妙用平几知识解决解几高考试题--89

1、妙用平几知识解决解几高考试题一前言众所周知，圆锥曲线试题是高考的一大“拦路虎”.不管是教师还是学生，在解决方法上往往过分强调“纯代数”的解法.即通过引进坐标系，建立点与坐标，曲线与方程之间的对应关系，将几何问题转化为代数问题，从而用代数方法研究几何问题.这些方法属于通性通法，固然是必须重点讲解和掌握的，但是它们的计算量偏大，很多考生就是因为冗长的计算半途而废.因此，如何另辟蹊径，减少运算量是高三一线老师必须认真思考的问题圆锥曲线属于解析几何的内容，几何是学生在初中就已经接触到的知识.学生在初中就已经学习了平面几何的一些性质，再加上高中几何知识的补充与强化，学生有了较为全面的平面几何知识，较好的

2、应用平面几何的能力.因此，在解决圆锥曲线的相关问题中，如果我们能够将平面几何的知识应用上去，抓住解析几何问题的本质特征“几何性”，结合圆锥曲线的知识进行求解，那么可以使问题的解决变得清爽简明，自然简约，收到事半功倍的效果.二举例类型1:三角形或梯形中位线的性质例1:2019年浙江卷理科第15题X2V2已知椭圆一+-=1的左焦点为F,点P在椭圆上且在x轴的上方.若线段PF的中点在95以原点O为圆心，OF为半径的圆上，则直线PF的斜率是解析：如图1,设椭圆的右焦点为F1,线段PF的中点为M,连接OM,PF1.由已知有OF|=|0耳=OM=2,PFj=4.由PF|+|PF=2a可得PF=2.故MF=

3、1.作OH_LMF,则tan/OFH=OH=J15，所以直线OF的斜率是压.HF分析：观察图形不难发现OM是三角形FFP的中位线，结合中位线的性质和椭圆的性质，将直线PF的斜率转化成tan/OFH.例2.2017年全国II卷第16已知F是抛物线C：y2=8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则FN图2解析：如图2所示，不妨设点M位于第一象限，设抛物线的准线与x轴交于点F',作MB_Ll于点B,NAU于点A,由抛物线的解析式可得准线方程为X=2，则AN=2,FF'=4,ANFF'在直角梯形ANFF'中，中位线BM=3,由抛物线的定义

4、有MF=MB=3,结2合题意有MN=MF=3,故FN=|FM|+|NM|=3+3=6分析：借助梯形中位线的性质，充分运用平几知识，结合抛物线性质求解.类型2:等腰三角形的性质或判定例3:2019年江苏卷理科第17题x2y2.八一一如图3,在平面直角坐标系xOy中，椭圆C:二十七=1(abA0)的焦点为E(1,0),ab222、52(1,0).过52作x轴的垂线l,在x轴的上万，l与圆F2:(x1)+y=4a交于点A,与椭圆C交于点D.连接AFi并延长交圆F2于点B,连接BF2交椭圆C于点E,连接DR.已知_5DFi=.(1)求椭圆C的标准方程；(2)求点E的坐标.2图322解析：由知椭圆方程为

5、x-+L=1.如图3,连接EF1.由于BF2=2a,EF1+EF2=2a,43所以EF=EB故/B=/BF1E.又BF2=AF2,所以/B=ZBAF故有3/BFE=ZBAF2,所以EFi/AF2,故EF_Lx轴，所以点E-1,-I.2分析：充分挖掘图形中隐含的几何关系，紧扣三角形BF2A和BEF1是等腰三角形，等量代换得到NBF1E=/BAF2,从而有EF1/AF2例4:2016年全国I卷理科解几压轴试题设圆x2+y2+2x15=0的圆心为A,直线l过点B(10)且与x轴不重合.l交圆A于C,D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.证明EA+|EB为定值，并写出点E的轨迹方程.(2)略.图4解

