高考数学总复习第五节　三角函数的图象与性质

1、必备知识 整合 关键能力 突破 栏目多的在上面加，做超链接，且各个栏目居中放；只有“考点”的书，只上”考点一“这种简化标题 学科素养 提升 第四章第四章 三角函数与解三角形三角函数与解三角形第五节第五节三角函数的图象与性质三角函数的图象与性质必备知识 整合 关键能力 突破 学习要求学习要求:1.能画出y=sin x,y=cos x,y=tan x的图象,了解三角函数的周期性.2.理解正弦函数、余弦函数在区间0,2上的性质(如单调性、最大值和最小值、图象与x轴的交点等),理解正切函数在区间内的单调性.,2 2 必备知识 整合 关键能力 突破 栏目多的在上面加，做超链接，且各个栏目居中放；只有“考

2、点”的书，只上”考点一“这种简化标题 学科素养 提升 必备知识 整合 1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)正弦函数y=sin x,x0,2的图象中的五个关键点:(0,0),(,0), ,(2,0).,123, 12必备知识 整合 关键能力 突破 栏目多的在上面加，做超链接，且各个栏目居中放；只有“考点”的书，只上”考点一“这种简化标题 学科素养 提升 (2)余弦函数y=cos x,x0,2的图象中的五个关键点:(0,1), (,-1) ,(2,1).,023,022.三角函数的图象与性质三角函数的图象与性质函数性质 y=sin xy=cos xy=ta

3、n x定义域 R R , 图象值域 -1,1 -1,1 R必备知识 整合 关键能力 突破 栏目多的在上面加，做超链接，且各个栏目居中放；只有“考点”的书，只上”考点一“这种简化标题 学科素养 提升 对称性对称轴: x=k+ (kZ) ;对称中心: (k,0)(kZ) 对称轴:x=k(kZ);对称中心:对称中心: (kZ) 周期 2 2 2,02k,02k单调性单调增区间: ;单调减区间: 单调增区间: 2k-,2k(kZ) ;单调减区间: 2k,2k+(kZ) 单调增区间: (kZ) 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 必备知识 整合 关键能力 突破 栏目多的在上面加，做超链接，且各个栏目居中放；

4、只有“考点”的书，只上”考点一“这种简化标题 学科素养 提升 知识拓展知识拓展1.对称性与周期性(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是个周期,相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期.(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期.1214必备知识 整合 关键能力 突破 栏目多的在上面加，做超链接，且各个栏目居中放；只有“考点”的书，只上”考点一“这种简化标题 学科素养 提升 2.奇偶性若f(x)=Asin(x+)(A,0),则(1)f(x)为偶函数的充要条件是=+k(kZ).(2)f(x)为奇函数的充要条件是=k(kZ).2必备知识 整合 关键能力 突破 栏目多的

5、在上面加，做超链接，且各个栏目居中放；只有“考点”的书，只上”考点一“这种简化标题 学科素养 提升 1.判断正误(正确的打“”,错误的打“”).(1)余弦函数y=cos x的图象的对称轴是y轴.()(2)正切函数y=tan x在定义域内是增函数.()(3)已知y=ksin x+1,xR,则y的最大值为k+1.()(4)y=sin|x|是偶函数.()(5)若sin x,则x.()(6)由sin=sin知,是正弦函数y=sin x(xR)的一个周期.()224263623必备知识 整合 关键能力 突破 栏目多的在上面加，做超链接，且各个栏目居中放；只有“考点”的书，只上”考点一“这种简化标题 学科

6、素养 提升 2.(新教材人教A版必修第一册P207T2改编)函数y=3-2cos的最大值为5 ,此时x= +2k(kZ) .4x34必备知识 整合 关键能力 突破 栏目多的在上面加，做超链接，且各个栏目居中放；只有“考点”的书，只上”考点一“这种简化标题 学科素养 提升 3.(易错题)函数y=cos xtan x的值域是(-1,1) .【易错点分析】【易错点分析】忽视定义域的限制致误.必备知识 整合 关键能力 突破 栏目多的在上面加，做超链接，且各个栏目居中放；只有“考点”的书，只上”考点一“这种简化标题 学科素养 提升 4.(易错题)函数y=cos的单调递减区间为 (kZ) .【易错点分析】

