对顶角、余角和补角

1、北师大七年级(下)扶手扶手双杠双杠铁轨铁轨一、两直线位置关系一、两直线位置关系阅读课本阅读课本38页至页至“议一议议一议”前，完成以下问题：前，完成以下问题：1. ， 的两条直线叫的两条直线叫做相交线。做相交线。2. ， 的两条直线叫做平行线的两条直线叫做平行线.3.同一平面内，两条直线的位置关系有同一平面内，两条直线的位置关系有_和和_两种。两种。4.不相交的两条直线一定是平行线吗？不相交的两条直线一定是平行线吗？在同一个平面内在同一个平面内不相交不相交检测检测只有一个交点只有一个交点在同一个平面内在同一个平面内相交相交平行平行 判断下面说法是否正确判断下面说法是否正确: （1）不相交的两条

2、直线叫做平行线。）不相交的两条直线叫做平行线。 （ ）（2）在同一平面内，不相交的两条线段）在同一平面内，不相交的两条线段 是平行线是平行线 。 （ ）（3）两条直线，要么平行，要么相交。）两条直线，要么平行，要么相交。 （ ）同一平面内同一平面内直线直线 1.判断题判断题: （1）不相交的两条直线叫做平行线。）不相交的两条直线叫做平行线。 （ ）（2）在同一平面内，不相交的两条线段）在同一平面内，不相交的两条线段 是平行线是平行线 。 （ ）（3）两条直线，要么平行，要么相交。）两条直线，要么平行，要么相交。 （ ）2.在同一平面内，两条直线的位置关系只有、在同一平面内，两条直线的位置关系只

3、有、 两种。两种。平行平行相交相交同一平面内同一平面内直线直线如图，直线如图，直线AB、CD相交于相交于O21ABCDO34观察观察发现发现1 11和和2有什么位置关系？有什么位置关系？直线直线ABAB与与CDCD相交于点相交于点O O，11与与22有有公共顶点公共顶点O O，它们的，它们的两边互两边互为反向延长线为反向延长线，这样的两个角叫，这样的两个角叫做做对顶角对顶角。图中还有没有图中还有没有其他对顶角？其他对顶角？探索一探索一如图，（如图，（1） 指出指出1的边和顶点的边和顶点（2）把）把AO ,DO延长，得到延长，得到 OC，OB ，形成，形成2 ，观察这两个角，它们有什么特点？，观

4、察这两个角，它们有什么特点？（3）总结：对顶角的定义：）总结：对顶角的定义：DBCOA2143 一个角的两边是另一个角两边的反向延长线，一个角的两边是另一个角两边的反向延长线，具有这种位置具有这种位置 关系的两个角叫做对顶角。关系的两个角叫做对顶角。图中还有没有其他对顶角？（1）下列各图中，）下列各图中，1与与2是对顶角的是（是对顶角的是（ ）12C12DD12A12B对顶角定义：对顶角定义：有公共顶点，并且两边互为反向延长线，有公共顶点，并且两边互为反向延长线，的两个角叫做对顶角的两个角叫做对顶角。（2 2）如图所示）如图所示, ,直直ABAB、CDCD相相交于交于O O点，点，OEOE是射

5、线，则是射线，则1 1的对顶角是的对顶角是 ，4 4的的对顶角是对顶角是 。AODAOD33O O2 21 13 34 4E EB BA AC CD D请你观察图中请你观察图中1和和2这组对顶角，你这组对顶角，你发现它们的大小有什发现它们的大小有什么关系么关系?观察观察发现发现2 221ABCDO已知：如图，直线已知：如图，直线AB与与CD交于交于O求证：求证：1=2 探究探究对顶角性质：对顶角性质： ABDC证明：证明：O1（）21 +AOC =180 (平角定义平角定义)2 +AOC =180(平角定义平角定义) 1 = 2 (等式性质等式性质)1 =180-AOC 2 =180-AOC

6、A AB BC CD DE EF FO O(3)如图，已知如图，已知DOE=90，AB是经过点是经过点O的一条直线。如果的一条直线。如果AOC=700，那么那么BOF等于多少度等于多少度?为什么为什么?AOC=70（已知）（已知）BOD=70（对顶角相等）（对顶角相等）DOE=90（已知）（已知）DOF=90（平角定义）（平角定义）BOF=DOF-DOB =90- 70=20（1）定义中的定义中的“互为互为”一词如何理解？一词如何理解？（3）互补、互余的两角是否一定有公共顶点或公共边？互补、互余的两角是否一定有公共顶点或公共边？（2）1 + 2 + 3 = 180,能说能说1 、2、 3 互补

7、吗？互补吗？余角互余补角互补 的余角的余角的补角的补角5776223x 练习1：8513273790-x 17510311737180-x 2.同一个锐角的补角比它的余角大多少？同一个锐角的补角比它的余角大多少？=90=90180o-xo思考：思考：1.锐角是否都有余角和补角？钝角呢？锐角是否都有余角和补角？钝角呢？(90o-xo)- 的余角的余角的补角的补角5776223x 练习1：8513273790-x 9514517510311737180-x 8535不存在不存在不存在不存在同一个锐角的补角比它的余角大多少？同一个锐角的补角比它的余角大多少？=90=90 互余和互补是两个角的数量关系

