导数中含参数单调性及取值范围

1、.含参数函数求单调性(求可导函数单调区间的一般步骤和方法:(1)确定函数定义域；(2)求导数;(3)令导数大于0,解得增区间，令导数小于0,解得减区例1(2012西2)已知函数f(x)2ax2a之x1(I)当a1时，求曲线yf(x)在原点处的切线方程;(H)求f(x)的单调区间.2x工解当a1时f(x)f(x)x1(x1)(x1)/22.2(x1)由f(0)2得曲线yf(x)在原点处的切线方程是2x(口)解:f(x)(xa)(ax1)当a(x)2x2x-2x-.所以f(x)在(0,1)单调递增，在(,0)单调递减*0f(x)(xa)(x1)2a3-x21当a10时，令f(x)0,得x1ax2f

2、(x)与f(x)的情况如下1、，1、故f(x)的单调减区间是(,a),(,)；单调增区间是(a,)aa当a0时，f(x)与f(x)的情况如下：一、11所以f(x)的单调增区间是(,一)；单调减区间是(一,a)(a,)aa''ax(，x1)x1(XE)*2M，)f(x)00f(x)f(X)仁)7分x(，x2)*2出得)x1(x,)f(x)00f(x)f%)f(x)9分(m)解：由()得，a0时不合题意.10分C、10时，由(n)得，f(X)在(0,)单调递增，在'a)单调递减，所以f(x)在(0,)上存在最大值1f(-)a2a20设Xo为f(x)的零点，易知X01a22a

3、，且x01一从而XX0时，f(x)0；XX0时，f(x)0a若f(x)在0,)上存在最小值，必有f(0)0,解得1a1所以a0时，若f(x)在0,)上存在最大值和最小值，a的取值范围是(0,112分)单调递增，所以f(x)在(0,)上存在最小值当a0时，由(n)得，f(x)在(0,a)单调递减，在(a,f(a)1若f(x)在0,)上存在最大值，必有f(0)0，解得a1,或a1所以a0时，若f(x)在0,)上存在最大值和最小值，a的取值范围是(,1.综上，a的取值范围是(,1U(0,114分例2设函数f(x)=ax(a+1)ln(解析】由已知得函数f(X)的定义域为(1,)，且X+1),其中a&

4、#39;ax1f(x)-(ax1-1,求f(x)的单调区间.1),当1a0时，f(x)0,函数(2)当a0时，由f(x)0,解得f(x)在(11)上单调递减,1一,i1-X(1_!_)时，f(x)0,函数f(x)在(1_!_)上单调递减.'a'aX(1,()1a1(-,)af(X)0+f(x)极小值Zf(X)、f(X)随X的变化情况如下表从上表可知当当x(1)时，f'(x)0,函数f(x)在(1)上单调递增.a'a'综上所述：当1a0时，函数f(x)在(1)上单调递减.当a0时，函数f(x)在(1)上单调递减，函数f(x)在()上单调递,aa,增.3已知

5、函数f(x)X21,其中a0.(I)若曲线yf(x)在(1,f(1)处的切线与直线y1平行，求a的值;(II)求函数f(x)在区间1,2上的最小值333、2a2(xa).解f(x)2x-2x0.xx,23、(D由题意可得f(1)2(1a)0解得a1,3此时f(1)4,在点(1,f(1)处的切线为y4,与直线y1平行故所求a值为1，4分(ii)由f(x)0可彳#xa,a05分当0a1时f(x)0在(1,2上恒成立，所以yf(x)在1,2上递增，.6分一3所以f(x)在1,2上的最小值为f(1)2a2.当1a2时，x(1,a)a(a,2)f(x)一0十f(x)极小«、r2d-,、-2由上

6、表可得yf(x)在1,2上的最小值为f(a)3a111分当a2时，f(x)0在1,2)上恒成立，所以yf(x)在1,2上递减.12分«、r3d3_所以f(x)在1,2上的最小值为f(2)a5.13分3综上讨论，可知：当0a1时，yf(x)在1,2上的最小值为f(1)2a2；当1a2时，yf(x)在1,2上23一的最小值为f(a)3a1；当a2时yf(x)在1,2上的最小值为f(2)a5.练习1已知函数f(x)alnx1,-(aR且a0).(2012海江一模)2(I)求f(x)的单调区间;(n)是否存在实数a,使得对任意的x1,，都有f(x)0?若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明

