导数大题的常用找点技巧和常见模型

1、导数大题的常用找点技巧和常见模型导数大题的常用找点技巧和常见模型引子：(2017年全国新课标1理21)已知f2xae2ex(1)讨论fx的单调性;(2)若fx有两个零点，求a的取值范围.解析:2ae2xa2ex12ex1xae10包成立，所以fx在R上递减;1In.a(2)lnl时，f'alnl时，f'a当a0时,0,所以f0,所以f在,ln1上递减;a在ln工，上递增.ax在R上递减；当a0时,1,ln一a上递减,fx有两个零点，必须满足fxmin0,即0,且xmin111cln0.aa构造函数gx1xlnx,xlnx单调递减.一一,_1又因为g10,所以11aln工a卜面只

2、要证明当0a1时,有两个零点即可,为此我们先证明当0时，xlnx.事实上，构造函数xlnx.当0a1时,2aeae22e0,3aflnaa3lna3ln一1a其中1ln1,aln"a所以f11,lnaln"aaa上各有一个零点.故a的取值范围是0,1注意：取点过程用到了常用放缩技巧。一方面：2xx2xxxxx3a3aea2ex0aea2ee0aea30exIn1;aa另一方面：x0时，ae2xa2exx0a2exx0x1（目测的）常用的放缩公式（考试时需给出证明过程）第一组：对数放缩（放缩成一次函数）lnxx1,lnxx,In1xx（放缩成双撇函数）inx1x1x1,inx

3、1x12x2x0x1,inx（放缩成二次函数）inxx2*x,in1x12x-x1x0,in1x2（放缩成类反比例函数）1inx1,inxx2x10x1,x1in1xx,in1x第二组：指数放缩2x0，in2x（放缩成一次函数）（放缩成类反比例函数）（放缩成二次函数）ex11x12一x2第三组:指对放缩第四组:三角函数放缩sinxxtanxsinxcosx第五组：以直线x1为切线的函数xinx.几个经典函数模型经典模型一：y叱或y.xlnx(1)【例11讨论函数fxlnxax的零点个数.无零点.(2)1个零点.(3)1时，2个零点.e0（目测）ln1(4)0时,1个零点.xmaxxmaxea1

4、2a0.lnaIne0.0.0,（用到了lnxe.（放缩）1a一aaea2e0.【变式】（经过换元和等价变形之后均可以转化到例1:fxlnxax):1 .讨论fxlnxm77的零点个数（令Vxt,ma）;212 .讨论fxxmlnx的布点个数（令一a）;m3 .讨论fx豉lnxmx的零点个数（考虑gx4 .讨论fxlnx工mx的零点个数（考虑gxVxfx,令tx2,3ma);5 .讨论fxlnxmx2的零点个数(令tx2,2ma);6.讨论fxaxex的零点个数（令ext)xx经典模型二：y上或yxx【例2】讨论函数fxexax的零点个数.（1）a0时，1个零点.f'xexa0,fxe

5、xax单调递增.11,*一，且f01a（2）a0时，无零点.0,fea10,所以在1,0上有一个零点;aafxex0包成立;（3） 0ae时，无零点.fxminfInaa1Ina0；（4） ae时，2个零点.11,aa2lnaae20.f-ea10,f1a【变式】（经过换元和等价变形之后均可以转化到例题2：fxexax）：1 .讨论fxe2xmx的零点个数（令2xt,ma）;2x2 .讨论fx之二的零点个数（去分母后与1等价）；xe3 .讨论fxexmV7的零点个数（移项平方后与1等价）；4 .讨论fxexmx2的零点个数（移项开方后换元与1等价）；5 .讨论fxex1mx的零点个数（乘以系数

6、e,令ema）;6 .讨论fx叱mx的零点个数（令xe,转化成2）x7 .讨论fxex1mxm的零点个数（令x1t,1a）;e经典模型三：yxlnx或yxxe【例】讨论函数fxlna的零点个数.x(D0时,xa2xlnxa单调递增(2)0时,(3)(4)(5)1.讨论f2.讨论0,In1个零点无零点.1个零点.0时，2个零点.lna21a3.讨论4.讨论1)x0xminaln1.fxeminln1e0,ea（经过换元和等价变形之后均可以转化到例题3:ln平方y=x'e争ZlTI1-xealnx的零点个数;Vxlnx的零点个数-4的零点个数（令ea的零点个数；x(考虑gx-ext);找点问题中的常见函数模型之间的关系-v=->y=.X1|巾，1；Mm令J取厕H同理，可以转化成上的JI他任意次鹏,刹下的四个函数亦然！练习题21 .已知函数fxx2exax1有两个零点，求a的取值范围.2 .设函数fxe2xalnx,讨论fx的导函数f'x