8、，与它们的位置无关。互余和互补是两个角的数量关系，与它们的位置无关。180o-xo-(90o-xo)练习练习2:2: 若一个角的补角等于它的余角的若一个角的补角等于它的余角的4 4倍，求这个倍，求这个角的度数。角的度数。解：设这个角是x ，则它的补角是(180 x), 余角是(90 x) ,根据题意得： 180 x = 4 (90 x)解得： x = 60答：这个角的度数是60 。图图2 22 2小组合作交流，解决下列问题：在图小组合作交流，解决下列问题：在图23中中问题问题1：哪些角互为补角？哪些角互为余角？：哪些角互为补角？哪些角互为余角？问题问题2：3与与4有什么关系？为什么？有什么关系

9、？为什么？问题问题3：AOC与与BOD有什么关系？为什么？有什么关系？为什么？N N 2 2D DC C O O1 13 34 4A AB B图图2-32-3打台球时，选择适当的方向，用白球击打红球，反弹后的红球打台球时，选择适当的方向，用白球击打红球，反弹后的红球会直接入袋，此时会直接入袋，此时1=21=2，将图，将图2-22-2抽象成图抽象成图2-32-3，ONON与与DCDC交于交于点点O O，DON=CON=90DON=CON=900 0，1=21=2。1）若）若1与与2互余，互余， 2与与3互余，则互余，则 _，根据，根据_.2）若1与2互补， 2与3互补，则_，根据，根据_.1=

10、3同角的余角相等同角的余角相等1= 3同角的补角相等同角的补角相等巩固练习巩固练习1 互补的角互补的角 2=4 , AOC=BOC=DOE=900 1=3 互余的角互余的角 相等的角相等的角13AOEDOBDOBCAOBDE）（）4312如图如图A、O、 B在同一直线在同一直线上上,AOC= DOE= 90，找出图中找出图中巩固练习巩固练习2如图如图1-2-3，已知，已知AOC与与BOD都是直角，都是直角，BOC=60（1）求）求AOB和和DOC的度数；的度数；（2）A OB与与DOC有何大小关系；有何大小关系；（3）若不知道）若不知道BOC的具体度数，其他条件的具体度数，其他条件不变，这种关

11、系仍然成立吗？请说明理由。不变，这种关系仍然成立吗？请说明理由。巩固练习巩固练习2（1）如图，）如图，ABC中，中，C=90.则则A是是B的的 。（2 2）变式训练：）变式训练：在在的基础上，作的基础上，作CDA=90CDA=900 0，如图，如图. .1.1.则则AA的余角有哪几个？为什么？的余角有哪几个？为什么？2.2.请找出图中相等的角，并说明理由。请找出图中相等的角，并说明理由。巩固练习巩固练习3C CA AB BC CA AB BD D图图21ABCDOADCBO 定义：定义：一个角的两边是另一个角两边的反向一个角的两边是另一个角两边的反向延长线，这两个角叫做对顶角。延长线，这两个角

12、叫做对顶角。DBCOA那么那么3 3和和4 4 呢？呢？21也是对顶角！也是对顶角！43对顶角对顶角 ABDCO O）2 21 1（如图，直线如图，直线AB和和CD相交相交于点于点O，我们就把其中的我们就把其中的1和和2叫做叫做对顶角对顶角。AOC和和BOD还有没有还有没有对顶角对顶角？（1）下列各图中，）下列各图中，1与与2是对顶角的是（是对顶角的是（ ）12A12B12C12D试一试！试一试！D（2 2）如图所示）如图所示, ,直直ABAB、CDCD相相交于交于O O点，点，OEOE是射线，则是射线，则4 4的对顶角是的对顶角是 ，1 1的的对顶角是对顶角是 。AODAOD33O O2 2

13、1 13 34 4E EB BA AC CD D 对顶角性质：对顶角性质：对顶角相等对顶角相等 ABDC证明：证明：直线直线AB与与CD交于交于O(已知已知)， 1 +AOC =180 (平角定义平角定义) 2 +AOC =180(平角定义平角定义) 1 = 2 (等式性质等式性质) 已知：如图，直线已知：如图，直线AB与与CD交于交于O求证：求证：1=2O1（）2性质的应用性质的应用 如图所示，三条如图所示，三条直线直线ABAB、CDCD、EFEF相交相交于一点于一点O,AOCO,AOC的对顶的对顶角是角是 ，COFCOF的的对顶角是对顶角是_._. B BD DE EA AC CF FO

14、ODOBDOBDOEDOE 如图，三条直线如图，三条直线ABAB、CDCD、EFEF两两相交，在这两两相交，在这个图形中有对顶角个图形中有对顶角_对，对，A AE ED DC CB BF F6 若把上题中若把上题中1=401=400 0 这这个条件换成其他条件，个条件换成其他条件，而结论不变，请自编几而结论不变，请自编几道题。道题。 ABDC1234 若直线若直线ABAB，CDCD相交，相交，1=401=400 0则则2 2 =_ 度，度，3 3 =_ 度，度，4 4 =_度度40140140如图所示，三条直线如图所示，三条直线ABAB、CDCD、EFEF相相交于点，交于点，1 10 00 0,2=75,2=750 0, ,则则3 3等于多少度等于多少度? ?C CD DE EA AF FO OB B1 12 23 3解解: : 110 0 2= 75 (已知已知) AOF= 180 2 1 = 180 75 0 = 65 3= AOF= 65 65 ( (对顶角相等对顶角相等) )