广东深圳宝安区高二数学下学期期末考试试题文含解析新人教A版

1、2012-2013学年广东省深圳市宝安区高二(下)期末数学试卷(文科)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. (5分)不等式xvx2的解集是()A.(0,1)B.(-8,0)U(1,+8)C.1,+8)D.0,1考点：一元二次不等式的解法.专题：不等式的解法及应用.分析：化简表达式可得x(x-1)>0,由二次方程和二次表达式的关系可得答案.解答：解：原不等式xvx2可化为：x2-x>0,分解因式可得x(x-1)>0,解得xV0或x>1,故选B点评：本题考查一元二次表达式的解法，求得对应一元二次方程的

2、根是解决问题的关键，属基础题.2. (5分)sin15°?cos15°=()A.1B.-1C.1D.-2|4考点：二倍角的正弦.专题：计算题.分析：直接利用二倍角公式化简表达式，求出值即可.斛答：解：因为sin15°?cos15°=-sin30°=-X2224故选C.点评：本题是基础题，考查二倍角公式的应用，考查计算能力.3. (5分)函数f(x)=ln(x2-1)的单调增区间是()A.(T,1)B.(-1,+°°)C.(1,+°°)D.(-oo,-1)考点：复合函数的单调性.专题：函数的性质及应用.分析

3、：设t=x2-1,则y=lnt,求出函数f(x)的定义域，然后研究函数t=x2-1,y=lnt的单调性，根据复合函数单调性的判断方法即可求得增区间.解答：解：设t=x2-1,则y=lnt,由x2-1>0,得xv1或x>1,所以函数f(x)的定义域为(-巴1)U(1,+8),当xC(-巴1)时，t是x的减函数，y是t的增函数，当xC11,+8)时，t是x的增函数，y是t的增函数，故f(x)的增区间为(1,+8),故选C.点评：本题考查复合函数单调性的判断，属中档题，先把原函数分解为基本初等函数，然后根据复合函数的判定方法：“同增异减”即可判断，注意在函数定义域内求解./一2v>

4、04. （5分）已知函数f3=e',则使得f（x）=1成立的所有x的值为（）Js+1IfK<0解答：解：当x>0时，由ex2=1,得x-2=0,解得x=2;当xWO时，由|x+1|=1,得x+1=±1,解得x=0或-2.综上可知：x=-2或0或2.故选D.点评：正确理解分段函数的意义是解题的关键.5. （5分）在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a,b,c,若a2+c2-ac=b：则角B的大小为（）A.空B.匹C.1K_D.犷考点：余弦定理.专题：计算题；解三角形.分析：由三角形的三边a,b及c,利用余弦定理表示出cosB,把已知的等式变形后代入即可求出cosB

5、的值，本!据B的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出角B的度数.解答：解：由已知可得b2=a2+c2-ac,得到a2+c2-b2=ac,所以根据余弦定理得：cosB=J£1，2m2.BC（0,兀）,贝U/B=.3故选D.点评：此题考查了余弦定理及特殊角的三角函数值.做题时注意整体代入思想的运用，牢记特殊角的三角函数值.6. （5分）等差数列an中，记Sn=a1+a2+-+an,若$=72,则a2+a4+a9=（）A.14B.12C.24D.16考点：专题：分析：解答：解：.等差数列an前n项和为Sn,设公差为d,=9a5）.55=8故a2+a4+a9=3a1+12d=3a5=24,故

6、选C.点评：本题考查等差数列的定义和性质，等差数列的通项公式，前n项和公式的应用，属基础题.7. (5分)若实数a,b满足a+b=2,则3a+3b的最小值是()A.6B.2C.3D.4考点：基本不等式.专题：不等式的解法及应用.分析：根据a+b=2,利用基本不等式求得3a+3b的最小值.解答：解：由于实数a,b满足a+b=2,贝U3a+3b=>2而匚&=26=6,当且仅当a=b=1时，等号成立，故选A.点评：本题主要考查基本不等式的应用，注意基本不等式使用条件和等号成立条件，属于基础题.8. (5分)设函数y=g(x)为奇函数，f(x)=2+g(x)的最大值为M最小值为m,则M+

