线性代数知识点总结

1、线性代数知识点总结第一章行列式1.a112阶行列式Da21a22MMan1an2a11a12Lain0a22La2nMMOM00Lann1t12La1na2nMainPlP2LPn*122LanntP1P2LPn11a1P1a2P2Lanpnaiia22Lann2.特殊行列式nn1112Ln3.行列式的性质a11a12La1nana21Lan1定义记Da21a22La2n，dta12a22Lan2，行列式dt称为行列式MMOMMMOMan1an2anna1na2nLannD的转置行列式。性质1行列式与它的转置行列式相等。性质2互换行列式的两行rirj或列ciq，行列式变号。k（jk），等于用数

2、k乘此行列式;推论如果行列式有两行（列）完全相同（成比例），则此行列式为零。性质3行列式某一行（列）中所有的元素都乘以同一数推论1D的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到D的外面;a11a12L佝a1)Lainai1a12La1iLa1nai1a12La1iLan321322L(a2a2)La2na21a22La2iLa2na21a22La2iLa2nMMMMLLLLLLLLLL兔2L(aniani)Lannan1an2LaniL3nnan1an2LaniLann若行列式的某一列的元素都是两数之和，则(行)D推论2D中某一行（列）所有元素为零，则D=0。性质4性质6把行列式的某一列行列式的值

3、不变。（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列（行）对应的元素上去,计算行列式常用方法:而算得行列式的值。利用定义；利用运算rikrj把行列式化为上三角形行列式，从4.行列式按行（列）展开余子式在n阶行列式中，把元素aj所在的第i行和第j列划去后，留下来的n1阶行列式叫做元素aij的余子式，记作My。代数余子式记Aj1ijMij，叫做元素aij的代数余子式。引理一个n阶行列式，如果其中第i行所有元素除（i,j）（i,j）元外ay都为零，那么这行列式等于aij与它的代数余子式的乘积，即DaijAjj。（高阶行列式计算首先把行列上的元素尽可能多的化成0，保留一个非零元素，降阶）定理的代数余子式的乘积

4、之和，即a11a12La21a22LMMOan1an2Ln阶行列式Daina2nDaiiAii等于它的任意一行（列）的各元素与其对应ai2Ai2LainAinanjAnj，(j1,2丄，n)。(i1,2,L,n)或DaijAija2jA2jL第二章矩阵1. 矩阵anai2L31n.a21ALa22La2nLLLam1am1Lamn行列式是数值，矩阵是数表，各个兀素组成方阵：行数与列数都等于n的矩阵A。记作：A同型矩阵:两矩阵的行数相等，列数也相等。相等矩阵:AB同型，且对应元素相等。记作：A=B零矩阵：兀素都是零的矩阵（不冋型的零矩阵不冋）对角阵：不在主对角线上的元素都是零。单位阵：主对角线上

5、元素都是1,其它元素都是0,记作：E行（列）矩阵：只有一行（列）的矩阵。也称行（列）向量。矩阵与行列式有本质的区别,行列式是一个算式,一个数字行列式经过计算可求得注意其值，而矩阵仅仅是一个数表，它的行数和列数可以不同。2. 矩阵的运算b11a12La1nUnb21a222La2nb2nLLLbm1am2bm2Lamnbmnaii矩阵的加法ABa21Lam1说明只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算。矩阵加法的运算规律1ABBA;2ABCABCa11a12La1n3设矩阵Aaij,记A(aij)mna21a22La2n,A称为矩阵AmnLLLLam1am1Lamn的负矩阵A0,ABAB。数

6、与矩阵相乘数与矩阵A的乘积记作A或A,规定为AAa11a12Laina21a22La2nLLLLam1am1Lamn数乘矩阵的运算规律（设A、B为mn矩阵，为数）矩阵相加与数乘矩阵统称为矩阵的线性运算。矩阵与矩阵相乘设B（bij）是一个ms矩阵，B(bij)是n矩阵，那么规定矩B的乘积是C(cij)，其中bjai1ai2Laisb2jMai1bljai2b2jLaisbsjk11,2丄m;j1,2,L,n，并把此乘积记作bsjAB注意1。A与B能相乘的条件是：A的列数=B的行数。ABBA，而且两个非零矩阵的2。矩阵的乘法不满足交换律，即在一般情况下,乘积可能是零矩阵。3。对于n阶方阵A和B,若

