COMSOLV43-求解器

1、仿 真 智 领 创 新Simulating inspires innovationCOMSOL Multiphysics求解器 中仿科技中仿科技 技术部技术部 2012 2012年年8 8月月仿 真 智 领 创 新Simulating inspires innovation仿 真 智 领 创 新Simulating inspires innovation内容安排 求解器基础理论求解器基础理论 直接求解器、迭代求解器直接求解器、迭代求解器 求解类型求解类型 稳态、瞬态、特征值、频率域、参数稳态、瞬态、特征值、频率域、参数 求解器配置求解器配置 操作特征、属性特征、实用特征操作特征、属性特征、实用

2、特征仿 真 智 领 创 新Simulating inspires innovation仿 真 智 领 创 新Simulating inspires innovation有限元方法 定义 将连续的求解域离散成一组有限个，按一定方式相互联结在一起的单元的组合体 将PDE转换成离散的线性代数方程系统 特点 各种复杂单元可以用来模型化几何形状复杂的求解域 各节点上的解的近似函数可以用来求解整个求解域上任意点的结果fuc)(FKu K：刚度矩阵 u：解变量，或解向量F：载荷向量u的数量：自由度数目（DOF）仿 真 智 领 创 新Simulating inspires innovation仿 真 智 领

3、创 新Simulating inspires innovation有限元的求解流程有限元的求解流程仿 真 智 领 创 新Simulating inspires innovation仿 真 智 领 创 新Simulating inspires innovation有限元方法的求解步骤仿 真 智 领 创 新Simulating inspires innovation仿 真 智 领 创 新Simulating inspires innovation一.求解器理论有限元法处理偏微分方程（PDE），并把它转换成离散的线性代数方程系统。fuc)(FKu 矩阵 K 称为刚度矩阵 (stiffness mat

4、rix)u 是解变量，也称为解向量 (solution vector)F是载荷向量 (load vector)u的长度称为自由度数目（DOF）仿 真 智 领 创 新Simulating inspires innovation仿 真 智 领 创 新Simulating inspires innovation线性 VS 非线性非线性问题：变量及其函数出现在： 材料参数 约束条件fuuc)(FuuK)(矩阵 K 称为Jacobian矩阵（非线性刚度矩阵）fuc)(仿 真 智 领 创 新Simulating inspires innovation仿 真 智 领 创 新Simulating inspir

5、es innovation线性 VS 非线性非线性问题：材料属性是u的函数，k(u)载荷是u的函数，b(u)uk,b(u)线性uk,b(u)弱非线性uk,b(u)强非线性uk,b(u)高度非线性FuuK)(FKu 仿 真 智 领 创 新Simulating inspires innovation仿 真 智 领 创 新Simulating inspires innovation直接求解器线性问题通过一步“求逆”得到结果u=K-1F： 把Ku=F分解成LUu=F，所以L和U是容易求逆并且具有鲁棒性 u=U-1L-1F 等同于Gaussian消去法非线性问题先通过牛顿迭代法，转化为线性问题，再求解

6、泰勒级数展开，取线性部分，计算得到un 满足|un-un+1|25K)W/(m*K)k线性问题弱非线性问题强线性问题高度线性问题仿 真 智 领 创 新Simulating inspires innovation仿 真 智 领 创 新Simulating inspires innovation要 求1.使用直接求解器2.分别使用定常（newton）和自动（newton）3.了解相对容差和迭代次数以及衰减因子的用法4.考虑不收敛问题的解决办法仿 真 智 领 创 新Simulating inspires innovation仿 真 智 领 创 新Simulating inspires innovat

