9.4重积分的应用ppt课件

1、9.4 重积分的应用一一 曲面的面积曲面的面积物理应用物理应用一一 曲面的面积曲面的面积),(yxzz oxyzDdS),(zyxdn,1,yxzzn那么那么2211cosyxzz cos dSdddScos1dxdyzzdSyx221所以所以dxdyzzSDyx221设设),(yxzz 在在D偏导数，偏导数，上有连续上有连续注：注： 曲面曲面的方程是的方程是),(zxyy 且它在且它在xoz面上面上的投影区域为的投影区域为,D则曲面则曲面的面积为的面积为dxdzyySDzx221 曲面曲面的方程是的方程是),(zyxx 且它在且它在yoz面上面上的投影区域为的投影区域为,D则曲面则曲面的面积

2、为的面积为dydzxxSDzy221例例1 求曲面求曲面2222yxz在圆柱面在圆柱面122 yx之内之内的那部分面积。的那部分面积。解解落在落在1:22 yxD内的那部分面积内的那部分面积2222yxzdxdyzzSDyx221dxdyyxD221dd10220110232)1 (3123224例例2 求圆锥面求圆锥面22yxz 夹在两圆柱面夹在两圆柱面yyx222之间的那部分面积。之间的那部分面积。解解DyxdxdyzzS221 Ddxdy2324 2()4 ,22yyx22yxz 落在落在yyxyD2:22 那部分面积那部分面积内内的的例例3 求球面求球面2222Rzyx被平面被平面)0

3、(Raaz所截得的上面部分的面积。所截得的上面部分的面积。解解该曲面可以看成球面该曲面可以看成球面222yxRz落在落在2222:aRyxD内的部分，内的部分， 其面积为其面积为DyxdxdyzzS221DdxdyyxRR222dRRdaR2202220)(2aRR注：注： 当当0a时，时，得到上半球面的面积得到上半球面的面积22 R。例例4 求圆柱面求圆柱面222ayx被圆柱面被圆柱面222azx所所截下的在第一卦限中的那部分面积。截下的在第一卦限中的那部分面积。oxyz解解22xayD, 0, 0,:222zxazxD记记DzxdxdzyyS221那么那么所求那部分曲面的面积为所求那部分曲

4、面的面积为Ddxdzxaa22220022xaadzdxxaa2a二二 物理应用物理应用1 质心质心（1平面薄片的质心平面薄片的质心设平面薄片在设平面薄片在xoy面上占有有界闭区域面上占有有界闭区域D，其面密度，其面密度为为),(yxoxy),(yxddyx),(xDD对对Dy轴的静矩轴的静矩dyx),(Dy对对Dx轴的静矩轴的静矩,),(),(DDdyxdyxxxDDdyxdyxyy),(),(若将平面薄片若将平面薄片D的质量集中在一点的质量集中在一点),(yx使得使得对对x轴的静矩不变，轴的静矩不变，轴与轴与y则称这一点则称这一点),(yx为平面薄片为平面薄片D的质心。的质心。因此因此（这

5、就是平面薄片（这就是平面薄片 的质心坐标计算公式）的质心坐标计算公式）D特别，特别，当当Cyx),(时，时，（即平面薄片是均匀分布的）（即平面薄片是均匀分布的）,DxdxDydy其中其中是平面薄片是平面薄片D的面积。的面积。此时此时),(yx即为即为D的形心。的形心。例例5 设设D是由直线是由直线1, 0,xyxy所围成的三角所围成的三角形薄片，其面密度为形薄片，其面密度为,),(22yxyx求求D的质心。的质心。解解Ddyx),(xdyyxdx02210)(31Ddyxx),(xdyyxxdx02210)(154Ddyxy),(xdyyxydx02210)(203,54 x209y即即D的质

6、心为的质心为).209,54(oyx1例例6 求位于两圆求位于两圆sin2与与sin4之间的均匀之间的均匀薄片的质心。薄片的质心。解解oxy24由于薄片是均匀的，由于薄片是均匀的，而且薄片关于而且薄片关于y轴轴对称，对称， 所以所以. 0 x又因为又因为DydDsin4sin2220sin2dd204sin3112d7所以所以,37y,3D的面积的面积即即D的质心为的质心为).37, 0(（2空间物体的质心空间物体的质心，其体密度为，其体密度为),(zyx设物体在空间中占有有界闭区域设物体在空间中占有有界闭区域则它的质心则它的质心),(zyx为：为：dVzyxdVzyxyy),(),(dVzy

7、xdVzyxxx),(),(dVzyxdVzyxzz),(),(特别，特别，Czyx),(时，时，当当,VxdVx,VydVyVzdVz其中其中V是物体是物体的体积。的体积。此时此时质心即为形心。质心即为形心。例例7 求球心位于原点，半径为求球心位于原点，半径为 的均匀上半球体的质心。的均匀上半球体的质心。解解oxyzadVzazdz02222zayxdxdyadzzaz022)(44a323aV,83az 质心为质心为).83, 0, 0(aa2 转动惯量转动惯量（1平面薄片的转动惯量平面薄片的转动惯量oxyD),(yxdxIdyx),(D2yyIdyx),(2xDoIdyx),()(22yx D（2空间物体的转动惯量空间物体的转动惯量,),()(22dVzyxzyIxdVzyxzxIy),()(22dVzyxyxIz),()(22,),(2dVzyxzIxoydVzyxyIxoz),(2dVzyxxIyoz),(2dVzyxzyxIo),()(222例例8 求均匀球体求均匀球体2222)(aazyx对坐