线性代数必须熟记的结论

1、1、1.2.3.4.5.6.7.2、1.2.3.4.5.2008年线性代数必考的知识点行列式n行列式共有n2个元素，展开后有n!项，可分解为2n行列式;代数余子式的性质： 、Aj和aj的大小无关； 、某行(列)的元素乘以其它行(列)元素的代数余子式为0； 、某行(列)的元素乘以该行(列)元素的代数余子式为A；代数余子式和余子式的关系：Mij(1)ijAjAj(iyjMj设n行列式D:n(n1)将D上、下翻转或左右翻转，所得行列式为D1，则D1(1)D；n(n1)将D顺时针或逆时针旋转90°，所得行列式为D2，则D2(1)D；将D主对角线翻转后(转置)，所得行列式为D3，则D3D；将D

2、主副角线翻转后，所得行列式为D4，则D4D；行列式的重要公式： 、主对角行列式：主对角元素的乘积;n(n1)、副对角行列式：副对角兀素的乘积(1)2、上、下三角行列式(主对角元素的乘积;1n(n1) 、匚和丄：副对角元素的乘积(1)F(1)mgnAB 、拉普拉斯展开式: 、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积;、特征值;对于n阶行列式A，恒有：nEAn(1)kSknk，其中Sk为k阶主子式;k1证明A0的方法：Ax0,证明其有非零解; 、AA:、反证法；、构造齐次方程组、利用秩，证明r(A)n:、证明0是其特征值;矩阵A是n阶可逆矩阵：A0(是非奇异矩阵)；r(A)n(是满秩矩阵)A的行(列)

3、向量组线性无关；齐次方程组Ax0有非零解;bRn,Axb总有唯一解；A与E等价；A可表示成若干个初等矩阵的乘积；A的特征值全不为0；ATA是正定矩阵；A的行(列)向量组是Rn的一组基；A是Rn中某两组基的过渡矩阵；对于n阶矩阵A:AA*A*AAE无条件恒成立；1*11TT1*TT*(A)(A)(A)(A)(A)(A)TTT*111(AB)BA(AB)BA(AB)BA矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和；关于分块矩阵的重要结论，其中均A、B可逆：1AiA2O，则:AiI、A内A2LAs；n、A21As、A1OOB、O1ABOA1OOB1'OB1.A1O；（主对角分

4、块）（副对角分块）51111 、ACAACB；(拉普拉斯)OBOB111 、AOA1°；(拉普拉斯)CBB1CA1B1ErO3、矩阵的初等变换与线性方程组1. 一个mn矩阵A,总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的:等价类：所有与A等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵;对于同型矩阵A、B，若r（A）r（B）A:B；2. 行最简形矩阵： 、只能通过初等行变换获得； 、每行首个非0元素必须为1； 、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0;3. 初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换）r 、若（A,E）：（E,X），则A可逆，

5、且XA1；c 、对矩阵（A,B）做初等行变化，当A变为E时，B就变成A1B，即：（A,B）（E,A1B）；、求解线形方程组：对于rn个未知数n个方程Axb，如果（A,b）（E,x），则A可逆，且xA1b；4. 初等矩阵和对角矩阵的概念： 、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵;、，左乘矩阵A，i乘A的各行元素；右乘,乘A的各列元素;n、对调两行或两列，符号111E(i,j)，且E(i,j)1E(i,j)，例如：1111、倍乘某行或某列，符号11E(i(k)，且E(i(k)E(i()，例如:k(k0)'、倍加某行或某列，符号E(ij(k),且E(i

6、j(k)1E(ij(k)，如：11(k0);115. 矩阵秩的基本性质： 、0r(Amn)min(m,n);、r(AT)r(A)； 、若A:B，则r(A)r(B)； 、若P、Q可逆，则r(A)r(PA)r(AQ)r(PAQ);(可逆矩阵不影响矩阵的秩) 、max(r(A),r(B)r(A,B)r(A)r(B);(探) 、r(AB)r(A)r(B);(探)、r(AB)min(r(A),r(B);(探) 、如果A是mn矩阵，B是ns矩阵，且AB0，则：(探)I、B的列向量全部是齐次方程组AX0解(转置运算后的结论)；n、r(A)r(B)n 、若A、B均为n阶方阵，则r(AB)r(A)r(B)n;6

7、. 三种特殊矩阵的方幕： 、秩为1的矩阵：一定可以分解为列矩阵(向量)行矩阵(向量)的形式，再采用结合律;1ac 、型如01b的矩阵：利用二项展开式；001二项展开式:(ab)nC0an1n11CnabLCanLC；1a1bnC；bnCmn(n1)LL(nm1)n!C：C；1f1cpg3g_gmm!(nm)!川、组合的性质：Cnmc：mCnm1cmcm1nC：2r0、利用特征值和相似对角化：7.伴随矩阵：nr(A)n、伴随矩阵的秩：r(A*)1r(A)n1;0r(A)n1、伴随矩阵的特征值：(AXX,A*AA1*AX注;注：I、(ab)n展开后有n1项;re：nC：1;、*AAA1、*An1l