7、【易错点分析】忽视y=sin x(或y=cos x)中对函数单调性的影响致误.24x5,88kk必备知识 整合 关键能力 突破 栏目多的在上面加，做超链接，且各个栏目居中放；只有“考点”的书，只上”考点一“这种简化标题 学科素养 提升 5.(2020北京,14,5分)若函数f(x)=sin(x+)+cos x的最大值为2,则常数的一个取值为 (答案不唯一) .2必备知识 整合 关键能力 突破 学科素养 提升 考点一三角函数的定义域、值域考点一三角函数的定义域、值域( (最值最值) )关键能力 突破 1.函数y=的定义域为 (kZ) .sincosxx52,244kk2.函数y=sin x-co

8、s x+sin xcos x的值域为 .12,12必备知识 整合 关键能力 突破 学科素养 提升 3.(2019课标文,15,5分)函数f(x)=sin-3cos x的最小值为-4 .322x解析解析 f(x)=sin-3cos x=-cos 2x-3cos x=-2cos2x-3cos x+1,令cos x=t,则t-1,1.f(t)=-2t2-3t+1=-2+,易知当t=1时, f(t)min=-212-31+1=-4.故f(x)的最小值为-4.322x234t178必备知识 整合 关键能力 突破 学科素养 提升 4.函数y=lg(sin x)+的定义域为 .1cos2x |22,Z3xk

9、xkk解析解析要使函数有意义,则即解得所以2k0)的周期为.(1)求函数f(x)的单调递增区间;(2)若f(x),求x的取值范围.26x12必备知识 整合 关键能力 突破 学科素养 提升 解析解析(1)f(x)=sin+2cos2x=sin 2x-cos 2x+1+cos 2x=sin 2x+cos 2x+1=sin+1,T=,=1.令2k-2x+2k+,kZ,解得k-xk+,kZ.f(x)的单调递增区间为k-,k+,kZ.(2)f(x),sin+1,26x3212321226x2226236361226x12必备知识 整合 关键能力 突破 学科素养 提升 sin-,2k-2x+2k+,kZ,

10、解得k-xk+,kZ.f(x)时,x的取值范围为 ,kZ.26x1266766212,62kk必备知识 整合 关键能力 突破 学科素养 提升 角度二已知三角函数的单调性求参数角度二已知三角函数的单调性求参数典例典例2已知0,函数f(x)=sin在上单调递减,则的取值范围是 .4x,21 5,2 4必备知识 整合 关键能力 突破 学科素养 提升 解析解析由x0,得+x+0,kZ,解得k=0,所以.2244432,222kk2,24232,42kk125412524k541 5,2 4必备知识 整合 关键能力 突破 学科素养 提升 变式变式1本例中,若将条件变为“已知0,函数f(x)=cos在上单

11、调递增”,则的取值范围是 .4x,23 7,2 4必备知识 整合 关键能力 突破 学科素养 提升 解析解析函数y=cos x的单调递增区间为-+2k,2k,kZ,则kZ,解得4k-2k-,kZ,又由4k-0,kZ且2k-0,kZ,解得k=1,所以.2,242,4kk 521452124k143 7,2 4必备知识 整合 关键能力 突破 学科素养 提升 变式变式2本例中,若将条件变为“已知函数f(x)=sin x(0)在上单调递增,在上单调递减”,则= .0,3,3 2 32解析解析函数f(x)=sin x(0)的图象经过坐标原点,由已知并结合正弦函数的图象可知,为函数f(x)的周期,故=,解得

12、=.31424332必备知识 整合 关键能力 突破 学科素养 提升 名师点评名师点评1.已知三角函数解析式求单调区间求形如y=Asin(x+)或y=Acos(x+)(其中0)的单调区间时,要视“x+”为一个整体,通过解不等式求解.但如果0)在区间上单调递增,在区间上单调递减,则= .0,5,5 2 52解析解析由已知得=,则=.2552必备知识 整合 关键能力 突破 学科素养 提升 2.(2020浙江超级全能生联考)已知函数f(x)=sin2x-cos2x-2sin xcos x,x.(1)求f的值;(2)求f(x)的最小正周期及单调递减区间.,4 2 38必备知识 整合 关键能力 突破 学科

13、素养 提升 解析解析(1)f(x)=sin2x-cos2x-2sin xcos x=-cos 2x-sin 2x=-sin,所以f=-sin=-sin =0.(2)f(x)的最小正周期T=,由-+2k2x+2k,kZ,得-+kx+k,kZ.所以f(x)在R上的单调递减区间为224x3823284222242388必备知识 整合 关键能力 突破 学科素养 提升 (kZ),因为x,所以f(x)的单调递减区间为.3,88kk,4 2 ,4 8 必备知识 整合 关键能力 突破 学科素养 提升 考点三考点三 三角函数的周期性、奇偶性、对称性三角函数的周期性、奇偶性、对称性角度一三角函数的周期性角度一三角

