导数应用题答案

1、16.如图，抛物线yx29与x轴交于两点A,B,点C,D在抛物线上(点C在第一象限)，CD/AB.记|CD|2x,梯形ABCD面积为S.(I)求面积S以x为自变量的函数式；(U)若ICDk,k为常数，且0k1,求s的最|AB|大值.值.(I)解：依题意，点C的横坐标为x,点C的纵坐标为yx29.1分点B的横坐标xb满足方程xB90,解得xb3,舍去xb3.2分1 1or所以S(|CD|AB|)yC(2x23)(x29)(x3)(x29).4分2 2由点C在第一象限，得0x3.2所以S关于x的函数式为S(x3)(x29),0x3.5分0x3,(n)解：由x及0k1,得0x3k.6分3一-2一一一

2、记f(x)(x3)(x9),0x3k,则f(x)3x26x93(x1)(x3).8分令f(x)0,得x1.9分k,1.若13k,即k1时，f(x)与f(x)的变化情况如下:3x(0,1)1(1,3k)f(x)f(x)极大值所以，当x1时,f(x)取得最大值，且最大值为f(1)32.11分若13k,即01k-时，f(x)0恒成立,3所以，f(x)的最大值为f(3k)27(1k)(1k2)13分1.1._2综上，1k1时，S的最大值为32；0k1时，S的最大值为27(1k)(1k2).3317.统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量为y(升)，关于行驶速度x(千米/小时)的函数解析式可

3、以表示为:1Q3yx3x8(0x120).12800080''已知甲、乙两地相距©千米.(I)当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升?(II)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少开?或2.5解：(I)当x40时，汽车从甲地到乙地行驶了40小时,要耗油(12800033403408)2.517.580(升).答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升.100(II)当速度为x千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为h(幻升,依题意得h(x)(1x3x128000808)或jx12

4、8080015(0x120),4h1(x)64033120).800x80人72-(0x640x令h'(x)0,得x80.当x(0,80)时，h'(x)0,h(x)是减函数；当x(80,120)时，h'(x)0,h(x)是增函数当x80时，h(x)取到极小值h(80)11.25.因为h(x)在(0，120上只有一个极值，所以它是最小值.答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升.19.已知函数f(x)ex,点A(a,0)为一定点，直线xt(ta)分别与函数f(x)的图象和x轴交于点M,N,记AMN勺面积为S(t)。(1)当a0时

5、，求函数S(t)的单调区间；(2)当a2时，若t00,2,使得S(t。)e,求实数a的取值范围。17.解：(I)因为S(t)2|ta|e,其中ta1当a0,S(t)3|t|e,其中t011当t0时，S(t)te,S(t)j(t1)e,所以S(t)0,所以S(t)在(0,)上递增，一，-1-1,当t0时，S(t)-te,S(t)-(t1)e,一一1,八一令S(t)2(t1)e0,解得t1,所以S(t)在(，1)上递增一-1，令S(t)(t1)e0,解得t1,所以S(t)在(1,0)上递减综上，S(t)的单调递增区间为(0,),(,1)1.(n)因为S(t)-11a|e,其中ta1当a2,t0,2

6、时，S(t)-(at)e因为t00,2,使得S(t0)e,所以S(t)在0,2上的最大值一定大于等于e1-S(t)t(a1)e，令S(t)0,得ta1当a12时，即a3时1八一、“S(t)t(a1)e0对t(0,2)成立，S(t)单调递增12所以当t2时，S(t)取得最大值S(2)(a2)e21 22令一(a2)e2e,解得a2,2 e所以a3当a12时，即a3时C,、1，S(t)q1(a1)e0对t(0,a1)成立，S(t)单调递增,、1S(t)-t(a1)e0对t(a1,2)成立，S(t)单调递减21-所以当ta1时，S(t)取得最大值S(a1)ea1一1令S(a1)2ee,解得aIn22

