第2章 过程特性及数学模型

1、昆明理工大学昆明理工大学杨彪杨彪20102011学年下学年下第二章第二章过程特性与数学模型过程特性与数学模型昆明理工大学知识结构知识结构第第5章章 自动控制仪表自动控制仪表第第6章章 执行器执行器第第2章章 过程特性过程特性第第3章章 检测仪表与传感器检测仪表与传感器第第4章章 显示仪表显示仪表第第1章自动控制系统基本概念章自动控制系统基本概念第第7章章 简单控制系统简单控制系统 第第8章章 复杂控制系统复杂控制系统第第9章章 新型控制系统新型控制系统第第10章章 计算机控制系统计算机控制系统昆明理工大学过程特性过程特性过程特性定义：指被控过程输入量发生变化时，过指被控过程输入量发生变化时，过

2、程输出量的变化规律。程输出量的变化规律。被控过程常见种类：换热器、锅炉、精馏塔、化学反应器、换热器、锅炉、精馏塔、化学反应器、贮液槽罐、加热炉等贮液槽罐、加热炉等被控变量（输出量）扰动变量（输入量） 操纵变量（输入量） 通道 控制通道-操纵变量至被控变量的信号联系扰动通道-扰动变量至被控变量的信号联系昆明理工大学过程特性的类型过程特性的类型 1. 自衡的非振荡过程 2. 无自衡的非振荡过程 3. 有自衡的振荡过程 4. 具有反向特性的过程多数工业过程的特性可分为下列四种类型（过程特性通常在阶跃信号的作用下的表现） 昆明理工大学1.自衡的非振荡过程在阶跃信号的作用下，被控变量C (t)不经振荡，

3、逐渐向新的稳态值C()靠拢。过程特性的类型过程特性的类型C(t) t C()自衡的非振荡过程昆明理工大学过程特性的类型过程特性的类型如图所示的通过阀门阻力排液的液位系统例如h Q1 Q2 t t h Q1 液位系统 液位变化曲线1KQhdtdhT水槽特性的微分方程：水槽特性的微分方程：T称时间常数，称时间常数，K称放大系数称放大系数昆明理工大学过程特性的类型过程特性的类型2. 无自衡的非振荡过程 在阶跃信号的作用下，被控变量C (t)会一直上升或下降，直到极限值。C(t) t 无自衡的非振荡过程 昆明理工大学过程特性的类型过程特性的类型3. 有自衡的振荡过程 在阶跃信号的作用下，被控变量C(t

4、)会上下振荡，且振荡的幅值逐渐减小，最终能趋近新的稳态值。有自衡的振荡过程的响应曲线如图所示。在控制过程中，这类过程不多见，它们的控制也比第一类过程困难一些。C(t) t 有自衡的振荡过程 昆明理工大学过程特性的类型过程特性的类型4. 具有反向特性的过程 在阶跃信号的作用下，被控变量C (t)先升后降或先降后升，即阶跃响应在初始情况与最终情况方向相反。C(t) t 具有反向特性的过程 汽包 给水 蒸汽 加热室 昆明理工大学描述过程特性的参数描述过程特性的参数1.放大系数K1：冷物料热物料蒸汽QQWWttQWKQKW数学表达式 a 蒸汽加热器系统 b 温度响应曲线静态特性参数静态特性参数昆明理工

5、大学描述过程特性的参数描述过程特性的参数 放大系数放大系数K K对系统的影响对系统的影响放大系数越大，放大系数越大，操纵变量操纵变量的变化对被控变量的影响就越大，的变化对被控变量的影响就越大，控制作用对扰动的补偿能力强，有利于克服扰动的影响，余差控制作用对扰动的补偿能力强，有利于克服扰动的影响，余差就越小；反之，放大系数小，控制作用的影响不显著，被控变就越小；反之，放大系数小，控制作用的影响不显著，被控变量变化缓慢。但放大系数过大，会使控制作用对被控变量的影量变化缓慢。但放大系数过大，会使控制作用对被控变量的影响过强，使系统稳定性下降。响过强，使系统稳定性下降。控制通道控制通道 当当扰动扰动频