7、AB=BA则称A与B是可交换的。矩阵乘法的运算规律ABCABC;2ABABCABAC,BCABACA4AmnEnnEmmAmnAmn若A是n阶方阵：则称Ak为A的k次幕，即Ak务AfA，并且AmAkAmk,kAmAmkm,k为正整数0L。规定.A=E（只有方阵才有幕运算）注意矩阵不满足交换律，即ABBA,ABkAkBk（但也有例外）转置矩阵把矩阵A的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做A的转置矩阵，记作A,TTTtTTtTtT1ATA；2ABATBT；3AAT；4ABBTAT。方阵的行列式由n阶方阵A的元素所构成的行列式，叫做方阵A的行列式，记作A2注意矩阵与行列式是两个不同的概念，n阶矩阵是n

8、个数按一定方式排成的数表，而n阶行列式则是这些数按一定的运算法则所确定的一个数。1AT|A；2AnA；（3）ABABBABA对称阵设A为n阶方阵，如果满足A=AT，那么A称为对称阵。伴随矩阵行列式A的各个元素的代数余子式Aj所构成的如下矩阵性质AAAAAE（易忘知识点）A11A21LAn1AI2A22LA称为矩阵A的伴随矩阵。LLLLAnA2nLAnn总结（1）只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算。（2）只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘，且矩阵相乘不满足交换律。（3）矩阵的数乘运算与行列式的数乘运算不同。逆矩阵：AB=BA=E,则说矩阵A是可逆的，并把矩阵

9、B称为A的逆矩阵。即A1B。说明1 A,B互为逆阵，A=B12 只对方阵定义逆阵。（只有方阵才有逆矩阵）3. 若A是可逆矩阵，则A的逆矩阵是唯一的。1定理1矩阵A可逆的充分必要条件是A0,并且当A可逆时，有A1-A*(重要)A奇异矩阵与非奇异矩阵当A0时，A称为奇异矩阵，当A0时，A称为非奇异矩阵。即A可逆A为非奇异矩阵A0。(1)先求|A|并判断当|A|0时逆阵存在；求逆矩阵方法(2)求A*；(3)求A*A1o|A|初等变换的应用：求逆矩阵：(A|E)初等行变换E|A1。逆矩阵的运算性质1若A可逆,则A1亦可逆，且A11A2若A可逆，数0,则A可逆,且A11A1。3若A,B为同阶方阵且均可逆

10、，则AB亦可逆,且(AB)1B1A1。4若A可逆，则AT亦可逆，且AT1A1丁。5若A可逆,则有A1|A1。3. 矩阵的初等变换初等行(列)变换1对调两行，记作(nn)。2以数k0乘以某一行的所有元素，记作(rik)。3把某一行所有元素的k倍加到另一行对应的元素上去，记作5巾)。r”换成“c”。标准型：对行最简形矩阵再施以初等列变换，可以变换为形如ErO的矩阵，称mn初等列变换：把初等行变换中的行变为列，即为初等列变换，所用记号是把矩阵等价如果矩阵A经有限次初等变换变成矩阵B,就称矩阵A与B等价。行阶梯形矩阵：可画出一条阶梯线，线的下方全为零，每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数阶梯线的竖

11、线(每段竖线的长度为一行)后面的第一个元素为非零元，也是非零行的第一个非零元。(非零行数及矩阵的秩)21032求矩阵B03125的秩.0004300000R(B)=3行最简形矩阵：行阶梯矩阵中非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在的列的其他元素都为0.为标准型。标准形矩阵是所有与矩阵A等价的矩阵中形状最简单的矩阵。初等变换的应用求逆矩阵：(A|E)初等行变换初等列变换A14. 矩阵的秩矩阵的秩任何矩阵Amn，总可以经过有限次初等变换把它变为行阶梯形，行阶梯形矩阵中非零行的行数是唯一确定的。(非零行的行数即为矩阵的秩)说明1. 矩阵Anxn，贝URA)wminmn;2. R(A)=R(A);

12、3. &A)r的充分必要条件是至少有一个r阶子式不为零；4. 代A)wr的充分必要条件是所有r+1阶子式都为零.满秩和满秩矩阵矩阵Aajmn，若R(A)m，称A为行满秩矩阵；若R(A)n，称A为列满秩矩阵；若A为n阶方阵,且R(A)n,则称A为满秩矩阵。若n阶方阵A满秩，即R(A)nA0；A1必存在;A为非奇异阵;A必能化为单位阵En,即AEn.矩阵秩的求法则R(A)=R(B)。R(A)定理1矩阵A经过有限次行(列)初等变换后其秩不变。即若AB,推论若P、Q可逆，则R(PAQ)R(A)矩阵秩的性质总结(1)0R(Amn)minm,n(2)R(AT)R(A)若AB,则RARB若P、Q可逆，则R(

