应用数理统计—无重复双因素方差分析

1、方差分析 2双因素方差分析双因素方差分析 在许多实际问题中，往往不能只考虑一在许多实际问题中，往往不能只考虑一个因素的各水平的影响，还必须同时考个因素的各水平的影响，还必须同时考虑几种因素的相互影响作用。研究两种虑几种因素的相互影响作用。研究两种因素对试验指标的影响，称为双因素方因素对试验指标的影响，称为双因素方差分析。不考虑交互作用影响采用无重差分析。不考虑交互作用影响采用无重复双因素方差分析，考虑交互作用影响复双因素方差分析，考虑交互作用影响采用有重复双因素方差分析。采用有重复双因素方差分析。3无重复双因素分析例例 随着计算机的发展，对键盘的要求更为随着计算机的发展，对键盘的要求更为严格。

2、某公司要研究现有键盘设计是否严格。某公司要研究现有键盘设计是否影响打字员的速度。影响打字员的速度。 现随机选择能力不同的现随机选择能力不同的5 5名打字员。每名打字员。每个打字员用三种键盘进行测试。个打字员用三种键盘进行测试。 问三种键盘的打字速度在显著水平为问三种键盘的打字速度在显著水平为0.010.01（或（或99%99%的置信度）下是否相同。的置信度）下是否相同。4无重复双因素分析方差分析原始数据方差分析原始数据打字员打字员键盘键盘A键盘键盘B键盘键盘C1234551109479870571124398697211751107775无重复双因素分析 影响打字员速度的一个重要因素是个人影响

3、打字员速度的一个重要因素是个人的技能，双因素方差分析能够提供数据的技能，双因素方差分析能够提供数据来解释打字速度的很大差异归因于打字来解释打字速度的很大差异归因于打字员之间的能力差异，而不是键盘差异。员之间的能力差异，而不是键盘差异。6Excel分析工具中的方差分析分析工具中的方差分析7无重复双因素分析统计分析因素因素A有有a个个水平水平A1 , A2, . . , Aa ,因素因素B有有b个水平个水平B1 , B2, . . , Bb ,在每一个组合水平在每一个组合水平 (Ai, Bj)下下,进行进行1次次试验，试验指标的观察值为：试验，试验指标的观察值为：8统计分析B(j)A(i) B1B

4、2. .Bj. .Bbxi A1x11x12. .x1j. .x1bx1 A2x21x22. .x2j. .x2bx2 . . . . . . . . .Aixi1xi2. .xij. .xibxi . . . . . . . . .Aaxa1xa2. .xaj. .xabxa x jx 1x 2. .x j. .x bx9统计分析设设xijN( ij, 2)，i=1,2, . . ,a, j=1,2, . . ,b 线性统计模型为线性统计模型为记记 ij = + i + j , i为因素为因素A的的Ai水平效应水平效应, j为因素为因素B的的Bj水平效应水平效应,相相互互独独立立随随机机误误

5、差差ijijijijijNbjaix , ), 0(, 2 , 1, 2 , 1,2aibjijxab111 其其中中01aii 01bjj 10统计分析线性统计模型变为线性统计模型变为aibjjiijijijjiijNbjaix1120, 0, ), 0(, 2 , 1, 2 , 1, 相相互互独独立立11统计分析检验的假设为检验的假设为：iHHiAaA至至少少有有一一个个, 0:0:1210 jHHjBbB至至少少有有一一个个, 0:0:1210 12统计分析1.1.总平方和分解总平方和分解在在水平水平Ai下的样本均值下的样本均值在在水平水平Bj下的样本均值下的样本均值样本数据的总平均值样

