第二章 连续系统的时域分析

1、第二章第二章 连续系统的时域分析连续系统的时域分析2 .1 LTI连续系统的响应连续系统的响应 一、微分方程的经典解一、微分方程的经典解 二、关于二、关于0和和0初始值初始值 三、零输入响应与零状态响应三、零输入响应与零状态响应2 .2 冲激响应和阶跃响应冲激响应和阶跃响应2 .3 卷积积分卷积积分2 .4 卷积积分的性质卷积积分的性质一、一、微分方程的经典解微分方程的经典解y(n)(t) + an-1y (n-1)(t) + + a1y(1)(t) + a0y (t) = bmf(m)(t) + bm-1f (m-1)(t) + + b1f(1)(t) + b0f (t)经典解：经典解： y

2、(t)(完全解完全解) = yh(t)(齐次解齐次解) + yp(t)(特解特解）齐次解齐次解: y(n)+an-1y(n-1)+a1y(1)(t)+a0y(t)=0 的解的解yh(t)的形式的形式: 由微分方程的由微分方程的特征根特征根确定确定l 齐次解齐次解的函数形式仅与系统本身的特性有关，而与激励的函数形式仅与系统本身的特性有关，而与激励f(t)的函数形式无关，称为系统的的函数形式无关，称为系统的固有响应固有响应或或自由响应自由响应；l 特 解特 解 的 函 数 形 式 由 激 励 确 定 ， 称 为的 函 数 形 式 由 激 励 确 定 ， 称 为 强 迫 响 应强 迫 响 应 。例例

3、: 描述某系统的微分方程为描述某系统的微分方程为 y”(t) + 5y(t) + 6y(t) = f(t) 求（求（1）当）当f(t) = 2e- -t，t0；y(0)=2，y(0)= - -1时的全解；时的全解； （2）当）当f(t) = e- -2t，t0；y(0)= 1，y(0)=0时的全解时的全解; （3）当）当f(t) = 10cos(t)，t0；y(0)= 2，y(0)=0时的全解。时的全解。 解解: 特征方程特征方程2 + 5+ 6 = 0 1= 2，2= 3。 齐次解为齐次解为 yh(t) = C1e 2t + C2e 3t(1) f(t) = 2e t，设特解为，设特解为 y

4、p(t) = Pe t 代入微分方程代入微分方程 Pe t + 5( Pe t) + 6Pe t = 2e t 解得解得 P=1 yp(t) = e t全解全解 y(t) = yh(t) + yp(t) = C1e 2t + C2e 3t + e t由初始条件由初始条件 y(0) = C1+C2+ 1 = 2，y(0) = 2C1 3C2 1= 1 解得解得 C1 = 3 ，C2 = 2 全解全解 y(t) = 3e 2t 2e 3t + e t , t0 例：例： y”(t) + 5y(t) + 6y(t) = f(t) （1）当）当f(t) = 2e-t，t0；y(0)=2，y(0)= -

5、1时的全解时的全解齐次或自由齐次或自由yh (t)特解或强迫特解或强迫yp (t)齐次解同上齐次解同上: yh(t) = C1e 2t + C2e 3tf(t)=e2t ，而，而2为特征根之一，为特征根之一，特解特解 yp(t) = P1t e2t 代入得代入得 P1e-2t = e2t 全解为全解为 y(t)= C1e2t + C2e3t + te2t 代入初始条件，得代入初始条件，得 y(0) = C1+ C2=1 ，y(0)= 2C13C2+1=0得得 C1 = 2 ,C2= 1 y(t) = 2e2t e3t + te2t , t 0y”(t) + 5y(t) + 6y(t) = f(

6、t)（2）当）当f(t) = e-2t，t0；y(0)= 1，y(0)=0时的全解。时的全解。 齐次或自由齐次或自由yh (t)特解或强迫特解或强迫yp (t)y”(t) + 5y(t) + 6y(t) = f(t)（3）当）当f(t) = 10cos(t)，t0；y(0)= 2，y(0)=0时的全解。时的全解。 齐次解同上齐次解同上: yh(t) = C1e 2t + C2e 3t1 jtpyAe设 1 10, Re1010cosj tj tftef tet设则有 RecosjtpytAetAA则f1(t)、yp1(t)代入、有代入、有:5610jtjtjtjtAej AeAee(/4)10

7、255jAej 2cos/4pytt 2312 2cos/4tty tc ec et由由 y(0)= 2，y(0)=0可求得：可求得：c1 = 2、c2 = - 1 2312 2cos/4tty tc ec et暂态分量暂态分量ytr (t)稳态分量稳态分量ys (t)齐次或自由齐次或自由yh (t)特解或强迫特解或强迫yp (t)参见参见P43二、关于二、关于0和和0初始值初始值1、基本概念：、基本概念：当激励于当激励于t = 0加到系统上，系统的起始状态有可能出现突变加到系统上，系统的起始状态有可能出现突变2、确定方法：、确定方法：利用物理（电路）分析和利用物理（电路）分析和数学解析数学解