7、m=()A.-6B.-2C.3D.4考点：函数奇偶性的性质.专题：函数的性质及应用.分析：由题意可得g(x)的最大最小值分别为M-2,m-2,由奇函数的性质可得(M-2)+(m-2)=0,变形可得答案.解答：解：,函数y=g(x)为奇函数，g(-x)=-g(x),又f(x)=2+g(x)的最大值为M最小值为m所以g(x)的最大最小值分别为M-2,m-2,由奇数的性质可得(M-2)+(m-2)=0,解得M+m=4故选D点评：本题考查函数的奇偶性，涉及函数的最值问题，属基础题.9. (5分)圆C与圆(x+2)2+(y-1)2=1关于直线y=x+2对称，则圆C的方程是()A.(x+1)2+y2=1B

8、.(x-1)2+y2=1C.(x+1)2+y2=2D.(x+3)2+y2=1考点：关于点、直线对称的圆的方程.专题：直线与圆.分析：设出对称圆的圆心(a,b),由上二Lxi二-1以及b+l=a-2求得a、b的值，即可求得圆Ca+222的方程.解答：解：设圆(x+2)2+(y-1)2=1的圆心C(-2,1)关于直线y=x+2对称点为C(a,b),由上二乂1二-1以及b+ly%,求得a=-1,b=0.a+222再由这两个圆的半径相等，得圆C的方程是(x+1)2+y2=1,故选A.点评：本题主要考查求一个圆关于一条直线的对称的圆的方程的方法，关键是求出对称圆的圆心坐标，属于中档题.10.（5分）若实

9、数x,y满足x2+y2+xy=1,则x+y的取值范围是（）考点：两角和与差的正弦函数；圆的参数方程.专题：计算题.分析：由x2+y2+xy=1?xy=（x+y）2-1,令x+y=t,利用不等式的性质即可求得t的范围.解答：解：:X2+y2+xy=1?xy=（x+y）2-1,2又“（等），22则4t-4<t,一冬/lwtw2T,即一.x+y的取值范围是号?，¥.故选A.点评：本题考查不等式，利用xy<（也）上是转化的关键，属于中档题.2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上.11. （5分）已知一组命题：p：3>4,q：3<4,利

10、用逻辑连接词“或”构造的新命题是真命题还是假命题真（填“真”或者“假”）考点：命题的真假判断与应用.专题：阅读型.分析：利用复合命题的判定规律，P、q至少有一个是真命题，则p或q为真命题，来判定即可.解答：解：假，q真，PVq为真命题.故答案是真点评：本题考查复合命题的真假判定规律.一，一一.一1112. （5分）已知数列an中a=1且x（nCN）,an=_工n+1an+ln考点：数列递推式.专题：计算题.分析：本题考查数列的概念，由递推数列求数列的通项公式，适当的变形是完整解答本题的关键.解答：解：根据题意，an+1an=an-an+1,两边同除以anan+1,得一-=1,an+l于是有：-

11、=1,-=1,，-二1,a2a1a3a2%an-1上述n-1个等式累加，可得-门一1,%31又a1=1,得二口，%所以a（nEN）；nn故答案为.n点评：解答本题用到的累加法是求数列通项公式以及数列前n项和的重要方法13. （5分）若关于x的不等式m4-mx+nr1>0的解集为？，则实数m的取值范围是m<0.考点：一元二次不等式的解法.专题：不等式的解法及应用.分析：因为二次项系数含有字母m,所以分m=0和mO两种情况讨论，当m=0时明显看出对于任意实数x不等式不成立，当mO时，借助于不等式对应的二次函数的图象的开口方向和与x轴有无交点列式求解.解答：解：当m=0时，原不等式的解集

12、显然是空集；当mO时，要使关于x的不等式m4-mx+m1>0的解集为?,则Jq,解得m<0.（_in）-4m（m-1）<0所以，使关于x的不等式m4-mx+m1>0的解集为？的实数m的取值范围是me0.故答案为me0.点评：本题考查了一元二次不等式的解法，考查了分类讨论的数学思想方法，训练了“三个二次”间的关系，是基础题，也是易错题.14. （5分）投资生产A产品时，每生产100t需要资金200万元，需场地200nt可以获利润300万元；投资生产B产品时，每生产100m需要资金300万元，需场地100«,可以获利润200万元.现单位可以使用2资金1400万元，

