反证法数学讲座

1、实验中学实验中学卢胜利卢胜利路边苦李路边苦李 王戎王戎7 7岁时岁时, ,与小与小伙伴们外出游玩伙伴们外出游玩, ,看看到路边的李树上结满到路边的李树上结满了果子了果子. .小伙伴们纷小伙伴们纷纷去摘取果子纷去摘取果子, ,只有只有王戎站在原地不动王戎站在原地不动. .有人问王戎为什么有人问王戎为什么? ? 王戎回答说王戎回答说:“树在道边而多子树在道边而多子,此必苦李此必苦李.”小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李. 王戎是怎样知道李子是苦的呢王戎是怎样知道李子是苦的呢?你主为他的判你主为他的判断方法正确吗？他运用了怎样的推理方法断方法正确吗？他运用了怎样的推理方

2、法?如果当时你在场，你会怎么办？如果当时你在场，你会怎么办？发生在身边的例子发生在身边的例子:妈妈妈妈:小华小华,听说邻居小芳全家这几天都外出旅游听说邻居小芳全家这几天都外出旅游.小华小华:不可能不可能,我上午还在学校碰到了她和她妈妈呢我上午还在学校碰到了她和她妈妈呢!上述对话中上述对话中,小华要告诉妈妈的命题是什么小华要告诉妈妈的命题是什么?他是如何推断该命题的正确性的他是如何推断该命题的正确性的?在你的日常生活中也有类似的例子吗在你的日常生活中也有类似的例子吗?请举一请举一至两个例子至两个例子.小芳全家没外出旅游小芳全家没外出旅游.小芳全家没外出旅游，假设小芳全家外出旅游，小芳全家没外出旅

3、游，假设小芳全家外出旅游，那么今天不可能碰到小芳，与上午在学校碰到小那么今天不可能碰到小芳，与上午在学校碰到小芳和她妈妈矛盾，所以假设不成立，所以小芳全芳和她妈妈矛盾，所以假设不成立，所以小芳全家没外出旅游家没外出旅游小华睡觉前，地上是干的，早晨起小华睡觉前，地上是干的，早晨起来，看见地上全湿了。小华对婷婷来，看见地上全湿了。小华对婷婷说：说：“昨天晚上下雨了。昨天晚上下雨了。”您能对小华的判断说出理由吗？您能对小华的判断说出理由吗？如果昨天晚上没有下雨，那么地上应是干的，如果昨天晚上没有下雨，那么地上应是干的，这与早晨地上全湿了相矛盾，所以说昨晚下这与早晨地上全湿了相矛盾，所以说昨晚下雨是正

4、确的。雨是正确的。昨晚下雨了昨晚下雨了以假设为条件，结合已知条件推理，得出与已知条件或是正确命题相矛盾的结论， 这与“.”相矛盾所以假设不成立，所求证的命题成立假设待证命题不成立，或是命题的反面成立。如图，在如图，在ABC中中,若若C是直角，是直角，那么那么B一定是锐角一定是锐角.ACB你能用反证法证明以下命题吗？你能用反证法证明以下命题吗？证明：假设结论不成立证明：假设结论不成立,则则B是是_或或_.当当B是是_时，则时，则_这与这与_矛盾；矛盾；当当B是是_时，则时，则_这与这与_矛盾；矛盾；综上所述综上所述,假设不成立假设不成立.B一定是锐角一定是锐角.直角直角钝角钝角直角直角B+ C=

5、 180三角形的三个内角和等于三角形的三个内角和等于180钝角钝角B+ C180三角形的三个内角和等于三角形的三个内角和等于180小结写出下列各结论的反面：写出下列各结论的反面：（1）a/b； （2）a0；（3）b是正数；是正数；（4）aba0b是0或负数a不垂直于bab常用的互为否定的表述方式：常用的互为否定的表述方式： 是是不是；存在不是；存在不存在不存在 平行平行不平行；垂直不平行；垂直不垂直不垂直 等于等于不等于；都是不等于；都是不都是不都是 大于大于不大于；小于不大于；小于不小于不小于 至少有一个至少有一个一个也没有一个也没有 至少有三个至少有三个至多有两个至多有两个 至少有至少有n