6、繁出现且幅度较大时，放大系数大，被控变量的波动就频繁出现且幅度较大时，放大系数大，被控变量的波动就 会很大，使得最大偏差增大；而放大系数小，即使扰动较大，对会很大，使得最大偏差增大；而放大系数小，即使扰动较大，对被控变量仍然不会产生多大影响。被控变量仍然不会产生多大影响。扰动通道扰动通道昆明理工大学描述过程特性的参数描述过程特性的参数 放大系数放大系数K K对系统的影响对系统的影响控制通道控制通道1KQhdtdhT)1 ()(/TteKAthQ1为阶跃作用，t=0时，Q1=A当tKAh)(AhK)(Or说明说明K是对象受到阶跃输入作用后，被控变量新的稳态值与所加的输入量之比，故是对象的放大系数

7、，它表示对象受到输入作用后，重新达到平衡状态时的性能，是不随时间而变的，所以是对象的静态性能。昆明理工大学描述过程特性的参数描述过程特性的参数2. 时间常数时间常数T以图直接蒸汽加热器为例，假设蒸汽流量作阶跃变化，阶跃幅值为Q，热物料出口温度W(t)随蒸汽流量变化的曲线可用方程式表示 时间常数是动态参数，用来表征被控变量的快慢程度。)1 ()(TteQKtW式中：T为时间常数。0.632W()W()TWt0昆明理工大学时间常数时间常数T T定义：定义：对象在阶跃输入作用下，被控变量对象在阶跃输入作用下，被控变量达到新的稳态值的达到新的稳态值的63.2%63.2%时所需要的时间时所需要的时间。Q

8、KeQKTW632. 0)1 ()(1描述过程特性的参数描述过程特性的参数令t=T，则上式变为：0.632W()W()TWt0)1 ()(TteQKtW昆明理工大学描述过程特性的参数描述过程特性的参数TteTQKdtdW将上式对时间求导，可得： 由上式可以看出，被控变量的变化速度随时间的增长而逐渐变慢。在t=0时有：时间常数时间常数：当过程受到阶当过程受到阶跃输入作用后，被控变跃输入作用后，被控变量保持初始速度变化，量保持初始速度变化，达到新的稳态值所需要达到新的稳态值所需要的时间。的时间。)1 ()(TteQKtWTQTQKdtdWt)(0 温度变化的初始速度TW0.632W()W()t0昆

9、明理工大学描述过程特性的参数描述过程特性的参数TteTQKdtdW将上式对时间求导，可得： 由上式可以看出，被控变量的变化速度随时间的增长而逐渐变慢。在t=0时有：时间常数时间常数：实际上，被控实际上，被控变量的变化速度是越来变量的变化速度是越来越小的，所以被控变量越小的，所以被控变量变化到新的稳态值所需变化到新的稳态值所需的时间，要比的时间，要比T长得多长得多)1 ()(TteQKtWTQTQKdtdWt)(0 温度变化的初始速度TW0.632W()W()t0TW0.632W()W()t0昆明理工大学理论上讲，只有当时间理论上讲，只有当时间tt时，被控变量才能达到稳时，被控变量才能达到稳态值

10、。然而，由于被控变量变化的速度越来越慢，达到态值。然而，由于被控变量变化的速度越来越慢，达到稳态值需要比稳态值需要比T T长得多。但是，当长得多。但是，当t=3Tt=3T时，上式变为：时，上式变为：)(95. 095. 0)1 ()3(3QQKeQKTW 在加入输入作用后，经过在加入输入作用后，经过3T3T时间，温度已经变化了时间，温度已经变化了全部变化范围的全部变化范围的95%95%。这时，可以近似的认为动态过程。这时，可以近似的认为动态过程已基本结束。所以，已基本结束。所以，时间常数时间常数T T是表示在输入作用下，是表示在输入作用下，被控变量完成其变化过程所需要时间的一个重要参数。被控变