6、析：显然圆A的圆心为A(1,0),半径为4.如图4所示，由于AC=AD,故&ACD为等腰三角形，所以/ACD=/ED.取AC/BE,所以/ACD=/EB,DH此有/EBD=/EDBED=EB/W4EA+|EB=|EA+|ED=AD|=4为定值.因为A(1,0)B(1,0)为定点，E为动点，EA+|EB=4AB,根据椭圆的定义，点E的轨迹是以A(-1,0),B(1,0)为焦点，4为长轴长的椭圆.即a=2,c=1,b=J3,点E的轨22迹方程为=1.43分析：本题既运用等腰三角形的性质，又运用等腰三角形的判定，结合椭圆性质求解.类型3:圆的性质例5:2019年全国I卷文科第21题已知A,B

7、关于坐标原点O对称，AB=4,圆M过点A,B且与直线x+2=0相切.(1)略.(2)是否存在定点P,使得当A运动时，MA_MP为定值？并说明理由解析：设M(x,y).由已知有r=|MA=|x+2,AO=2,MO=Jx2+y2.在直角三角形2222MOA中，由MO+AO=AM得y2=4x.故圆心M的轨迹是抛物线，轨迹方程为2y=4x.分析:对于第二问，解决的关键在于求出动圆圆心M的轨迹方程.要抓住题目所给的几何特征.由题目条件可知A,B两点是圆x2+y2=4直径的两个端点，是运动的.由于圆M经过A,B所以圆心M必定在线段AB的垂直平分线上.又圆与直线x+2=0相切，所以动圆M必须满足以下三个条件

8、：1圆心在线段AB的垂直平分线上；2圆过点A,B;3圆与直线x=-2相切.例6.2018年江苏卷第12题B(5,0),以AB为直在平面直角坐标系xOy中，A为直线l：y=2x上再等一象限内的点径的圆C与直线l交于另一点D.若福CD=0,则点A的横坐标为图5解析：如图5所示，由已知可得/BAO=二.设直线l的倾斜角为e,则tane=2且4/ABx=二十日，故kAB=tan!日+二=一3，因而直线AB方程为y=3x+15,与直线l:4.4y=2x联立得点A的横坐标为3.分析：结合图形运用平几知识可知MBD为等腰直角三角形.观察图形发现直线AB的倾斜角与直线l的倾斜角满足关系式/ABx=+8,从而巧

9、妙求出直线AB方程.本题充分运用平几知识，解题思路十分简洁，大道至简.类型4:三角形内角平分线定理例7:2013年山东高考理科第22题椭圆C:二十£=1(a>b>0)的左，右焦点分别是Fi,F2，离心率为近，过Fi且垂直于ab2X轴的直线被椭圆C截得的线段长为1.2(I)求椭圆C的方程(+y2=1)4(n)点p是椭圆C上除长轴端点外的任一点,连接PF1,PF2，设/F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M(m,0),求m的取值范围；解析：如图6所示，在APFF2中，因为PM平分NF1PF2,所以由三角形内角平分线定理可得pFi|_|PF2|PF1|+|PF2|2=m>

10、;33-m2,3:32.l.解得PF1=-y=(m+8)又点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，所以a-c<PF1<a+c2 一一33即ac<=(m+J3)<a+c,解得m='I3 .22分析：抓住图形特征，将几何中的“内角平分线定理”，“合分比定理”，“椭圆上的点到焦点的距离范围”巧妙地联系起来.类型5:正弦定理或余弦定理例8:2012年辽宁高考理科第20题22xy_设椭圆C:二十，=1(aAb>0)的右焦点为F,过点F的直线l与C相交于A,B两点，abT一直线l的倾斜角为60：,AF=2FB15(1)求椭圆的离心率.(2)如果AB=一，求椭圆方程(略)4