6、个个至多有至多有(n-1)个个练习练习1、“ab”的反面应是（的反面应是（ ）（A）ab（B）a b （C）a=b（D）a=b或或a b2、用反证法证明命题、用反证法证明命题“三角形中最多有一个是直角三角形中最多有一个是直角”时，时，应假设应假设_D假设三角形中有两个或三个角是直角假设三角形中有两个或三个角是直角求证求证:在同一平面内在同一平面内,如果一条直线和两条平行如果一条直线和两条平行直线中的一条相交直线中的一条相交,那么和另一条也相交那么和另一条也相交.已知已知: 直线直线l1,l2,l3在同一平面内在同一平面内,且且l1l2,l3与与l1相交于相交于点点P.求证求证:l3与与l2相交

7、相交.证明证明: 假设假设_,那么那么_.因为已知因为已知_,这与这与“_ _”矛盾矛盾.所以所以 ,即求证的命题正确即求证的命题正确.l1l2l3Pl3与与l2 不相交不相交.l3l2l1l2 经过直线外一点经过直线外一点,有且只有一条直有且只有一条直线平行于已知直线线平行于已知直线所以过直线所以过直线l2外一点外一点P,有有 和和l2平行平行,假设不成立假设不成立两条直线两条直线11证明证明：假设假设a a与与b b不止一个交点，不不止一个交点，不妨假设有两个交点妨假设有两个交点A A和和A A。 因为两点确定一条直线，即经因为两点确定一条直线，即经过点过点A A和和A的直线有且只有一条的

8、直线有且只有一条，这与，这与已知两条直线已知两条直线矛盾矛盾, ,假设不成立。假设不成立。 所以所以两条直线相交只有一个交点。两条直线相交只有一个交点。小结小结：根据假设推出结论除了可以与已知根据假设推出结论除了可以与已知条件矛盾以外，还可以与我们学过的定理、条件矛盾以外，还可以与我们学过的定理、公理矛盾公理矛盾例例2 2求证：两条直线相交只有一个交点。求证：两条直线相交只有一个交点。已知：如图已知：如图两条相交直线两条相交直线a、b。求证：求证：a与与b只有一个交点。只有一个交点。abAA A，12三、应用新知三、应用新知在在ABCABC中，中，ABAC,ABAC,求证：求证：B B C C

9、A AB BC C证明：假设证明：假设，则则（）这与这与矛盾矛盾假设不成立假设不成立B B C CABABACAC等角对等边等角对等边已知已知ABACABACB B C C小结：小结： 反证法的步骤：假设结论的反面成立反证法的步骤：假设结论的反面成立逻辑推理得逻辑推理得出矛盾出矛盾肯定原结论正确肯定原结论正确例例尝试解决问题尝试解决问题感感受受反反证证法法:13求证求证:在同一平面内在同一平面内,如果一条直线和两条平如果一条直线和两条平行线中的一条相交行线中的一条相交,那么和另一条也相交那么和另一条也相交.已知已知: 直线直线l1, l2, l3在同一平面内在同一平面内,且且l1l2, l3与

10、与l1相相交于点交于点P.求证求证:l3与与l2相交相交.证明证明:假设假设_,那么那么_.因为已知因为已知_,这与这与“_ _”矛盾矛盾.所以所以假设不成立假设不成立,即求证的命题正确即求证的命题正确.l1l2l3Pl3与与l2 不相交不相交.l3l2l1l2 经过直线外一点经过直线外一点,有且只有一条直有且只有一条直线平行于已知直线线平行于已知直线所以过直线所以过直线l2外一点外一点P,有有两条直线两条直线和和l2平行平行,三角形三内角一定有一个角三角形三内角一定有一个角大于或等于大于或等于600ABC证明：假设结论不成立，即：证明：假设结论不成立，即：A_ 60, B _ 60,C _

11、60,则则A+B+C180 .这与这与_相矛盾相矛盾.所以所以_不成立，所求证的结论成立不成立，所求证的结论成立.三角形三个内角的和等于三角形三个内角的和等于180 假设假设做一做做一做15例例6、用反证法证明：等腰三角形的底、用反证法证明：等腰三角形的底角必定是锐角角必定是锐角分析分析：解题的关键是反证法的第一步否定结：解题的关键是反证法的第一步否定结论，需要分类讨论论，需要分类讨论.已知：在已知：在ABC中，中，AB=AC.求证：求证：B、C为锐角为锐角.证明：证明：假设等腰三角形的底角不是锐角，那假设等腰三角形的底角不是锐角，那么只有两种情况：么只有两种情况：(1)两个底角都是直角；两个