7、所以In22a3综上所述，In22a3一220、已知函数fxaxbx3x在x1处取得极值。(I)求函数f(x)的解析式；(H)求证：对于区间1,1上任意两个自变量的值x1,x2,都有fXfx24；(m)若过点A(1,m)(2)可作曲线y=f(x)的三条切线，求实数m的取值范围.2fx3ax2bx3,依题意f1f1o2.分3a2b30即3a2b30解得a=1,b=0.3：fXx3x4.分32(|)fxx3x-fx3x33x1x1当一1<x<1时，f(x)<0,故f(x)在区间1,1上为减函数,fmaxxf12,fminx二.对于区间1,1上任意两个自变量的值xi，x2fXifx

8、2fxfxmaxmin8分(111) f'(x)=3x23=3(x+1)(x1),.曲线方程为y=x33x,点A(1,m)不在曲线上.设切点为M(x0,y0),则点M的坐标满足yx33x0.2因f(x。)3(x01),故切线的斜率为3(x21)x3x0，x01一342整理得2x03x0m30.过点A(1,m)可作曲线的三条切线，.、.一3.2;关于x0方程2x03x0m3=0有二个实根10分322设g(x0)=2x03x0m3,贝(Jg(x0)=6x06x0,由g'(x0)=0,得x0=0或x0=1.g(x0)在(8,0),(1,+8)上单调递增，在(0,1)上单调递减.3-2

9、:函数g(x0)=2x03x0m3的极值点为x0=0,x0=112分32关于x0方程2x033x2m3=0有三个实根的充要条件是g(0)0g(i)0解得3<m<-2.故所求白实数a的取值范围是3<m<-2.14分.一a213(18)已知函数f(x)ax22a(a0).x(I)当a1时，求函数f(x)在点(2,f(2)处的切线方程;(n)求函数f(x)的单调区间；(出)若f(x)>2lnx在1,)上恒成立，求a的取值范围11(1)当a1时，f(x)x,f(x)1-22分xx一35一f(2)-,f(2)一3分24所以，函数f(x)在点(2,f(2)处的切线方程为y且5

10、(x2)24即：5x4y404分1分2分,0)和(0,)上单调递增口x口,a,x2.a(n)函数的定义域为：x|x02a2ax(2a)/f(x)a1-(a0)xx当0a2时，f(x)0恒成立，所以，f(x)在(2当a2时，令f(x)0,即：ax2a0,x减区间为0)f(x)0,xx2或xx；f(x)0,xx0或0x所以，f(x)单调递增区间为(，)和q?,),单(J一°和(0,2).4分(出)因为f(x)2lnx在1,)上恒成立，有axa222a2lnx0(ax在1,)上恒成立。所以，令g(x)ax-222a2lnx，xg(x)a与2技2x2a2(x1)ax2(a2)xxxx八

11、9;令g(x)0,则xi1,x2a若a_2i,即a1时，g'(x)0,函数g(x)在1,)上单调递增，又g(1)0a所以，f(x)2lnx在1,)上恒成立；3分若a21,即a1时，当x(0,1),(2,)时，g'(x)0,g(x)单调递增；aa当x(1,-2)时，g(x)0,g(x)单调递减a所以，g(x)在1,)上的最小值为g(a_2),a因为g(1)0,所以g(a2)0不合题意.4分aa21,即a1时，当x(0,2),(1,)时，g,(x)0,g(x)单调递增，aa当x(a2,1)时，g(x)0,g(x)单调递减，a所以，g(x)在1,)上的最小值为g(1)又因为g(1)0

12、,所以f(x)21nx恒成立综上知，a的取值范围是1,).14已知函数f(x)1nxx(i)求函数yf(x)在点(1,0)处的切线方程；(n)设实数k使得f(x)kx恒成立，求k的取值范围;1(出)设g(x)f(x)kx(kR),求函数g(x)在区间,e2上的手点个数.e'f(x)Inxx/、11nx八(x)22分x(1)13分曲线yf(x)在点(1,0)处的切线方程为yx14分f(x)1nx121nx/(n)<h(x)(x0),贝Uh(x)3(x0)xxx12lnx当x在(0,)上变化时，h(x),h(x)的变化情况如下表:x(。70)(赤，)hx+0-h(x)/12e由上表可知，当x而时,h(x)取得最大值4分2e由已知对任意的x0,kf(