11、量完成其变化过程所需要时间的一个重要参数。描述过程特性的参数描述过程特性的参数)1 ()(TteQKtW考察考察昆明理工大学描述过程特性的参数描述过程特性的参数 时间常数T对系统的影响控制通道，对于扰动通道，时间常数大，扰动作用控制通道，对于扰动通道，时间常数大，扰动作用比较平缓，被控变量的变化比较平稳，过程较易控制。比较平缓，被控变量的变化比较平稳，过程较易控制。控制通道在相同的控制作用下，时间常数大，被控变量的变化比在相同的控制作用下，时间常数大，被控变量的变化比较缓慢，此时过程比较平稳，容易进行控制，但过渡较缓慢，此时过程比较平稳，容易进行控制，但过渡过程时间较长；若时间常数小，则被控变

12、量的变化速过程时间较长；若时间常数小，则被控变量的变化速度快，控制过程比较灵敏，不易控制。时间常数太大度快，控制过程比较灵敏，不易控制。时间常数太大或太小，对控制上都不利。或太小，对控制上都不利。扰动通道扰动通道昆明理工大学描述过程特性的参数描述过程特性的参数比较下面曲线时间常数比较下面曲线时间常数Wt0Wt0Wt0abc昆明理工大学描述过程特性的参数描述过程特性的参数 3. 滞后时间 又称为传递滞后。纯滞后的产生一般又称为传递滞后。纯滞后的产生一般是由于介质的输送、能量传递和信号是由于介质的输送、能量传递和信号传输需要一段时间而引起的。传输需要一段时间而引起的。 纯滞后0：皮带输送装置例浓度

13、监测点溶解槽vL纯滞后纯滞后0和容量滞后和容量滞后n。XYtt溶解槽过程的响应曲线 0输送机将固体溶质由加料斗送至溶解槽所经过的时间，称为纯滞后时间。输送机将固体溶质由加料斗送至溶解槽所经过的时间，称为纯滞后时间。昆明理工大学描述过程特性的参数描述过程特性的参数检测元件安装位置不合理，也是产生纯滞后的重要因素。如检检测元件安装位置不合理，也是产生纯滞后的重要因素。如检测点设得较远，信号传递将会引起较大的传递滞后，造成控制测点设得较远，信号传递将会引起较大的传递滞后，造成控制系统控制不及时。系统控制不及时。LF1F2预处理分析仪表X例导管输送环节、带有预处理的成分测量仪表导管输送环节、带有预处理

14、的成分测量仪表昆明理工大学描述过程特性的参数描述过程特性的参数 容量滞后容量滞后n n容量滞后的产生一般是物料或能量传递需要容量滞后的产生一般是物料或能量传递需要通过一定的阻力而引起的。它是多容过程所固有通过一定的阻力而引起的。它是多容过程所固有的特性。的特性。 h1 Q1 Q12 h2 Q2 A1A2nAoXYtt串联水槽及其响应曲线 如图所示的两个串联水槽的液位（双容）过程来说明容量滞后现象。昆明理工大学描述过程特性的参数描述过程特性的参数从理论上讲，纯滞后与容量滞后有着本质的区别，但在实际生产过程中两者同时存在，有时很难区别。通常用滞后时间来表示纯滞后与容量滞后之和。即=0+n。下图为滞

15、后时间示意图。 滞后时间示意图oXYtt0n昆明理工大学 滞后时间滞后时间对系统的影响对系统的影响由于存在滞后，使控制作用落后于被控变量由于存在滞后，使控制作用落后于被控变量的变化，从而使被控变量的偏差增大，控制质量下的变化，从而使被控变量的偏差增大，控制质量下降。滞后时间越大，控制质量越差。降。滞后时间越大，控制质量越差。控制通道对于扰动通道，如果存在纯滞后，相当于扰动延对于扰动通道，如果存在纯滞后，相当于扰动延迟了一段时间才进入系统，而扰动在什么时间出现，迟了一段时间才进入系统，而扰动在什么时间出现，本来就是无从预知的，因此，并不影响控制系统的品本来就是无从预知的，因此，并不影响控制系统的

