8.1向量极其线性运算ppt课件

1、18.1 8.1 向量及其线性运算向量及其线性运算一、向量概念一、向量概念二、向量的线性运算二、向量的线性运算三、空间直角坐标系三、空间直角坐标系四、利用坐标作向量的线性运算四、利用坐标作向量的线性运算五、向量的模、方向角、投影五、向量的模、方向角、投影2向量：向量： 既有大小又有方向的量.向量表示：向量表示：以以1M为为起起点点，2M为为终终点点的的有有向向线线段段.1M2M a21MM或或一、向量概念一、向量概念在数学上，用有向线段来表示向量.有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向.记作|a向量的模：向量的模： 向量的大小向量的大小. .或或21MM| |记作记作21M

2、M如：向量如：向量的模的模模等于模等于1 1的向量的向量. .零向量：零向量：模等于模等于0 0的向量的向量. .0单位向量：单位向量：自由向量：自由向量：不考虑起点位置的向量不考虑起点位置的向量. .相等向量：相等向量： 大小相等且方向相同的向量大小相等且方向相同的向量. .ab注：零向量的方向是任意的注：零向量的方向是任意的. .4向量的夹角：向量的夹角：, 0 a, 0 bab ),(ba ),(ab 特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定它们的夹角可在它们的夹角可在0 0与与 之间任意取值之间任意取值. . 0() 或者0),(ba向量向量 与

3、与 平行平行(共线共线)：ab向量向量 与与 垂直：垂直：ab2),(ba 加法：加法：cba abc平行四边形法则平行四边形法则特殊地：假设特殊地：假设ababc|bac 同向同向bac|bac 三角形法则三角形法则1、向量的加减法bac二、向量的线性运算二、向量的线性运算反向反向6向量的加法的运算规律：向量的加法的运算规律：（1 1交换律：交换律：.abba （2 2结合律：结合律：cbacba )().(cba . 0)( aa负向量：负向量：a a与与 大小相等但方向相反的向量叫大小相等但方向相反的向量叫做做 的负向量的负向量. . 记作记作 aa. a 减法减法)( baba ba

4、ba ababc根据三角形两边之和大于第三边，可知：根据三角形两边之和大于第三边，可知：|) 1 (baba|)2(baba8, 0)1( |aa , 0)2( 0a, 0)3( a 与与a反反向向，|aa aa2a21 2、向量与数的乘法9数与向量的乘积满足的运算规律：数与向量的乘积满足的运算规律：（1 1结合律：结合律：)()(aa a)( （2 2分配律：分配律：aaa )(baba )(.0ababa，使的实数必要条件是：存在唯一的充分平行于，则向量设向量定理10同方向的单位向量，表示与非零向量设aa0按照向量与数的乘积的规定，按照向量与数的乘积的规定，0|aaa .|0aaa 上式表

5、明：一个非零向量除以它的模的结果是上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量一个与原向量同方向的单位向量. .MBACD解解:例例1. 1. 设设 M M 为平行四边形为平行四边形ABCD ABCD 对角线的交点对角线的交点, ,ba,aAB ,bDAACMC2MA2BDMD2MB2.,MDMCMBMAba表示与试用baab)(21baMA)(21abMB)(21baMC)(21abMD12例例2 2 试用向量方法证明：对角线互相平分试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形必是平行四边形的四边形必是平行四边形. .证证AMMC BMMD AD AM MDMC BMBC

6、 AD与与 平行且相等平行且相等,BC结论得证结论得证.ABCDMab13例例3 3 化化简简 53215abbba解解 53215abbbaba 551251)31(.252ba 14x横轴横轴y纵轴纵轴z竖轴竖轴 定点定点o空间直角坐标系空间直角坐标系三个坐标轴的正方向符合右手系三个坐标轴的正方向符合右手系. .三、空间直角坐标系三、空间直角坐标系（1 1空间直角坐标系空间直角坐标系15xyozxoy面面yoz面面zox面面空间直角坐标系共有八个卦限空间直角坐标系共有八个卦限（2 2坐标面与卦限坐标面与卦限(3) (3) 向量的坐标表示向量的坐标表示在空间直角坐标系下,那么沿三个坐标轴方向

7、的分向量.kzjyixr),(zyxxoyzMNBCijkA,轴上的单位向量分别表示以zyxkji此式称为向量 r 的坐标分解式 ,rkzjyix称为向量,r任意向量 r 可用向径 OM 表示.NMONOMOCOBOA, ixOA, jyOBkzOC有序数),(zyx称为向量r的坐标，记为四、利用坐标作向量的线性运算四、利用坐标作向量的线性运算设),(zyxaaaa , ),(zyxbbbb 那么ba),(zzyyxxbababaa),(zyxaaaab,0 时当aabxxabyyabzzabxxabyyabzzab 平行向量对应坐标成比例平行向量对应坐标成比例.，为实数18.32)4 , 5