13、PAQ)(5)maxR(A),R(B)R(代B)R(A)R(B)特别当Bb为非零列向量时，有R(A)R(A,b)R(A)1.R(AB)R(A)R(B)(7) R(AB)minR(A),R(B).(8) 若AmnBnlO,则R(A)R(B)n.(9) 设AB=O，若A为列满秩矩阵，则B=O(矩阵乘法的消去率)AVV*第二早1.n维向量n个数a,a2,，an组成的一个有序数组(a1,a2,，an)称为一个n维向量，记为ai（列向量形式）或T（d，a2，L,%）（行向量形式），其中第i个数a称为向量的第i个分量。向量组ai,a2丄,an称为矩阵A的列向量组向量组若干个同维数的列向量（或同维数的行向量

14、）所组成的集合叫做向量组。a11a12La1jLa1n设矩阵A=（aij）mxn有n个m维列向量，即Aa21a22La2jLa2nMMMMMMam1am2LamjLamn。同理，也可说矩阵A有m个行向量组组成。向量，向量组，矩阵与方程组的关系向量组矩阵：A(1,2,L,m)ai1a12a1mbi向量方程方程组：a21X1a22a2mX2.b2Xm，MMMmMan1an2anmbn可简写作1X12X2LnxnX1向量方程方程组矩阵形式Axb(1,2,L,m)X2b2MMXnbn线性组合给定向量组A:1,2丄,m和向量b,如果存在一组数1,2丄，m使b1122Lmm，则向量b是向量组A的线性组合，

15、这时称b向量能由向量组A线性表示。定理1向量b能由向量组A：1,2,L,m线性表示的充分必要条件是矩阵A佝&丄,am)的秩等于矩阵B佝丄，am,b)的秩。即R(A)=R(A,b)向量组的线性表示设有两个向量组A：1,2丄，m及B:1,2丄,s，若B组中每个向量都能由向量组A线性表示,则称向量组B能由向量组A线性表示，若向量组A与向量组B能相互线性表示，则称这两个向量组等价。向量组的线性相关给定向量组A：1,2,L,m，如果存在不全为零的数匕*2丄,km使k11k22Lkmm0,则称向量组是线性相关的，否则称它线性无关；若当且仅当kik2Lkm0时上式成立，则称向量组A线性无关。线性相关：可线性

16、组合表示的，线性无关：相互独立，互不代表注意1. 对于向量组来说，不是线性无关，就是线性相关。2. 对于两个向量来说，线性相关意味着两向量的分量对应成比例，几何含义两向量共线；三个向量线性相关意味着三向量共面。3. 向量组只有一个向量时,若0则说线性相关，若0,则说线性无关。4. 包含零向量的任何向量组是线性相关的，此时总存在不为零的k，使得0102Lk0L0n0线性相关性的判定定理向量组1,2,l,m(当m2时)线性相关的充分必要条件是1,2丄，m中至少有一个向量可由其余m-1个向量线性表示定理4向量组A:a1,a2,L,am线性相关的充分必要条件是它所构成的矩阵A(a1,a2,L,am)小

17、于向量的个数m,向量组线性无关的充分必要条件是R(A)=m。最大线性无关向量组设有向量组A,如果在A中能选出r个向量1,2丄，r，满足:(1向量组A0:1,2,L,r线性无关；(2)向量组A中任意r+1个向量(如果有的话)都线性相关;则称向量组Ao:!,2丄,r是向量组A的一个最大线性无关向量组。*向量组A中任何一个(其它)向量可由A0：!,2丄，r线性表示。第四章线性方程组的解a11x12X2LamxnD线性方程组*21儿LLa22x2La2nxnb2如果有解，则称其为相容的，否则称为不相容LLLLLLam1xiam2x2Lamnbm的。n元齐次线性方程组Ax=0(1) R(A)=nAx=0有唯一解，零解(无非零解)(2) R(A)nAx=0有非零解.n元非齐次线性方程组Axb(1)无解的充分必要条件是R(A)R(A,b)(2)有唯一解的充分必要条件是R(A)R(代b)n(3)有无限多解的充分必要条件是R(A)R(A,b)n基础解系齐次线性方程组Ax0的通解具有形式xg1c22(ci,C2为任意常数)，称通解式xC11C22G,C2为任意常数中向量1,2构成该齐次线性方程组的基础解系。非齐次线性方程组解的通解具有形式x1C22(C1,C2为任意常数)，不带参数部分*是非