16、品质。扰动通道中存在容量滞后，可使阶跃扰动的影响质。扰动通道中存在容量滞后，可使阶跃扰动的影响趋于缓和，对控制系统是有利的。趋于缓和，对控制系统是有利的。扰动通道描述过程特性的参数描述过程特性的参数昆明理工大学过程数学模型的建立过程数学模型的建立 过程的（动态）数学模型定义：过程的（动态）数学模型定义： 是指表示过程的是指表示过程的输出变量输出变量与与输入变量输入变量间动态关系的数间动态关系的数学描述学描述。 过程的输入是控制作用过程的输入是控制作用u u（t t）或扰动作用）或扰动作用f f（t t） 输出是被控变量（输出是被控变量（t t）过程数学模型是研究系统行为的基础。对一些比过程数学

17、模型是研究系统行为的基础。对一些比较简单的控制系统，掌握过程的较简单的控制系统，掌握过程的K K、T T、数据就可以数据就可以了。但对于较复杂过程，若需要进行的定性分析、定了。但对于较复杂过程，若需要进行的定性分析、定量计算或应用现代控制理论的场合，就需要建立精确量计算或应用现代控制理论的场合，就需要建立精确可靠的数学模型。可靠的数学模型。 昆明理工大学 用数学方程式来表示，如微分方程（差分方程）、用数学方程式来表示，如微分方程（差分方程）、传递函数、状态空间表达式等。本节所涉及的模型传递函数、状态空间表达式等。本节所涉及的模型均为用微分方程描述的线性定常动态模型。均为用微分方程描述的线性定常

18、动态模型。过程数学模型的建立过程数学模型的建立 数学模型类型数学模型类型非参数模型非参数模型用曲性或数据表格来表示，如阶跃响应曲线、脉冲用曲性或数据表格来表示，如阶跃响应曲线、脉冲响应曲线和频率特性曲线响应曲线和频率特性曲线特点：形象、清晰，易看出定性特性，但缺乏数学特点：形象、清晰，易看出定性特性，但缺乏数学方程的解析性质，一般由试验直接获取。方程的解析性质，一般由试验直接获取。参数模型参数模型昆明理工大学过程数学模型的建立过程数学模型的建立建立数学模型的基本方法建立数学模型的基本方法机理分析法机理分析法 通过对过程内部运动机理的分析，根据其物理或化通过对过程内部运动机理的分析，根据其物理或

19、化学变化规律，在忽略一些次要因素或做出一些近似处学变化规律，在忽略一些次要因素或做出一些近似处理后得到过程特性方程，其表现形式往往是微分方程理后得到过程特性方程，其表现形式往往是微分方程或代数方程。这种方法完全依赖于足够的先验知识，或代数方程。这种方法完全依赖于足够的先验知识，所得到的模型称为机理模型。所得到的模型称为机理模型。 由过程的输入输出数据确定模型的由过程的输入输出数据确定模型的结构结构和和参数参数。这种。这种方法不需要过程的先验知识，把过程看作一个黑箱。方法不需要过程的先验知识，把过程看作一个黑箱。但该方法必须在已经建立了过程后才能进行，而且得但该方法必须在已经建立了过程后才能进行

20、，而且得到的结果无法类推至设备尺寸和型号不同的情况。到的结果无法类推至设备尺寸和型号不同的情况。 实验测试法实验测试法昆明理工大学过程数学模型的建立过程数学模型的建立机理分析法机理分析法： 机理分析法是通过对过程内部机理的分析，推导出机理分析法是通过对过程内部机理的分析，推导出描述过程输入输出变量之间关系的数学模型。描述过程输入输出变量之间关系的数学模型。 针对不同的物理过程，可采用不同的定理定律。针对不同的物理过程，可采用不同的定理定律。 如电路采用欧姆定律和基尔霍夫定律；如电路采用欧姆定律和基尔霍夫定律； 机械运动采用牛顿定律；机械运动采用牛顿定律； 流体运动采用质量守恒和能量守恒定律；流