7、ion问题: 四种情形下分别迭代多少次？是否使用了衰减因子？ 最终的温度分布场与热传导系数分布将会具有什么样的形式？ 是不是所有的解都收敛？原因？仿 真 智 领 创 新Simulating inspires innovation仿 真 智 领 创 新Simulating inspires innovation 直接求解器和迭代求解器 直接求解器 MUMPS, SPOOLES, PARDISO等 易于使用，鲁棒性强，占用内存大 适于处理小规模问题，高度非线性和多物理场问题 迭代求解器 GMRES, FGMRES, Conjugate Gradient, BiCGSTAB等 占用内存少，更多的选择

8、，调整比较困难 应用于特定的物理场，如，EM，CFD等 需要预处理器，网格框架，平滑器等仿 真 智 领 创 新Simulating inspires innovation仿 真 智 领 创 新Simulating inspires innovation迭代求解器 对于规模较大的问题（单元数多，自由度大），直接求解器计算会出现内存不足 矩阵分解是很耗内存的 L和U比K具有更多的非0元素 如何避免分解？ 迭代求解器： 不形成L和U 精细的迭代策略 对每一步测试是否r=Ku-F0（即是否左侧等于右侧）r 称为残差(residual)仿 真 智 领 创 新Simulating inspires inn

9、ovation仿 真 智 领 创 新Simulating inspires innovation迭代求解器GMRES（广义最小残差法） 在前面所有搜索方向上最小化残差，直到重新开始 如何调整重新求解前迭代步数（默认为50） 更节省内存 - 减小 得到较好的鲁棒性 - 增加FGMRES GMRES的一个灵活的变种 能有效地处理更多类的预处理器 比GMRES开销2倍多的内存Conjugate Gradient（共轭梯度法） 对称正定问题 在计算时比GMRES更快、内存使用效率更高BiCGStab（双共轭梯度法） 使用双共轭梯度稳定迭代算法 在计算时比GMRES更快、内存使用效率更高仿 真 智 领

10、创 新Simulating inspires innovation仿 真 智 领 创 新Simulating inspires innovation迭代求解器和预处理器为了在合理的计算时间内达到收敛，迭代求解器需要一个好的初始估算值 利用预处理器（提高求解问题的收敛性）预处理器M是K的近似值，预处理后的系统变为M-1Ku=M-1F Au=B A=M-1K, B=M-1F预处理后的系统收敛较快，Au=B 比 Ku=F 更容易（快）求解通常，迭代方法根据前面的残差（r=Ax-b）对u进行较小的改变仿 真 智 领 创 新Simulating inspires innovation仿 真 智 领 创

11、新Simulating inspires innovation预处理器不完全 LU （Incomplete LU） 最具有鲁棒性 内存要求大代数多网格 （Algebraic Multigrid） 标量和松散耦合的多物理场问题 对Poisson问题非常有效 几何多网格 对于椭圆或抛物型体系适用 雅克比（Jacobi） 简单，内存使用非常少 适用于椭圆或对角占优问题SOR（超松弛） 有效使用内存 对于大型电磁问题Vanka (前/后平滑器) 确定Vanka变量 对角线上为0的变量 对每个Vanka DOF求解连接自由度的低密度系统仿 真 智 领 创 新Simulating inspires inn

12、ovation仿 真 智 领 创 新Simulating inspires innovation几何多网格法对GMRES或CG的独立求解器或预处理器至少需要两级网格水平（fine和coarse） 通过改变单元阶数或细化、粗化网格建立新网格水平 与当前网格相比，少数几次迭代（平滑器）滤出高频误差 低频误差映射到逐次的粗化网格 在最粗化网格水平，直接求解器消除剩余误差参数多，调整困难，但在计算时优于所有其他一般的求解器适合于非常大规模的问题 GMRES+几何多重网格法仿 真 智 领 创 新Simulating inspires innovation仿 真 智 领 创 新Simulating ins