14、函数的周期性典例典例3(1)(2019课标文,8,5分)若x1=,x2=是函数f(x)=sin x(0)两个相邻的极值点,则=()A.2 B.C.1 D.(2)(2019北京,9,5分)函数f(x)=sin22x的最小正周期是 .43432122A必备知识 整合 关键能力 突破 学科素养 提升 解析解析(1)由x1=,x2=是f(x)=sin x(0)两个相邻的极值点,可得=-=,则T=,得=2,故选A.(2)因为f(x)=sin22x,所以f(x)=(1-cos 4x),所以函数f(x)的最小正周期T=.4342T3442212242必备知识 整合 关键能力 突破 学科素养 提升 角度二三角

15、函数的奇偶性角度二三角函数的奇偶性典例典例4函数f(x)=3sin,(0,).(1)若f(x)为偶函数,则= ;(2)若f(x)为奇函数,则= .23x563必备知识 整合 关键能力 突破 学科素养 提升 解析解析(1)若f(x)=3sin为偶函数,则-+=k+,kZ,即=+k,kZ,又(0,),=.(2)若f(x)=3sin为奇函数,则-+=k,kZ,即=+k,kZ,又(0,), =.23x32565623x333必备知识 整合 关键能力 突破 学科素养 提升 角度三三角函数的对称性角度三三角函数的对称性典例典例5 (2020浙江湖州中学模拟)函数f(x)=sin(x+)的最小正周期为,若将

16、其图象向左平移个单位长度后得到的图象对应的函数为奇函数,则函数f(x)的图象()A.关于点对称 B.关于点对称C.关于直线x=对称 D.关于直线x=对称0,|26,0125,01251212C必备知识 整合 关键能力 突破 学科素养 提升 解析解析 因为函数f(x)=sin(x+)的最小正周期为,所以=2,将f(x)的图象向左平移个单位长度后得到y=sin的图象,由y=sin是奇函数可得=-,即f(x)=sin.令2x-=k,kZ,得x=+,kZ,故A,B不正确;令2x-=k+,kZ,得x=+,kZ,故C正确,D不正确.故选C.623x23xy323x32k6322k512必备知识 整合 关键

17、能力 突破 学科素养 提升 名师点评名师点评有关三角函数的奇偶性、对称性和周期性问题的解题思路(1)奇偶性的判断方法:三角函数中奇函数一般可化为y=Asin x或y=Atan x的形式,而偶函数一般可化为y=Acos x的形式.(2)周期的计算方法:利用函数y=Asin(x+),y=Acos(x+)(0)的周期为,函数y=Atan(x+)(0)的周期为求解.(3)解决对称性问题的关键:熟练掌握三角函数图象的对称轴、对称中心.2必备知识 整合 关键能力 突破 学科素养 提升 提醒提醒对于函数y=Asin(x+),其图象的对称轴一定经过图象的最高点或最低点,对称中心的横坐标一定是函数的零点,因此在

18、判断直线x=x0或点(x0,0)是不是函数图象的对称轴或对称中心时,可通过检验f(x0)的值进行判断.必备知识 整合 关键能力 突破 学科素养 提升 1.(2020河南开封模拟)将函数f(x)=sin(2x+)的图象向左平移个单位长度后得到函数g(x)的图象,若函数g(x)是偶函数,则tan=()A.- B.C.- D. 623333333A必备知识 整合 关键能力 突破 学科素养 提升 解析解析 将函数f(x)=sin(2x+)的图象向左平移个单位长度,得g(x)=sin=sin2x+的图象,因为函数g(x)是偶函数,所以+=k+,kZ.所以=k+,kZ,则tan=tan=tan=-.626

19、x332623233k233必备知识 整合 关键能力 突破 学科素养 提升 2.(2020甘肃武威第六中学模拟)已知函数f(x)=2sin(2x+)(0),若函数f(x)的图象向右平移个单位长度后关于y轴对称,则下列结论中不正确的是()A.=B.是f(x)图象的一个对称中心C.f()=-2D.直线x=-是f(x)图象的一条对称轴656,0126C必备知识 整合 关键能力 突破 学科素养 提升 解析解析 函数f(x)=2sin(2x+)的图象向右平移个单位长度,可得y=2sin2x-+的图象,因为y=2sin的图象关于y轴对称,所以-+=k+,kZ,即y=+k,kZ,因为00)在区间内单调递减,