6、本数据的总平均值总离差总离差平方和平方和bjijixbx11aibjijxabx111aibjijTxxS112aiijjxax1113统计分析 aibjjiijaibjjiaibjjiijaibjaibjjiaibjjiijjiTxxxxxxaxxbxxxxxxxxxxxxxxxxS112112211211112211214统计分析记记则则ST= SA + SB + SE aibjjiijEbjjBaiiAxxxxSBxxaSAxxbS1121212,误误差差平平方方和和效效应应平平方方和和因因素素效效应应平平方方和和因因素素15统计分析2.2.统计分析统计分析 ST的自由度为的自由度为ab

7、- -1,SA的自由度为的自由度为a- -1,SB的自由度为的自由度为b- -1,SE的自由度为的自由度为(ab- -1)- -(a- -1)- -(b- -1) = (a- -1)(b- -1)16统计分析 均方值均方值) 1)(1(,1,1baSMSbSMSaSMSEEBBAA17统计分析 均方值期望均方值期望2122122)(,1)(,1)( EbjjBaiiAMSEbaMSEabMSE18统计分析在在HA0： i=0 ，HB0： i=0成立的条件下：成立的条件下：可证可证)1)(1(,) 1(,) 1(222222baSbSaSEBA 19统计分析统计量统计量对于给定的对于给定的 ，查

8、出查出F (a- -1, (a-1-1)(b-1-1)，F (b- -1, (a-1-1)(b-1-1)，由样本值计算出由样本值计算出SA , SB , SE ，从而算出从而算出F1 , F2值。值。若若F1 F (a- -1,(a- -1)(b-1-1)，则拒绝则拒绝HA0，若若F2 F (b- -1, (a-1-1)(b-1-1)，则拒绝则拒绝HB0 。)1)(1( , 1()1)(1( , 1()1)(1()1(2)1)(1()1(12222babFMSMSFbaaFMSMSFEBbaSbSEAbaSaSEBEA 20统计分析3.3.简化计算与列表简化计算与列表记记bjjaiiaibji

9、jaiijjbjijixxxxbjxxaixx111111, 2 , 1, 2 , 1,21统计分析简便计算公式简便计算公式BATEbjjBaiiAaibjijTSSSSabxaxSabxbxSabxxS2122122112,22统计分析无重复双因素方差分析表无重复双因素方差分析表方差来源方差来源 平方和平方和自由度自由度均方均方F 比比因素因素ASAa- -1因素因素BSBb- -1误差误差ESE(a-1-1)(b- -1)总和总和TSTab-1-11aSMSAA1bSMSBBEAMSMSF 1) 1)(1(baSMSEEEBMSMSF 223例例 使用使用4种燃料，种燃料，3种推进器作火箭

10、射程试种推进器作火箭射程试验，每一种组合情况做一次试验得火箭验，每一种组合情况做一次试验得火箭射程射程(单位：海里单位：海里)列于表，试分析各种列于表，试分析各种燃料燃料(Ai)与各种推进器与各种推进器(Bj)对火箭射程有对火箭射程有无显著影响？（无显著影响？（ = =0.05）24 BjAiB1B2B3xi A15825626531797A24915415161548A36017093921702A47585824871827x j2432239420486874=x 25解解这是双因素试验，不考虑交互作用。这是双因素试验，不考虑交互作用。设火箭射程为设火箭射程为 xij= + i + j

11、+ ij , i=1,2,3,4, j=1,2,3原假设原假设HA0： 1 = 2 = 3 = 4 = 0 HB0： 1 = 2 = 3 = 0对立假设对立假设HA1： I 0 至少有一个至少有一个i HB1： j 0 至少有一个至少有一个j这里这里a=4，b=3，ab=1226 6 ,2, 3 ,11,73198223851575911134222385126874)204823942432(4112415759126874)1827170215481797(3112311134212687448756258212222223122222224122222241312的的自自由由度度分分别别为为EBATBATEjjBiiAijijTSSSSSSSSxxSxxSxxS 27火箭射程方差分析表为火箭射程方差分析表为 方差来源方差来源平方和平方和自由度自由度均方均方F 比比燃料燃料43推进器推进器B22385211192.50.92误差误差E73198612199.7总和总和T111342112