7、理由2(2012顺义2文)(.本小题共14分)已知函数f(x)(a1)x22lnx,g(x)2ax,其中a1(i)求曲线yf(x)在(1,f(1)处的切线方程；(n)设函数h(x)f(x)g(x),求h(x)的单调区间.3(2012朝1)18.(本题满分14分)已知函数f(x)ax21ex,aR.(i)若函数f(x)在x1时取得极值，求a的值；(n)当a0时，求函数f(x)的单调区间.有单调性时分离常数法1 O7例(东2)已知函数f(x)-x22xaex.2(I)若a1,求f(x)在x1处的切线方程;(n)若f(x)在R上是增函数，求实数a的取值范围/一、12cx、3解1)由a1,f(x)x2

8、xe,f(1)-e,1分2 2所以f(x)x2ex.3分又f(1)1e,3所以所求切线方程为y(一e)(1e)(x1)即2(1e)x2y10.21 2xx印)由已知f(x)x2xae,得f(x)x2ae.2因为函数f(x)在R上是增函数，所以f(x)0恒成立，即不等式x2aex0恒成立.9分整理得a令g(x),g(x)11分x,g(x),g(x)的变化情况如下表:由此得a3g(3)=e,即a的取值范x(,3)3(3,)g(x)0+g(x)极小值围是13分练习1(2012怀柔2)设，函数.(I)若是函数的极值点，求实数的值；(n)若函数在上是单调减函数，求实数的取值范围.解：(工).因为是函数的

9、极值点，所以，即，所以.经检验，当时，是函数的极值点.即6分(n)由题设，又，所以这等价于,不等式对恒成立.令。，则,10分所以在区间上是减函数，所以的最小值为.12分所以.即实数的取值范围为.13分22 (2012石景山1)已知函数f(x)x2alnx.(I)若函数f(x)的图象在(2,f(2)处的切线斜率为1,求实数a的值;(n)求函数f(x)的单调区间；2(出)若函数g(x)f(x)在1,2上是减函数，求实数a的取值范围.x分类讨论求参数1例2(2012昌平1)已知函数.f(x)lnxax(a为实数)(I)当a0时，求f(x)的最小值;(II)若f(x)在2,)上是单调函数，求a的取值范

10、围解：(I)由题意可知:当a0时f(x)x0x12x.2分当0x1时，f(x)1时，f(x)0.4分故f(x)minf(1).5分(n)由f(x)2ax由题意可知a0时,f(x)x1上,在2,x)时，f(x)0符合要求.7分2当a0时令g(x)ax故此时f(x)在2,)上只能是单调递减f(2)04a21即40解彳导a.9分当a0时，f(x)在2,)上只能是单调递增八4a21c(2)0即0,得a4.11分1.13分,口0,4根据性质求范围)2(零点例(2012昌平2)已知函数f(x)4lnxax6xb(a,b为常数)，且x2为f(x)的一个极值点.(i)求a的值；(n)求函数f(x)的单调区间;

11、(m)若函数yf(x)有3个不同的零点，求实数b的取值范围.4解：(I)函数f(x)的定义域为(0,21分:f'(x)=一2ax62分xf(2)24a60,则a=1.4分(n)由(i)知f(x)4lnxx26xb4c-x)=2x6x22x6x4x2(x2)(x1)x由f'(x)>0可彳xx>2或x<1,由f'(x)<0可彳11<x<2.函数f(x)的单调递增区间为(0,1)和(2,+s),单调递减区间为(1,2)(明由(II)可知函数f(x)在(0,1)单调递增，在(12)单调递减，在(2,+»)单调递增.且当x=1或x=2