13、pires innovation求解器使用规则 单场问题推荐使用缺省设置 检查手册中类似的案例模型和它们使用的求解器 对多物理场问题，以直接求解器开始： 尝试PARDISO PARDISO计算失败，且如果问题是病态的 尝试MUMPS 最后尝试SPOOLES仿 真 智 领 创 新Simulating inspires innovation仿 真 智 领 创 新Simulating inspires innovation求解器使用规则(续) 如果直接求解器由于内存问题计算失败或者求解速度太慢，尝试迭代求解器 尝试使用GMRES, FGMRES或BiCGStab，并使用合适的预处理器 如果问题是正定

14、的以及对称或共轭，尝试使用CG迭代求解器 预处理器的使用规则 针对不同的问题，COMSOL通常会给出较为合适的预处理器，当缺省的预处理器表现不好的时候，可以选取其他的预处理器仿 真 智 领 创 新Simulating inspires innovation仿 真 智 领 创 新Simulating inspires innovation选择线性求解器(续)预处理器的使用规则- 如果问题是椭圆或者抛物型，尝试使用几何多网格预处理器- 如果问题是椭圆或者抛物型且是个标量问题，可以使用代数多网格预处理器- 当遇到如N-S方程这样的正定问题（矩阵的对角为0），使用- Vanka或者几何多网格预处理器-

15、 如果问题是正定的，但是规模太大，使用其他预处理器会造成内存不足，尝试SOR或Jacobi预处理器- 如果求解的是电磁场问题并且PDE中带有旋度-旋度算子，尝试几多网格或SOR矢量预处理器- ILU预处理器可以用于所有线性问题仿 真 智 领 创 新Simulating inspires innovation仿 真 智 领 创 新Simulating inspires innovation全耦合和分离求解器耦合求解器物理 1物理 2物理 3物理 1物理 2物理 3 分离式求解器仿 真 智 领 创 新Simulating inspires innovation仿 真 智 领 创 新Simulati

16、ng inspires innovation分离式求解器对高度非线性多物理场模型容易获得好的初始估算值对不同的物理场使用不同的求解器设置对大规模、耦合问题的计算，内存开销急剧下降 流固耦合(FSI)、湍流、波传播-结构-热问题 对于很复杂的多物理场问题，减少求解时间微波-热-结构多物理场耦合仿 真 智 领 创 新Simulating inspires innovation仿 真 智 领 创 新Simulating inspires innovation练习 2在练习1的基础上，增加结构力学求解要求：对于温度场使用直接求解 对于应力场使用迭代求解 比较分离求解和全耦合求解 的结果和求解时间仿 真

17、 智 领 创 新Simulating inspires innovation仿 真 智 领 创 新Simulating inspires innovation总结：得到收敛和一致的初始条件 的技巧 对瞬态问题，设置一个很短时间内的缓冲 使用参数求解器来加强高度非线性问题的收敛性 使用瞬态求解器得到稳态解 如果是多物理场问题可以使用分离式求解器 使用高度非线性选项仿 真 智 领 创 新Simulating inspires innovation仿 真 智 领 创 新Simulating inspires innovation二.求解类型 稳态稳态 瞬态瞬态 特征值特征值 频域频域 参数参数仿 真

18、 智 领 创 新Simulating inspires innovation仿 真 智 领 创 新Simulating inspires innovation稳态求解类型使用情形：求解问题与时间无关 参数化扫描 一边计算，一边观察结果 选择求解的物理场 使用其他step中计算的变量值 选择不同的网格 参数化扫描、自适应网格、 优化计算仿 真 智 领 创 新Simulating inspires innovation仿 真 智 领 创 新Simulating inspires innovation瞬态求解器类型使用情形：求解问题与时间有关 设定计算时间及时间步长 相对容差：控制时间步 一边计算，一边观察结果 选择求解的物理场 使用其他step中计算的变量值 选择不同的网格 参数化扫描、自适应、自动 重新剖分网格、优化计算仿 真 智 领 创 新Simulating inspires innovation仿 真 智 领 创 新Simulating inspires innovation频域求解类型使用情形：本质上也是稳态求解，将时域的问题转