 ，可知：，可知：dtLdM当外力矩为零当外力矩为零 时，时， ，于是，于是0M0dtLd常矢量L 如果质点受力与矢量如果质点受力与矢量 平行或反平行，力矩必平行或反平行，力矩必为零，则对该点角动量守恒。为零，则对该点角动量守恒。r如：如：有心力场有心力场有心力作用下的质点角动量守恒有心力作用下的质点角动量守恒20 例例 试证明试证明Kepler第二定律：行星对太阳的位矢在相同第二定律：行星对太阳的位矢在相同的时间里扫过的面积相等。的

12、时间里扫过的面积相等。证：由于行星受力总是指向恒星（即为有心力）证：由于行星受力总是指向恒星（即为有心力）Fr/dtdSmdtrdrmdtrdmrdtrdmrrmvL2)2sin(2)sin( sin sin故故 ，角动量守恒。，角动量守恒。0MrvS常量mLdtdStS2sinrd213.5 3.5 质心，质心运动定理质心，质心运动定理3.6 3.6 质点的角动量质点的角动量/ /定理定理3.7 3.7 角动量守恒定律角动量守恒定律3.8 3.8 质点系的角动量质点系的角动量/ /定理定理内容内容223.8 质点系的角动量定理质点系的角动量定理iiiiifrMM 合外力矩：合外力矩：iiii

13、iivmrLL 总角动量：总角动量： 一个质点系所受的合外力矩，等于该质点系一个质点系所受的合外力矩，等于该质点系的总角动量对时间的变化率的总角动量对时间的变化率tLMd dd d 【思考思考】为什么不考虑内力矩？为什么不考虑内力矩？jfjmimifOirjrivjv它们都对惯性系中同一定点定义。它们都对惯性系中同一定点定义。23 tLffriijijiid dd d iiiijijiiiiLtfrfrd dd d质点的角动量定理质点的角动量定理质点系的角动量定理：质点系的角动量定理： )(,21jijijijijiiijijifrfrfr 021)(, ijjijijifrrjfjmimif

14、Oijfjifirjr即证。即证。jirr 合内力矩为零合内力矩为零24守恒守恒质点系的角动量守恒定律质点系的角动量守恒定律质点系的质点系的：如果质点系所受合：如果质点系所受合外力矩为零，则该质点系的总角动量保持不变。外力矩为零，则该质点系的总角动量保持不变。说明说明： 质点系的角动量守恒定律比质点的具更普遍意义。质点系的角动量守恒定律比质点的具更普遍意义。 与动量守恒定律一样，角动量守恒定律是自然与动量守恒定律一样，角动量守恒定律是自然界普遍遵循的守恒定律之一，它并不依赖于牛顿界普遍遵循的守恒定律之一，它并不依赖于牛顿定律而成立。定律而成立。 如果质点系所受合外力为零，对任何固定点的如果质点

15、系所受合外力为零，对任何固定点的角动量都守恒。角动量都守恒。常矢量L0dtLdiiiFrM0如果如果 ，25 例例 两个质量都是两个质量都是 m 的小球由一长度的小球由一长度 a 的轻质硬杆连结的轻质硬杆连结起来，静止于光滑的水平桌面，今有另一质量是起来，静止于光滑的水平桌面，今有另一质量是m 的的 k 倍的小倍的小球以速率球以速率 v0 ，沿水平面内垂直于连杆的方向飞来，与杆上其，沿水平面内垂直于连杆的方向飞来，与杆上其中一个小球发生碰撞后，粘在一起。求碰撞发生后它们的运动中一个小球发生碰撞后，粘在一起。求碰撞发生后它们的运动速度。速度。解：解：以三个以三个小球组成质点系，质点小球组成质点系，质点系不受外力，动量和角动量均守恒。系不受外力，动量和角动量均守恒。0vmmkmOx（2 2）（1 1）（3 3）210)1 (mvkmvkmvx 方向