8、析y”(t) + 5y(t) + 6y(t) = 3f(t)f(t) = 2e-te e (t)；y(0-)=2，y(0-)= -1, y”(t) + 5y(t) + 6y(t) = 3f(t)+f(t)f(t) = 2e-te e (t)；y(0-)=2，y(0-)= -1= 4e-te e (t)+2 d d(t)易知：易知：y(t)=2d d(t) + r1(t); y(t)=r2(t); y(t)=r3(t); ri(t）为不含有）为不含有d d(t)、d d(t)等的函数等的函数0000( )(0 )(0 )2( )(0 )(0 )0y t dtyyy t dtyy 因此：因此：y(

9、0+)= y(0-) = 2，y(0+)= y(0-)+2= 1= 6e-te e (t)则：则：y(0+)=2，y(0+)= -1没有冲激、没有冲激、冲激偶等冲激偶等只有冲激只有冲激y”(t) + 5y(t) + 6y(t) = 3f(t)+f(t)+2f(t)f(t) = 2e-te e (t)；y(0-)=2，y(0-)= -1= 8e-te e (t) - 2d d(t) +4d d(t)0000( )(0 )(0 )22( )(0 )(0 )4y t dtyyy t dtyy 因此：因此：y(0+) = y(0-) - 22= -20，y(0+) = y(0-)+4 = 3y(t)=

10、4d d(t) -22 d d(t) +r1(t);y(t)= 4 d d(t) + r2(t); y(t)=r3(t); 代入方程：代入方程：出现冲激、出现冲激、冲激偶等冲激偶等设：设：y(t)= a d d(t) + b d d(t) + r1(t); y(t)= a d d(t) + r2(t); y(t) = r3(t); ri(t）为不含有）为不含有d d(t)、d d(t)等的函数等的函数三、零输入响应与零状态响应三、零输入响应与零状态响应y(t)(完全解完全解) = yh(t)(齐次解齐次解) + yp(t)(特解特解） = yx(t)(零输入零输入) + yf(t)(零状态零状

11、态） =ytr(t)(瞬态解瞬态解)+ yss(t)(稳态解稳态解)稳定系统稳定系统1、概念概念：当：当输入输入为零为零、起始状态起始状态不为零不为零时系统的响应为时系统的响应为零输入响应；零输入响应； 当当输入输入不为零不为零、起始状态起始状态为零为零时系统的响应为时系统的响应为零状态响应。零状态响应。2、解法解法：零输入解零输入解具有齐次解的形式具有齐次解的形式；零状态解零状态解则由部分齐次解和特解组成则由部分齐次解和特解组成。设：系统有设：系统有n个单实根个单实根l li, i = 1, 2, 3.,n1intxiic el零输入解零输入解yx(t) = 其中，其中，Cxi由由( )(

12、)( )(0)(0)(0)( )0kkkxxyyyf t1( )intfipic eytl零状态解零状态解yf(t) = 其中，其中，Cfi由由( )( )( )( )(0)(0)(0 )(0 )0kkkkffyyyy3、例例：见：见p50 例例2.17f(t)*h(t)Chi = Cxi+Cfi例：例：y(t) + 3y (t) + 2y (t) = 2 f (t) + 6 f (t) y(0-)=2, y(0-)=1, f(t)=e e(t), 求求yzi(t)、yzs(t) y(0-)= 2 、y(0-) = 1 yzi(t)=5e-t - 3e-2t t0 yzi(0+)= 2、yzi

13、(0+) =1解解: 特征方程特征方程2 + 3+ 2 = 0 1= 1，2 = 2 (1) 零输入解为零输入解为 yzi(t) = Czi1e t + Czi2e 2t + 0Czi1 + Czi2 = 2- Czi1 - 2 Czi2 = 1Czi1 = 5Czi2 = -3= 2d d(t)+6e e(t)(2)零状态解为零状态解为 yzs(t) = Czs1e t + Czs2e 2t + 3 e e(t) 设设 yzs(t)= a d d (t) + r1(t); yzs(t)= r2(t); yzs(t) = r3(t); yzs(0+) - yzs(0-) =2 yzs(0+)

14、- yzs (0-) = 0yzs(0+) =2 yzs(0+) = 0 Czs1= - 4 Czs2 = 1可得：可得：a=2 yzs(t) = - 4e t + e 2t + 3 e e(t)（3）全解）全解 y (t) = yzs(t) + yzi(t)= e-t -2e-2t + 3 t 0暂态分量暂态分量ytr (t)稳态分量稳态分量yss (t)2 .2 冲激响应和阶跃响应冲激响应和阶跃响应一、基本概念一、基本概念冲激响应：冲激响应：由单位冲激函数由单位冲激函数d d(t)所引起的所引起的零状态响应零状态响应称为称为单位冲单位冲激响应激响应，简称冲激响应，记为，简称冲激响应，记为h