13、场地900m,请你用你所掌握的数学知识进行投资组合，使得单位获得最大利润，可能获得的最大利润为1475万元.考点：函数模型的选择与应用.专题：综合题；函数的性质及应用.分析：设生产A产品x百吨，生产B产品y百米，利润为S百万元，先分析题意，找出相关量之间的不等关系，即x,y满足的约束条件，由约束条件画出可行域；要求应作怎样的组合投资，可使获利最大，即求可行域中的最优解，在线性规划的解答题中建议使用直线平移法求出最优解，即将目标函数看成是一条直线，分析目标函数Z与直线截距的关系，进而求出最优解.解答：解：设生产A产品x百吨，生产B产品y百米，利润为S百万元，则约束条件为:2什3y<142x

14、+y<9x>0',y>0目标函数为S=3x+2y,作出可行域，使目标函数为S=3x+2y取最大彳1的(x,v)是直线2x+3y=14与2x+y=9的交点(3.25,2.5),此时S=3X3.25+2X2.5=14.75百万元=1475万元.故答案为：1475.B工o点评：在解决线性规划的应用题时，其步骤为：分析题目中相关量的关系，列出不等式组，即约束条件?由约束条件画出可行域？分析目标函数Z与直线截距之间的关系？使用平移直线法求出最优解？还原到现实问题中.三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤.215. (12分)已知椭圆C的方

15、程为=_9kkT(1)求k的取值范围;(2)若椭圆C的离心率,求k的值.考点：椭圆的简单性质.分析:专题：圆锥曲线的定义、性质与方程.22(1)根据题意，方程表示椭圆，则x2,y2项的系数均为正数且不相等列出不等关系,9-kk-1解可得答案.(2)先根据题意利用k表示出a,b,进而根据离心率列出关于k的方程，则k的值可得.解答：_解：(1)丁方程广宁丫二表示椭圆,9kk-1则-解得(2)c=£a1.k=当c=C一a21.1.k=k9-k>0k-l>0,X.ke(1,5)U(5,9)当9-k>k-1时，依题意可知aRg-k，b=/k-1V10-2k啸2k69，-72；

16、9kvk1时，依题总可知b=Jg_k，a=Jk-iV2k-10嗡-106k-1-78；的值为2或8.点评：本题同，考查椭圆的标准方程、椭圆的简单性质，注意其标准方程的形式与圆、双曲线的标准方程的异苣查运算能力，属基础题.J点评：本题考查分式不等式的解法，考查函数恒成立问题，考查基本不等式的应用，属于中档题.2217.(14分)(2008?上海模拟)设Fi,F2分别是椭圆C:工+二1(a>b>0)的左右焦点，(1)设椭圆C上的点(、近,坐)到Fl,F2两点距离之和等于4,写出椭圆C的方程和焦点坐标(2)设K是(1)中所得椭圆上的动点，求线段KF的中点B的轨迹方程(3)设点P是椭圆C上

17、的任意一点，过原点的直线L与椭圆相交于MN两点，当直线PMPN的斜率都存考点：专题：分析：在，并记为kpM,Kpn试探究kpM?&N的值是否与点P及直线L有关，并证明你的结论.综合题；压轴题.椭圆的标准方程；轨迹方程；直线与圆锥曲线的综合问题.4,可知2a=4,求得a.把点(1)根据椭圆C上的点(近,到F1,F2两点距离之和等于曼)和a代入椭圆的标准方程，可求得27b.进而可得椭圆的标准方程和焦点坐标.(2)设KF1的中点为B(x,y)则点K(2x+1,2y),把K的坐标代入椭圆的标准方程，可得到x和y的关系式即点B的轨迹方程(3)设M(x°,y°),N(-x

18、76;,-y°),p(x,y)把这些点代入椭圆的标准方程，得到苑*y021/y2/日/一二L三二1后两式相减可得到看的值，然后表不出kPM,Kpn后相乘并将ababx-2_2yy0,_，的值代入可得到结论.解答:X-乂口I肥(73)2吟)解：(1)由于点(氏,岑)在椭圆上，一4+J二12”b22a=4,22椭圆C的方程为宁丁+为二1焦点坐标分别为(-1,0),(1,0)(2)设KFi的中点为B(x,y)则点K(2x+1,2y)把K的坐标代入椭圆江，中得筌匕名2-=1线段KR的中点B的轨迹方程为(吗)2+j-=l4(3)过原点的直线L与椭圆相交的两点MN关于坐标原点对称设M(x

