线性代数期终考试卷

1、线性代数期终考试卷试卷1)填空题(每小题14分，共20分)1(1)设A=0(2)(3)2，则AtA=3在分块矩阵A=。中，已知B1、C1存在，则A1A=,B为三阶非零矩阵，满足AB=O，则r(B)(A)AP1P2=B(C)P1P2A=B(2)设A是三阶矩阵,(A)kA*(B)k2A*(B)AP2P1=B(D)P2P1A=BA*是其转置伴随矩阵，又1(D)一A*3k为常数k0,1，则(kA)*=()(C)k3A*若r(A)=r<n,则n元线性代数方程Ax=b(B)有唯一解)(A)又无穷多个解下列说法中正确的是()(C)无解(D)不1(A)对向量组k，若有全不为零的数G,Ck使ci定有解1C

2、kk0,则卄2546(4)若X=，则X=132111111248(5)三次代数万程=0的根是1248231xxx2)选择题(每小题3分，共15分)ana12a13321a22a23(1)设A=a21a22a33,B=a11a12a13a31a32a33a31a11a32a12a33a13010100P1=100,P2=010,则必有()0011011（B）若有全不为零的数G,Ck使C1k1Ckk0，则1k线性无关（C）若向量组1k线性相关，則其中每个向量皆可由其余向量线性表示（D）任何n+2个n维向量必线性相关1矩阵A=0的特征值是（0(A)1，1,03)(每小题6分，共(B)-1，12分)1

3、,(C)1,(D)1,-1,-1（1）计算行列式D=(2)已知q1=.3,q2=q3，使Q=q1q2q3为正交阵。4）（共10分）设2，问a取何值时,4可唯一地表示成4的线性组合,（6分），并写出此表示式（4分）。5）（共10分）给定矩阵A=阵A可对角化（4分），为什么?（2分）23xa1x2a1X3a123X1a2x2a2X3a223X1a3X2a3X3a323X1a4X2a4X3a46）（共14分）对线性代数方程组4分），为什么？（4分）C，试求出A的特征值（4分），问x,y满足什么条件时矩）若a1,a2,a3,a4两两不等，问方程组是否有解（2）若a1a3b,a2a4b（b0），且已知方

4、程的两个解11试给出方程组的通解。（6分）7）（共12分）已知二次型q=2x12+3x22+3x32+2ax2X3（a>0）通过正交变化成标准型222q=y1+2y2+5y3。试求：（1）参数a的值。（4分）（2）所用的正交变化矩阵Q。（4分）（3）问q是否为正定二次型？为什么？（4分）8）（共7分）已知n阶矩阵A对任意n维向量x=x1,x2,.,xnT，y=y1,y2,.,ynT均有xTAy=O。试证A=0。、试卷二二1）填空题（每小题4分，共20分）IAB，CACA，则（1）设A,B,C皆为n阶矩阵，已知det（lA）0。若BBC211(2)设A为三阶非零矩阵，B31211a（3）设

5、三阶方阵A=,且(AB)tO，则a2均为三维列向量，且已知detA=3，detB=4,则det（5A-2B）=（4）已知齐次线性方程组bx1(2ba)x2(ab22a)x30x1(a3)x2abx3x1x2ax300的解空间是二维的，则a1111设A=232745,则A41232) 选择题(每小题3分，共15分)(1)设A为n阶矩阵，x为n维向量，则以下命题成立的是()。A) 若Ax0有解时，ATAx0也有解，则A必可逆B) 若ATAx0有解时，Ax0也有解，则A必可逆C) ATAx0的解必是Ax0的解D) ATAx0的解与Ax0的解无任何联系右A是m(ms)矩阵，B是(ms)m矩阵，下列命题

6、不成立的是()。A) 若ABC,则C的第j列(j=1,2，,m)是以B第j列的元素为系数作A的列向量的线性组合。B) 若ABC,则C的第血亍(i=1,2,m)是以A第i行的元素为系数作B的行向量的线性组合。C) ABO,且r(B)m，则A的行向量组线性无关D)ABO,且r(A)m，则B的任意s(3)设1,2,nr是Ax0的基础解系,A)12,23,nr1B)1?12?123?12C)12,12,132,4丿5,D)与1?2?,nr等价的向量组1?2?已知二次型f222x1x25x32tx1x2()。(A)t0(B)t0(C)4-t51个行向量必线性相关则在下列向量组中也是基础解系的是()。nr