11、图7解析：设C为椭圆的左焦点.由已知有ZBFC=120、NAFC=60，,BC+BF=AC+AF=2a设BF=m，则AF=2m在ABFC中，由余弦定理有(2amj=(2cj+m22，2cm，cos120,解得222a2-c2m=2ac在MFC中，由余弦定理有(2a2mj=(2c/+(2m-22c2mcos60c,解得2a-c故2(a-c)=a-c,解得$=22ac2a-c3分析：本题巧妙地在两个三角形中运用余弦定理，得到a和c的关系式，从而求出e.整个解题过程避开了复杂的坐标运算，联立直线方程与椭圆方程等等，给人一种耳目一新，清新脱俗的感觉.这就启发我们，当用常规解法比较难以入手时，不妨转而观

12、察图形的几何特征，将几何元素研究清楚，运用相关的几何知识加以解决，这样往往会有出其不意的效果.类型6：三角形三边长的关系例9:2012年四川高考理科第19题22已知椭圆+L=1的左焦点为F,直线x=m与椭圆相交于点A,B,当AFAB的周长最43大时，AFAB的面积是图8解析：设椭圆的右焦点为C,根据椭圆的定义有AFBF+AC十BC=4IIAF=4-AC,解得=4QBF=4-BCFAB的周长c=AF+bf|+|ab=8+|ab-(|ac+|bc)观察图形,有AC+BC|>|AB,当且仅当直线x=m过右焦点C时取等号.故cW8,即AFAB的周长的最大值为8.此时，A1,3I：因此面积为3.2

13、分析：本题用到几何中“三角形的两边之和大于第三边”这个重要结论来做.整个过程没有很复杂烦琐的计算，但是却处处洋溢着思维的火花.整个过程自然明了，大道至简.类型7:综合性问题例10.2017年全国I卷第15题22已知双曲线C:与一与=1的右顶点为A,以A为圆心，b为半径作圆A,圆A与双曲线C的ab一条渐近线交于M,N两点.若/MAN=60：,则C的离心率为.图9解析：如图9所示，作AP_LMN,因为圆A与双曲线C的一条渐近线b交于M,N两点，则MN为双曲线的渐近线y=一x上的点，且A(a,0),a|AMRAN|=b,而AP_LMN,所以/PAN=30、点A(a,0)到直线y=x的a距离|AP|二

14、JbJ_.在RtAPAN中，cos/PAN=PA1：2|NA|.一22，代入计算得a=3b,2b2、3.3b3即a=J3b，由c2=a2+b2得c=2b,所以e=ca例11:2013年全国卷高考理科第21题22已知双曲线C:xr4=1的左右焦点分别为F1,F2,离心率为3,y=2与C的两个交点间ab的距离为展.(1)求a,b(略)(2)设过F2的直线l与C的左右两支分别相交于A,B两点,且AFj=|BFj.证明：AF2,AB,BF2成等比数列22解析：由第一步可知,双曲线C的方程为-y-=1.18-fiBFi-BF2=2.(1)根据双曲线的定义，有111,(1)+(2)得AF2BF2=4.观察

15、图形可jjAFzl-AFi=2.知AB=4.作F1D_LAB,则D为AB中点.故BD=2由(1)有BF1|=2+|BF2=BD+|BF2=DF2222222在直角AF1DF2中,|F1F2=|F1D|+|DF2=|BF1-BD|+|DF2即IBF12_4+BF=36，解得|BF；2=20故BF2AF2=(|BF1_2)(2+|AF1|)=BF1-2)|BF1+2)=16八一一一2一显然BF2AF2=AB，得证.分析：本题涉及众多几何元素，将平面几何元素的特征发挥得淋漓尽致.求解过程精彩纷呈，环环相扣.通过本题，我们进一步体会到几何法的价值，感受到几何法在圆锥曲线中的妙用例12:2019年全国I卷理科第16题22已知双曲线C:4=1(a>0,bA0)的左右焦点分别为F1,F2,过F1的直线与C的ab两条渐近线分别交于A,B两点.若F1A=AB,F1BF2B=0,则C的离心率为图11解析：如图11所示，由于O为F1F2中点，A为F1B中点，所以AF1_LAO,OA/F2B.由/AOF1=/BF2O,ZOBF2=ZBF2O,ZAOF1=/BOF2,可得AOBF2为正三角形.b一故=J3,则C的离心率为2.a三