15、(t)。h(t)=T0, d d(t) 阶跃响应：阶跃响应：由单位阶跃函数由单位阶跃函数e e(t)所引起的所引起的零状态响应零状态响应称为称为单位阶单位阶跃响应跃响应，简称阶跃响应，记为，简称阶跃响应，记为g(t)。g(t)=T0,e e(t) 二、求解方法二、求解方法1、经典解法、经典解法2 tttt d tg th t d th tgted又3、变换域（变换域（s域）法域）法*（第五章）（第五章）三、例：三、例：p54 例例2.22、p56 例例2.2-3、p57 2.2-4一次解出一次解出叠加原理叠加原理( )( )00kkhhh(t) + 5h (t) + 6h (t) = d d

16、(t) + 2 d d(t) + 3 d d (t) 解法一：一次解出解法一：一次解出由题意由题意 h(0-)=h(0-)=0, f(t) = d d(t)2312(0)0tthhh tc ec et特征方程特征方程2 + 5+ 6 = 0 1= 2，2= 3已知已知 y(t) + 5y (t) + 6y (t) = f (t) + 2 f (t) + 3 f (t); 求求h(t) 设：设：h(t) = ad d (t) + b d d(t) + c d d (t) + r0(t)h(t) = ad d (t) + b d d(t) + r1(t)h (t) = ad d (t) + r2(

17、t)a =1b+5a = 2c+5b+6a = 3a = 1b = -3c = 12h(0+)= h(0-)+b=0 - 3= - 3h(0+)= h(0-)+c = 0 + 12= 12所以所以、h (t) = d d (t) + (3e-2t - 6e-3t) e e(t)ch1= 3ch2 = - 6h(t) + 5h (t) + 6h (t) = d d (t) + 2 d d(t) + 3 d d (t) 解法二：线性叠加法解法二：线性叠加法由题意由题意 h(0-)=h(0-)=0, f(t) = d d(t)已知已知 y(t) + 5y (t) + 6y (t) = f (t) +

18、 2 f (t) + 3 f (t) 求求: h(t) 111( )23h th th th t23112(0)tth tc ec e1111(0 )(0 )0(0 )(0 ) 11hhhh 231( )()tth teete 1111156(0 )(0 )0h th th tthhd 设：设：12120231cccc1211cc - 3f(t)-2y(t)2-1y(t) + 3y (t) + 2y (t) = - f (t) + 2 f (t) 由由 y(0-)= 1 、y(0-) = 2(1) y(0-) = 1 y(0-) = 2、 求零输入响应求零输入响应yx(t)因为、因为、l l1

19、= -1、l l2= -2 所以、所以、 yx(t)=Cx1e-t+Cx2e-2t t0有：有： yx(t) = 4e-t - 3e-2t t0(2) f1 (t) = e e(t) 求零状态响应求零状态响应yf1(t)yf1 (t) = Cf1e-t+Cf2e-2t +1 e e(t)由由方程右边方程右边=- d d(t)+2e e(t) 、有有y (t) = - d d(t)+ r1(t) ;y (t) = r2(t) yf (0+) = - 1 1 ;yf (0+) = 0 yf1 (t) = - 3e-t + 2 e-2t + 1 e e(t)(3) f2 (t) = d d(t) 求

20、求yf2(t)yf2 (t) = Cf1e-t+Cf2e-2t + 0 e e(t)右边右边=- d d(t) + 2d d(t) 、y (t)= - d d(t) + 5 d d(t)+r1(t) ; y (t) = - d d(t)+ r2(t) yf (0+) = 5 ;yf (0+) = -1 yf1 (t) = 3e-t - 4 e-2t e e(t) = h(t)=g(t)求导求导p56- 3f(t)-2y(t)12 y(t) + 3y (t) + 2y (t) = 2f (t) + f (t) =2d d(t)+e e(t) (1) f1 (t) = e e(t) 求零状态响应求

21、零状态响应yf1(t)yf1 (t) = Cf1e-t+Cf2e-2t +0.5 e e(t) yf (0+) = 2;yf (0+) = 0 yf1 (t) = e-t - 1.5e-2t +0.5 e e(t)(2) f2 (t) = e e(t)- e e(t-4)求零状态响应求零状态响应yf 2(t) f2 (t) = e e(t)- e e(t-4) = f1 (t) - f1 (t-4) yf2 (t) = yf1 (t) - yf1 (t-4) = e-t - 1.5e-2t +0.5 e e(t)-e-t+4 - 1.5e-2t+8 +0.5 e e(t-4) 24280 01