8、 , 1 ()3 , 2, 1 (1baba，求，已知例:解解 ba32)4 , 5 , 1 (3)3 , 2, 1 (2)12,15, 3()6 , 4, 2()6,19, 1(例例2. 已知两点已知两点在AB直线上求一点 M , 使解解: 设设 M 的坐标的坐标为为, ),(zyxABMo11MAB, ),(111zyxA),(222zyxB及实数, 1得),(zyx11),(212121zzyyxx即.MBAMAMMBAMOAOM MBOMOBAOOM )(OMOBOMOBOA(阐明阐明: 由由得定比分点公式:,121xx,121yy121zz,1时当点 M 为 AB 的中点 , 于是得

9、x,221xx y,221yy z221zz ABMoMAB),(zyx11),(212121zzyyxxxyz中点公式中点公式: :五、向量的模、方向角、投影五、向量的模、方向角、投影 1. 1. 向量的模与两点间的距离公式向量的模与两点间的距离公式222zyx),(zyxr 设OMr 222OROQOPxoyzMNQRP，则和点设点),(),(222111zyxBzyxAAB两点间的距离公式两点间的距离公式: :212212212)()()(zzyyxxBABA),(121212zzyyxxOAOBABxoyz例例1. 在在 z 轴上求与两点轴上求与两点)7, 1 ,4(A等距解解: 设该

10、点为设该点为, ),0,0(zM,BMAM因为 2)4(212)7(z 23252)2(z解得,914z故所求点为及)2,5,3(B. )914,0,0(M思索思索: (1) 如何求在 xoy 面上与A , B 等距离之点的轨迹方程?(2) 如何求在空间与A , B 等距离之点的轨迹方程 ?离的点 . 提示提示:(1) 设动点为, )0,(yxM利用,BMAM得,028814 yx(2) 设动点为, ),(zyxM利用,BMAM得014947zyx且0z)7, 1 ,4(A)2,5,3(B例例2. 已知两点已知两点)5,0,4(A和, )3, 1 ,7(B解解:求141)2,1,3(142,1

11、41,143.BABABABA25解解 221MM,14)12()31()47(222 232MM, 6)23()12()75(222 213MM, 6)31()23()54(222 32MM,13MM 原结论成立原结论成立.26解解设设P点坐标为点坐标为),0 , 0 ,(x因因为为P在在x轴轴上上， 1PP 22232 x,112 x 2PP 22211 x, 22 x 1PP,22PP112 x222 x, 1 x所求点为所求点为).0 , 0 , 1(),0 , 0 , 1( oyzxr2. 2. 方向角与方向余弦方向角与方向余弦非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角非零向量与三条

12、坐标轴的正向的夹角称为方向角. .非零向量r的方向角,0,0.0(1) (1) 方向角方向角oyzxrcosrx222zyxxcosry222zyxycosrz222zyxz1coscoscos222方向余弦的性质方向余弦的性质: :的单位向量向量 rrrr)cos,cos,(cos(2) (2) 方向余弦方向余弦29解解所求向量有两个，一个与所求向量有两个，一个与 同向，一个反向同向，一个反向a222)6(76| a,11 |aa 0a,116117116kji 或或0a|aa .116117116kji 30解解设设向向量量21PP的的方方向向角角为为 、 、 ,3 ,4 , 1cosco

13、scos222 21cos,21cos ,22cos .32,3 31设设2P的的坐坐标标为为),(zyx,1cos x 21PP21 x21 , 2 x0cos y 21PP20 y22 , 2 y3cos z 21PP23 z, 2, 4 zz2P的的坐坐标标为为).2 , 2, 2(),4 , 2, 2(21 21PP,301zyx32空间一点在轴上的投影空间一点在轴上的投影u AA 3 3、向量在轴上的投影、向量在轴上的投影BA、设点在u轴上的投影分别是。、BA则在u轴上的有向线段BA的值BA称为在u轴上的投影.记为uAA BB ABPrjuABA B 空间一向量在轴上的投影空间一向量

14、在轴上的投影34 向量投影的性质：向量投影的性质：cosPr) 1 (ABABju证证uABA B B cos| AB u .轴的夹角与为其中，uABABjuPrABju Pr35性质性质1 1的说明：的说明：投影为正；投影为正；投影为负；投影为负；投影为零；投影为零；uabc(4) 相等向量在同一轴上投影相等；相等向量在同一轴上投影相等； 0)1(,2 2)2(, )3(,2 36.PrPr)(Pr)2(2121ajajaajuuuAA BB CC u1a2a.Pr)(Pr)3(ajajuu37解解pnma 34)853(4kji )742(3kji )45(kji ,15713kji 在在x轴轴上上的的投投影影为为13 xa,在在y轴上的分向量为轴上的分向量为j7.P13, 1938对角线的长为对角线的长为|,|,|nmnm ,1 , 1, 1 nm1, 3 , 1 nm,