8、A关于A矩阵秩的描述：、r(A)n,A中有n阶子式不为0,n、r(A)n,A中有n阶子式全部为0;、r(A)n,A中有n阶子式不为0；8.1阶子式全部为0;(两句话)9. 线性方程组：Axb，其中A为mn矩阵，则： 、m与方程的个数相同，即方程组Axb有m个方程； 、n与方程组得未知数个数相同，方程组Axb为n元方程;10. 线性方程组Axb的求解：、对增广矩阵B进行初等行变换(只能使用初等行变换)； 、齐次解为对应齐次方程组的解; 、特解：自由变量赋初值后求得;11. 由n个未知数m个方程的方程组构成n元线性方程:a11x1a12x2La1nxnb1、a21x1a22x2La2nxnb2；L

9、LLLLLLLLLLam1x1am2x2Lanmxnbna11a12La1nx1b1、a21a22La2nx2b2Axb（向量方程，A为mn矩阵，m个方程，n个未知数）MMOMMMam1am2Lamnxmbmx1b1、a1aLax2(全部按列分块，其中b2)；2nMMxnbn、a1x1a2x2Lanxn（线性表出）、有解的充要条件：r(A)r（A,）n（n为未知数的个数或维数）向量组的线性相关性m个n维列向量所组成的向量组A:m个n维行向量所组成的向量组B:1,2,L,m构成nm矩阵A(1,2,Lm)T1T,2T,L,mT构成mn矩阵BM2含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应； 、向量组的

10、线性相关、无关 、向量的线性表出Ax0有、无非零解；（齐次线性方程组）Axb是否有解；（线性方程组）41.2.3.4.5.6.7.8.9.、向量组的相互线性表示AXB是否有解；（矩阵方程）矩阵A,n与Bln行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组Ax0和Bx0同解；（p仙例14）r(ATA)r(A)；(P101例15)n维向量线性相关的几何意义: 、线性相关 、,线性相关0；坐标成比例或共线（平行）； 、,线性相关,共面；线性相关与无关的两套定理:若1,2丄,s线性相关，则1,2,L,s,si必线性相关；若1，2丄,s线性无关，则1，2丄,S1必线性无关；（向量的个数加加减减，二者为对偶）若r

11、维向量组A的每个向量上添上nr个分量，构成n维向量组B:若A线性无关，则B也线性无关；反之若B线性相关，则A也线性相关；（向量组的维数加加减减）简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定；向量组A（个数为r）能由向量组B（个数为s）线性表示，且A线性无关，则rs；向量组A能由向量组B线性表示，则r（A）r（B）；向量组A能由向量组B线性表示AXB有解；r（A）r（A,B）向量组A能由向量组B等价r（A）r（B）r（A,B）方阵A可逆存在有限个初等矩阵p1,p2,L,pl，使Ap1p2Lpl； 、矩阵行等价：ABPAB（左乘，P可逆）Ax0与Bx0同解c 、矩阵列等价：ABAQB（右乘，Q可逆）；

12、 、矩阵等价：ABPAQB（P、Q可逆）；对于矩阵Amn与Bl 、若A与B行等价，则A与B的行秩相等； 、若A与B行等价，则Ax0与Bx0同解，且A与B的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性; 、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；10.11.12.13.14.15.16.5、1.2.3.4.5.6.7. 、矩阵A的行秩等于列秩;#Cmn，则:B为系数矩阵;at为系数矩阵；(转置)其中K为(必要性:sQr(b,b2,L,br)佝，a2,L,a$)K(Br，且A线性无关，则B组线性无关r(K)r;(;充分性:r(B)r(AK)r(K),r(K)r,r(K)rAK)B与K的列向量组具有相同线性相关性)

13、反证法注：当r 、对矩阵Am 、对矩阵Am1,2,L,ss时,K为方阵，可当作定理使用;，存在Qnm，AQEm，存在Pnm，PAEn存在一组不全为n线性相关0的数沁,L,ks，使得r(A)r(A)Q的列向量线性无关;P的行向量线性无关；(1,2,L,s)X1X2MXsk11k22Lkss0成立；(定义)0有非零解，即Ax0有非零解;r(1,2,L,设mn的矩阵若*为Axb的一个解，相似矩阵和二次型s，系数矩阵的秩小于未知数的个数;s)A的秩为r，则n元齐次线性方程组Ax0的解集S的秩为:L,nr为Ax0的一个基础解系，则r(S)nr;L,nr线性无关; 、C的列向量组能由A的列向量组线性表示,

14、 、C的行向量组能由B的行向量组线性表示,齐次方程组Bx0的解一定是ABx0的解，考试中可以直接作为定理使用，而无需证明、ABx0只有零解Bx0只有零解；、Bx0有非零解ABx0一定存在非零解;设向量组Bnr:b1,b2,L,br可由向量组AnsVS,L忌线性表示为:正交矩阵AtAE或A1At(定义)，性质:、A的列向量都是单位向量，且两两正交，即TaiajiJ(i,j1,2丄n);ij 、右A为正父矩阵，则A1A也为正交阵，且1; 、若A、B正交阵，则AB也是正交阵；注意：求解正交阵，千万不要忘记施密特正交化和单位化；施密特正交化：(a,a2,L,ar)b2a2b1,a2g1LLLQb旦匹L匹空如b1,birb2,b2pbbrjW对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关;对于实对称阵，不同特征值对应的特征向量正交； 、A与B等价 、A与B合同 、A与B相似A经过