12、时，f'(x)=0.10分f(x)的极大值为f(1)4ln116bb511分f(x)的极小值为f(2)4ln2412b4ln28b12分由题意可知f(1)b50f(2)4ln28b则5b84ln2014分最值例(2012海2)已知函数f(x)xa2-2x3a(I)求函数f(x)的单调区间;(n)当a1时，若对任意xi,X23,)，有f(Xi)f(x2)m成立，求实数m的最小值.解：f'(x)(xa)(x3a)(x23a2)2令f'(x)0,解得xa或x3a(I)当a0时，f'(x),f(x)随着x的变化如下表x(,33a(3a,a)a(af'(x)00f

13、(x)极小值极大值函数f(x)的单调递增区间是(3a,a)，函数f(x)的单调递减区间是(，3a)(a,).4分当a0时，f'(x),f(x)随着x的变化如下表x(,a)a(a,3a)3a(3a,f'(x)00f(x)极小值极大值函数f(x)的单调递增区间是(a,3a)，函数f(x)的单调递减区间是(，a)(3a,).6分5)当a1时，由(I)得f(x)是(3,1)上的增函数，是(1,)上的减函数./x1-又当x1时，f(x)-0.8分x231、1所以f(x)在3,)上的取小值为f(3),最大值为f(1)10分62所以对任意x1,X23,)，f(xjfd)f(1)f(3)2.3

14、2所以对任意x1,x23,)，使f(xjf(x2)m恒成立的实数m的最小值为一.13分31。C不等式例3(2012房山1)设函数f(x)-x2ax3axa(aR).3(i)当a1时，求曲线yf(x)在点3,f(3)处的切线方程；(n)求函数f(x)的单调区间和极值；(出)若对于任意的x(3a,a),者B有f(x)a1,求a的取值范围.132极值例4(2012丰台1)已知函数f(x)-xax1(aR).(I)若曲线y=f(x)在(1,f(1)处的切线与直线x+y+1=0平行，求a的值;(n)若a>0,函数y=f(x)在区间(a,a2-3)上存在极值，求a的取值范围；(出)若a>2,求

15、证：函数y=f(x)在(0,2)上恰有一个零点.1。(单倜性)已知函数f(x)-xmx3mx1(m0).3(i)若m1,求曲线yf(x)在点(2,f(2)处的切线方程;m的取值范围.(n)若函数f(x)在区间(2m1,m1)上单调递增，求实数解：(I)当m1时，f(x)13285-xx3x1,f(2)-461333f'(x)x22x3,f'(2)44355所以所求切线方程为y35(x2)即15x3y25022(口)f'(x)x2mx3m.令f'(x)0,得x3m£xm.由于m0,f(x),f(x)的变化情况如下表:x(,3m)3m(3m,m)m(m,)

16、f'(x)+00+f(x)单调增极大值单调减极小值单调增所以函数f(x)的单调递增区间是(,3m)和(m,).9分要使f(x)在区间(2m1,m1)上单调递增,应有m1v3m或2m1>m解得m«一或m“1.11分又m0且m12m112分所以1m2即实数m的取值范围m1m213分基本性质(2012朝2)设函数f(x)aln”(a0).(D已知曲线yf(x)在点(1,f(1)处的切线l的斜率为23a,求实数a的值;(n)讨论函数f(x)的单调性;(出)在(I)的条件下，求证：对于定义域内的任意一个x,都有f(x)3x.单调区间(2012门头沟2)已知函数在处有极值.(I)求

17、实数的值；(II)求函数的单调区间.(2012东1)已知x1是函数f(x)(ax2)ex的一个极值点.(I)求实数a的值；(n)当x1,x20,2时，证明：f(x1)f(x2)e实用(2012西城一模)如图，抛物线yx29与x轴交于两点A,B,点C,D在抛物线上(点C在第一象限)，CD/AB.记|CD|2x,梯形ABCD面积为S.(I)求面积S以x为自变量的函数式；(n)若LCDJk,其中k为常数，且0k1,求S的最大值.|AB|2(I)解：依题意，点C的横坐标为x,点C的纵坐标为yCx91分点B的横坐标Xb满足方不§xB90,解得Xb3，舍去Xb3.2分c1-122所以S-(|CD|AB|)Vc-(2x23)(x29)(x3)(x29)4分由点C在第一象bs,得0x32所以S关于x的函数式为S(x3)(x9