20、则的最大值为()A. B.C. D. 23x,6 2 12352334类型一结合三角函数的单调性求解类型一结合三角函数的单调性求解C必备知识 整合 关键能力 突破 学科素养 提升 解析解析 由2k2x+2k+,kZ得-x+,kZ,即函数f(x)的单调递减区间为,kZ.因为函数f(x)在区间内单调递减,所以满足kZ,得kZ,3k6k3,63kk,6 2 ,66,32kk61,22,3kk必备知识 整合 关键能力 突破 学科素养 提升 同时-=,则,则3,当k=0时,00)在区间上单调递增,则的取值范围是()A. B.C. D. 3x,6 3 10,21,121 2,3 32,23A必备知识 整合

21、 关键能力 突破 学科素养 提升 解析解析 当-x时,-+x+0)在区间上单调递增,所以解得,因为0,所以的取值范围是.6363333333x,6 3 ,632,332 1210,2必备知识 整合 关键能力 突破 学科素养 提升 (2020河南六市模拟)将函数y=4sin(0)的图象分别向左、向右各平移个单位长度后,所得的两个图象的对称轴重合,则的最小值为()A.3 B.2 C.4 D.62x6类型二利用三角函数的对称性求解类型二利用三角函数的对称性求解A必备知识 整合 关键能力 突破 学科素养 提升 解析解析 将函数y=4sin(0)的图象分别向左、向右各平移个单位长度后,得到y1=4sin

22、,y2=4sin的图象.由两图象的对称轴重合,可得-=k(kZ),所以=3k(kZ).又0,故的最小值为3.2x662 x62 x62 x62 x3必备知识 整合 关键能力 突破 学科素养 提升 解决此类问题可根据三角函数的对称性来研究其周期性,进而研究的取值.必备知识 整合 关键能力 突破 学科素养 提升 (2020湖南长沙长郡中学模拟)若将函数f(x)=sin的图象向右平移个单位长度后与原函数的图象关于x轴对称,则的最小正值是()A. B.3 C. D.66x233292A必备知识 整合 关键能力 突破 学科素养 提升 解析解析 将f(x)=sin的图象向右平移个单位长度,得到g(x)=s

23、in的图象.g(x)与f(x)的图象关于x轴对称,则g(x)+f(x)=0,令x+=,则sin +sin=0,即sin =sin对任意的R恒成立,于是+=2k+,kZ,故=2k+(kZ),解得=3k+(kZ),故的最小正值是.6x23236 x6232323233232必备知识 整合 关键能力 突破 学科素养 提升 (2020四川遂宁船山第二中学模拟)已知函数f(x)=sin x+cos x(0),若f(x)在0,2内恰有3个最值,则的取值范围为()A. B.C. D. 9 13,8 89 13,8 89 11,8 87 11,8 8类型三利用三角函数的最值求解类型三利用三角函数的最值求解 A

24、必备知识 整合 关键能力 突破 学科素养 提升 解析解析 f(x)=sin x+cos x=sin,令=x+,则,要使f(x)=sin x+cos x在0,2内恰有3个最值,则.24x4,24452,4272,4298138必备知识 整合 关键能力 突破 学科素养 提升 利用三角函数的最值与周期或图象的对称轴的关系,可以列出关于的不等式,进而求出的值或取值范围.必备知识 整合 关键能力 突破 学科素养 提升 (2020湖北襄阳第四中学模拟)设是正实数,若函数y=sin x在,2上至少存在两个极大值点,则的取值范围是 .9 5,4 213,4必备知识 整合 关键能力 突破 学科素养 提升 解析解析令sin x=1,解得x=,kZ.若y=sin x在,2上无极大值点,则存在实数k,使得2,kZ,解得2k+k+,kZ,因为存在且大于0,所以kZ,解得k=0或k=-1,故或0.若y=sin x在,2上有且只有一个极大值点,(41)2k(41)2k(45)2k1254152,241,kkk 125414必备知识 整合 关键能力 突破 学科素养 提升 则存在实数k,使得2,kZ,或2k+且2k-k+,kZ,(43)2k(41)2k(45)2k(43)2k(41)