19、6;,y°)N(x°,y。)，p(x,y)M,N,P在椭圆上，应满足椭圆方程，2XFakPM?Kpr=2_20V兀kpM?KPN的值与点P及直线L无关本题主要考查椭圆的标准方程和直线与椭圆的综合问题.椭圆在圆锥曲线中所占比重最大，考查的也最多，要强化复习.18. (14分)(1)研究函数f(x)=lnx-x的单调区间与极值.(2)试探究f(x)=lnx-ax(aCR)单调性.考点：分段函数的应用；函数在某点取得极值的条件.专题：导数的综合应用.分析：(1)先求出函数的定义域，求出函数f(x)的导函数，在定义域下令导函数大于0得到函数的递增区间，令导函数小于0得到函数的递减区

20、间.解答:(2)首先求出函数的导数，然后根据导数与单调区间的关系确定函数的单调区间.解：(1)f'(x)=-i-1=-KX令f'(x)V0得x>1令f'(x)>0得0vxv1所以函数f(x)=lnx-x的单调减区间是(1,+8),单调递增区间是(0,1).f(x)在x=1处取得极大值-1,无极大值.（2）（x）=-a-（2分）(I)x>0,所以当awo时，f'(x)=!a>0,f(x)在(0,+°0)是增函数(4分)当a>0时，f(x)在(0,工)上f'(x)=-a>0,f(x)在(4，+°

21、6;)上f'(x)=2-a<0,3K3K故f(x)在(0,-)上是增函数，f(x)在(工，+8)上是减函数.aa点评：本题主要考查导数与函数单调性的关系，会熟练运用导数解决函数的极值与最值问题.求函数的单调区间，应该先求出函数的导函数，令导函数大于0得到函数的递增区间，令导函数小于0得到函数的递减区间.19. (14分)(2013?香洲区模拟)在锐角ABC中，a,b,c分别为内角A,B,C,所对的边，且满足V3a一2bsinA=0.(I)求角B的大小；(n)若a+c=5,且a>c,b=、/7,求的值.考点：余弦定理；平面向量数量积的运算；正弦定理.专题：计算题.分析：(I)

22、利用正弦定理化简已知的等式，根据sinA不为0,可得出sinB的值，由B为锐角，禾U用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；(n)由b及cosB的值，利用余弦定理列出关于a与c的关系式，利用完全平方公式变形后，将a+c的值代入，求出ac的值，将a+c=5与ac=6联立，并根据a大于c,求出a与c的值，再由a,b及c的值，利用余弦定理求出cosA的值，然后将所求的式子利用平面向量的数量积运算法则化简后，将b,c及cosA的值代入即可求出值.解答：解：(I)加a2bsinA=0,J5sinA-2sinBsinA=0,(2分).sinAw0,1.sinB=(3分)2又B为锐角，则B=匹；(5分)|3(

23、n)由(I)可知bJL,又b=Vr,3根据余弦定理，得b2=7=a2+c2-2accos,(7分)3整理得：(a+c)2-3ac=7,a+c=5,ac=6,又a>c,可得a=3,c=2,(9分).cosA一'-2-a27+4-9V7（11分）则ABAC=|AB|?|AC|cosA=cbcosA=2x=1.（13分）14点评:此题考查了正弦、余弦定理，平面向量的数量积运算法则，完全平方公式的运用，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及法则是解本题的关键.20. (14分)(2007?上海模拟)设数列an是首项为0的递增数列，(nCN),f(工)=|sin-(3一&)nn八xan,an+1满足：对于任意的bC0,1),fn(x)=b总有两个不同的根.(1)试写出y=f1(x),并求出a2；(2)求an+1-an,并求出an的通项公式；(3)设Sn=aa2+a3a4+(1)an,求S.考点：数列与三角函数的综合.专题：计算题；综合题.分析：(1)由题意可得