7、nr,n2x1x34x2x3是正定的，则t的取值范围是40(D)0t-5若n阶矩阵A、B、C满足AB（A）ACCB,则必有（B）B(C)r(AB)r(C)(D)若A、B、C皆可逆，则-1IAICI3）（9分）设线性方程组axyby2by问a、b取何值时，下列方程组无解、表达式。有唯一解,有无限多组解，试写出无限多组解的通解4）（9分）给定两组向量,2,3其中（1）试证1,2,3分别线性无关;(2)设AABC问C是否可逆？若可逆，求出C5)(9分)给出四个n维向量组(A)(B)1,(C)1，2,3,5,(D)1，2，3，54设已知组（人）与（B）的秩均为3,而组（C）的秩为4，试问向量组（D）的

8、秩等于多少？为什么？6）（9分）设二次曲面的方程axy2xz2byz1（a0）经正交变换xyQz化成22222221求a、b的值及正交矩阵Q。7）（9分）设A是一已知的n阶矩阵，满足A2A，试证2IA可逆，并求出（2IA）8）(6+6=12分)计算行列式xy000111x10xy0011x11(1)D4;(2)Dn1x111000xyx1111y000x9)(8分)已知A是任一n阶方阵，试证：若有n维向量x使则向量组必线性无关。Anx0但An_x02n1x,Ax,Ax,Ax二、试卷二1)判定下列命题是否正确，若正确在括号内填上题3分，共12分)“V”；若不正确，在括号内填上“(每(1)设A为三

9、阶实对称阵，其特征值为1,2,3,则A为正定。(2)设12,1,2T,23,2,2T32,2,0T，则13，为R3的一个基。(3)设k为Ax0的k个线性无关的解向量，(4)若k展是Ax0的一个基础解系。3线性相关,44线性无关，则4123一定不能由，线性表出。2)填空题(每空3分，共15分)010(1) 设A002，则2A=,A=,(A为A300的转置伴随阵)，A1=。(2) 设，是两个正交的n维(非零)列向量，AT则r(Ak)=(k2)。“ab(3) 设A是正交阵，则acbd。cd3）（10分）设a,b为实数，计算下列n阶行列式aaabaabaabaabaaa4）（15分）讨论下列方程组3x

10、13x24x332x1X2AX36X12x23x3B在A、B取何值时，无解，有唯一解，有无穷多解;并求出当方程有无穷多解时的通解。5）（8分）若已知A与B相似，且1X1Ax1y，1y1试求A中的元素x与y之值。6）(10分）321221设A432，B322，试求矩阵X，使得等式AXBXAB成立。5434327)(10分)T22已知1,1,0是二次型g(x1,x2,x3)cx1x32x1x22x1x32dx2x3的矩阵A之特征向量，试求出化该二次型成标准型的正交变换。8)(12分)已知n阶矩阵A、B满足ABAB。(1) 试证AI为可逆阵，其中I为n阶单位阵；(2) 试证必有ABBA；9）（8分）

11、设A、B是两个n阶矩阵，AB1)A的每个特征向量必是B的特征向量，BA且A有n个两两不相等的特征值，试证:2)B一定可对角化。1303）若B210，试求出A。002四、试卷四11)(8分)已知向量g是A的特征向量，试求k的值，其中1211gk，A12111122)(6分X3=18分)计算题1)求出9阶行列式D的值:199992999939D101026满足AXIA2X，求矩阵X。161(2)设矩阵A(3)已知向量试求与1,2,3都正交的全部向量。3)(3分X5=15分)填空题122(1)已知矩阵A4t3的列向量线性相关，贝yt。311(2)已知A、B均是三阶的非零阵,r(A)2,ABO,则r(