22、.50.5 04 11.51 4 0，所以：，所以：0 0e t 0te e 0t 01 1tfytdttt e ee e fytf th ttde ee e 解解：例例1:例例2: 22()2()0ttttteteeedeedeee ee 例例3: ( ) 1f tfd 常常t (-, +t (-, +数数) )例例4 ：f (t) ,h(t) 如图所示，求yf(t)= h(t) * f (t) 。解 采用图形卷积 。 f ( t - -)f ()反折反折f (- -)平移平移t t 0时时 , f ( t - -)向左移向左移f ( t - -) h() = 0，故故 yf(t) = 0

23、0t 1 时时, 2011( )d24tfytt 1t 2时时1111( )d224tftytt 3t 时时f ( t - -) h() = 0，故故 yf(t) = 0f ( t )t0211th ( t )22h(t)函数形式复杂函数形式复杂 换元为换元为h()。 f (t)换元换元 f ()f (- )f (t - )t-1 tt-1 t t-1 ttyf (t )20134143tt-1 tt-1 2t 3 时时2211113( )d2424ftyttt 0h( )f (t - )20132 .4 卷积积分的性质卷积积分的性质一、卷积代数一、卷积代数1、交换律、交换律： f1(t)*

24、f2(t) =f2(t)* f1(t)2、分配律、分配律： f1(t)* f2(t)+ f3(t) =f1(t)* f2(t)+ f1(t)* f3(t)3、结合律、结合律： f1(t)* f2(t)* f3(t) =f1(t)* f2(t) * f3(t)二、奇异函数的卷积特性二、奇异函数的卷积特性1. f(t)*(t)=(t)*f(t) = f(t) f(t)*(t t0) = f(t t0)2. f(t)*(t) = f(t) f(t)*(n)(t t0) = f (n)(t t0)3. f(t)*(t)( ) ()d( )dtftf e(t) *(t) = t(t)对应系统对应系统并并

25、联联对应系统对应系统串串联联t(t) *(t) =0.5 t2(t)移位移位43-1210f(t)2t10h(t)(1)(2)*0-1212yf(t)= f(t)+2f(t-1)f(t)2 f(t-1)= yf(t) = ?例例1：-1210f(t)2*d d(2 - t)= ?f (t) d d (2 - t) = f (t) - d d (t-2) =- f (t-2)-121034f ( t)- 12- f ( t-2)= - 2e e(t-1) + 3e e(t)- e e(t)例例2：例例：f1(t), f2(t)如图，求如图，求f1(t)* f2(t) t11-1f 1(t)t10

26、2f 2(t)0解解： f1(t) = 2 (t) 2 (t 1) f2(t) = (t+1) (t 1) f1(t)* f2(t) = 2 (t)* (t+1) 2 (t)* (t 1) 2 (t 1)* (t+1) +2 (t 1)* (t 1) 由于由于 (t)* (t) = t (t) 据时移特性，有据时移特性，有f1(t)* f2(t) = 2 (t+1) (t+1) - 2 (t 1) (t 1) 2 t (t) +2 (t 2) (t 2)-1210f(t)2三、卷积的时移特性三、卷积的时移特性若若 f(t) = f1(t)* f2(t)，则，则 f1(t t1)* f2(t t

27、2) = f(t t1 t2) *卷积后信号的取值上下限分别为原信号上下限之和卷积后信号的取值上下限分别为原信号上下限之和 ( )0.51 f tttee 0.5 0.52220.51222 0.51tttf th tttttttttteeeeeeee ( )2 h ttttee 22220.250.2522 00.5 220.25110.2.5 25333tttttttttteeee220 0.25 0.50.25 250.50.75 0ttttf (t ) 0.5t1t22h (t ) 0 0 1 1 2 2 3 3ttttt四、卷积的微积分性质四、卷积的微积分性质1.121221d( )

28、d( )d( )*( )*( )( )*dddnnnnnnf tftf tftftf tttt证：上式证：上式= (n)(t) *f1(t)* f2(t) = (n)(t) *f1(t) * f2(t) = f1(n)(t) * f2(t) 2.121212( )*( )d( )d *( )( )*( )d tttffff tf tf证：上式证：上式= (t) *f1(t)* f2(t) = (t) *f1(t) * f2(t) = f1(1)(t) * f2(t) *3. 在在f1( ) = 0和和f2( - ) = 0的前提下的前提下 f1(t)* f2(t) (n) = f1(+j) (t)* f2(nj) (t) 1( )dtftf例例连续连续LTILTI系统时域分析总结系统时域分析总结1、框图、框图 微分方程微分方程2、系统响应的三种分解、系统响应的三种分解y(t)(完全解完全解) = yh(t)(齐次解齐次解) + yp(t)(特解特解） = yx(t)(零输入零输入) + yf(t)(零状