21、体运动采用质量守恒和能量守恒定律； 传热过程采用能量转化和能量守恒定律等。传热过程采用能量转化和能量守恒定律等。昆明理工大学微分方程建立的步骤归纳如下：微分方程建立的步骤归纳如下： 根据实际工作情况和生产过程要求，确定过程的根据实际工作情况和生产过程要求，确定过程的输入变量输入变量和和输输出变量出变量。 依据过程的依据过程的内在机理内在机理，利用适当的定理定律，建立原始方程式，利用适当的定理定律，建立原始方程式 确定原始方程式中的确定原始方程式中的中间变量中间变量，列写中间变量与其他因素之间，列写中间变量与其他因素之间的关系。的关系。 消除中间变量，即得到输入、输出变量的消除中间变量，即得到输

22、入、输出变量的微分方程微分方程。 若微分方程是若微分方程是非线性的非线性的，需要进行线性化处理。，需要进行线性化处理。 标准化。即将与输入有关的各项放在等号右边，与输出有关的标准化。即将与输入有关的各项放在等号右边，与输出有关的各项放在等号左边，并按将幂排序。各项放在等号左边，并按将幂排序。过程数学模型的建立过程数学模型的建立昆明理工大学过程数学模型的建立过程数学模型的建立RCuo试列写图所示RC无源网络的动态数学模型。设ui 为输入变量，uo为输出变量。 0uiRui解解 确定过程的输入变量和输出变量： 依题意，ui 为输入变量，uo为输出变量。 建立原始微分方程： 根据电路理论中得可希霍夫

23、定律，可有： （1）Ui例题例题1昆明理工大学过程数学模型的建立过程数学模型的建立在上式中，令RC =T 则上式可写成如下形式 iuudtduT00消除中间变量 i：将上式代入（1）式，即可得 iuudtduRC00 确定中间变量，列写中间变量与其他因素之间列写中间变量与其他因素之间的关系：上式中，的关系：上式中，i i为中间变量。电容上电流与电压的为中间变量。电容上电流与电压的关系为：关系为：dtduCi0一阶对象一阶对象昆明理工大学例题例题2过程数学模型的建立过程数学模型的建立如图所示为一测温热电偶，它可将被测温如图所示为一测温热电偶，它可将被测温度转换为热电势度转换为热电势E E。图中介

24、质的温度为。图中介质的温度为TiTi，热电偶热端温度为，热电偶热端温度为ToTo。试列写热电。试列写热电偶的微分方程。偶的微分方程。E+-T0 Ti确定输入变量和输出变量确定输入变量和输出变量 输入变量输入变量-介质的温度为介质的温度为TiTi， 输出变量输出变量-热端温度为热端温度为T0T0。根据能量守恒定律：根据能量守恒定律：单位时间传入的热量单位时间传入的热量单位时间传出的热量单位时间传出的热量 = =单位时间热量单位时间热量的变化量的变化量热电偶的原始微分方程式为热电偶的原始微分方程式为 dtdTCQQi00式中 Qi为被测介质以对流方式传给热端的热量； Qo为热端通过热电极传导出的热量； C为热电偶热端的热容。解解 建立原始微分方程建立原始微分方程昆明理工大学过程数学模型的建立过程数学模型的建立 确定中间变量确定中间变量，列写中间变量与其他因素之间的，列写中间变量与其他因素之间的关系从上式可知，关系从上式可知， Q Qi i 和和Q Qo o为中间变量。由传热速率方程可得为中间变量。由传热速率方程可得 )(1)(00TTRTTkAQiii 式中式中 k k为介质对热端的导热系数；为介质对热端的导热系数； A A为热端的表面积；为热端的表面积；R R为介质对热端的热阻。为介质对热端的热阻。当热电极插入介质有足够深度时，通过热传导传