12、B)a11a12a13100(3)若Aa21a22a23,P010，则PAP。a31a32a331011013(4)已知1121,30是R3的一组基,则向量4在这组基下0115的坐标是。(5)已知A是三阶方阵，detA3，贝VA的行列式值为。4)(3分X5=15分)选择题1)A)C)2)。充分但不是必要的条件既非充分也不必要的条件n阶矩阵A有n个不同的特征值是A与对角阵相似的(充分必要条件必要但不是充分的条件n阶矩阵A、B，B)D)列各式中必成立的是(A)(AB)2A2ABBAB2(B)(AB)(AB)A2B2(C)(AB)2A22ABB2(D)(AB)2A22ABB2(3)设已知121,2是

13、mn线性方程组Axb(b0)的两个解，则()A)12是Ax0的解(B)1是Axb的解C)12是Axb的解(D)1是Ax0的解)。(4)若n阶矩阵A,B均可逆，AXB=C,则(A)XA1B1CB)A1CB1(C)11XCB1A1(D)11B1CA1(5)设2是n阶矩阵A的两个特征值，其对应的特征向量分别是121?且已知20，则()(A)12是A的特征向量(B)12是A的特征向量(C)12是A2的特征向量(D)12不是A2的特征向量5) (12分)试对下列方程组讨论参数取何值时无解，取何值时有解并在有解的情况下求出其解。2x1(4k)x27(2k)x12x232x15x2k66) (10分)试求三

14、阶正交矩阵Q,使正交变换x=Qy能将二次型fx1,x2x32x22x1x3化成标准型。1a37) (10分)已知矩阵A=143的特征方程有重根，试求出a的一切可能值，并125分别说明a取各可能值时A能否对角化的理由。8) (4分+8分=12分)证明题：(1)已知A是n阶幂零阵，既存在正整数k，使Ak=O，试证I-A是可逆阵，其中I是n阶单位阵。(2)设A,B分别是nn及nm矩阵(nm),已知AB=B以及r(B)=n，试证A=I。五、试卷五(A)A11A12A11A21(B)A11A12A22A12(C)A12(D)A21A11(2)已知向量组1,2,3,4线性无关，则下列向量组中线性无关的是(

15、)3分)1)选择题(1)设A=A11A12为分块矩阵，则AT=()(3分)A21A22A)12,23,34,41(B)12,23,34,41(C)12,23,34,41(D)12,23,34,41(3) 设A是mn阶矩阵，Ax=0是非齐次线性方程组Ax=b所对应的齐次线性方程组，则下列结论正确的是()(3分)(A)若Ax=0仅有零解，则Ax=b有唯一解(B)若Ax=0有非零解，则Ax=b有无穷多解(C)若Ax=b有无穷多解，则Ax=0仅有零解(D)若Ax=b有无穷多解，则Ax=0有非零解(4)1,2都是n阶矩阵A的特征值，12，且Xi,X2分别是对应于1,2的特征向量，当（）时，xk1x1k2

16、x2必是A的特征向量。(3分)(A) ki0且k20(B) k10且k20(C) kik20(D) ki,k2中有且只有一个为零22二次型f(Xi,X2,X3)=2xi3x24XiX210xiX312X2X3的秩是()(3分)(A)1(B)2(C)3(D)42）填空题(1)已知四阶行列式D中第三列元素依次为-1,2,0,1,它们的余子式分别为5,3,7,4，则D的值为。（3分）(2)A=12，则与A可交换的所有二阶方阵是11(3分)(3)设44矩阵A=,B=2,3,4其中2,3,4均为四维列向量，且已知行列式A4,B1,则AB(3分)当值取时，二次型f(X1,X2,X3)5x；2X22X34x1x22x-|X32x2x3是正定的。(5)已知一个二次多项式f(X)，使得f(1)1,f(1)9,f(2)3,则:f(x)(3分)3）计算题（1）计算行列式D=(6分)21a100011a1a200(2)求A=011a200(6分)0001an1an00011an（3）已知三阶矩阵A可对角化且特征值为1，1,2,设矩阵B=A3-5A2,(10分)试求：矩阵B的特征值；行列式B及A51（I为三阶单位阵）12是属于特征值3的1（10分）3,1,5,6的极大线性无关（8分）I是单位阵，证明A可逆（8分）1（4）已知6，3，3是三阶实对称矩阵A的三个特征值，向量01两个特征向