12、底角都是直角；(2)两个底角都是钝角；两个底角都是钝角；分析:这个问题看上去很简单,但是要直接证明却不容易.那么,我们试着使用反证法,就轻松搞定.证明:假设A,B,C,D,E1,那么A+B+C+D+E15=5故5个数都小于1不成立,所以必有一个数不小于1.则原命题是正确的.证明证明:A,B,C,D,E五数之和等于五数之和等于5,则其中必有一个则其中必有一个不小于不小于1证明证明 假设假设_或或_, 由于由于_时时,_, 与与 (x-a)(x-b)0矛盾矛盾, 又又_时时,_, 与与(x-a)(x-b)0矛盾矛盾, 所以假设不成立所以假设不成立, 从而从而_.x=a x=bx=a (x-a)(x

13、-b)=0 x=b(x-a)(x-b)=0 x a且且x b用反证法证明用反证法证明,若若(x-a)(x-b)0,则则x a且且x b. -德国数学家希尔伯特说， 禁止数学家使用反证法反证法，就象禁止拳击家使用拳头。反思与收获反思与收获1、 同一三角形不可能有2个钝角 2、 同一三角形不可能有2个直角 3 、同一三角形内角不可能大于60 4、 同一三角形三个内角不可能都小于60 1假设一个三角形可以有两个钝角，那么三角形内角和大于假设一个三角形可以有两个钝角，那么三角形内角和大于180度，度，已知三角形内角和小于已知三角形内角和小于180度，所以同一三角形不可能有度，所以同一三角形不可能有2个

14、钝角。个钝角。 2 假设一个三角形可以有两个直角，因为第三角不可能为假设一个三角形可以有两个直角，因为第三角不可能为0度，那度，那么三角形内角和大于么三角形内角和大于180度，已知三角形内角和小于度，已知三角形内角和小于180度，所以度，所以同一三角形不可能有同一三角形不可能有2个直角。个直角。 3 假设同一三角形三内角可以同时大于假设同一三角形三内角可以同时大于60度，那么三角形内角和度，那么三角形内角和大于大于180度，已知三角形内角和小于度，已知三角形内角和小于180度，所以同一三角形三内度，所以同一三角形三内角不可以同时大于角不可以同时大于60度。度。 4 假设同一三角形三内角可以同时

15、小于假设同一三角形三内角可以同时小于60度，那么三角形内角和度，那么三角形内角和小于小于180度，已知三角形内角和小于度，已知三角形内角和小于180度，所以同一三角形三内度，所以同一三角形三内角不可以同时小于角不可以同时小于60度。度。 例例. .求证求证： 是无理数是无理数. .2 2证：假设 2是有理数，证：假设 2是有理数，m m则则存存在在互互质质的的整整数数m m，n n使使得得2 2 = =，n n m =2n m =2n2222 m = 2n m = 2n2 2m m 是是偶偶数数，从从而而m m必必是是偶偶数数，故故设设m m= =2 2k k（k kN N）22222222从

16、而有4k = 2n ，即n = 2k从而有4k = 2n ，即n = 2k2 2n 也是偶数，n 也是偶数，这与m，n互质矛盾！这与m，n互质矛盾！所以假设不成立，2是有理数成立。所以假设不成立，2是有理数成立。没有最大的素数假设素数的个数是有限的,存在最大的素数P，那么我们可以构造一个新的数A=2 * 3 * 5 * 7 * . * P + 1（所有的素数乘起来加1）。数A除以任意一个素因子,都会余1 ,显然这个数A不能被它的任一素因子整除（所有素数除它都余1），也就是说，数A除了1和它本身，没有其他因数，这说明我们找到了一个更大的素数。与之前的假设相矛盾，假设不成立。所以证明素数的个数是无限的。 生活中的反证法证明（1）这家网店的货是真货。 （2）这个餐厅的菜很难吃 （3）中医没有传说中的哪么神一个心脏病患者A梦见刮台风 ,自己从楼上跌下来 ,接着整个住房倒塌下来压在他身上 ,他害怕极了 ,于是心脏病