正弦定理和余弦定理的综合应用

1、三角形性质三角形性质3 3、判判断断三三角角形形形形状状：统统一一看看边边；或或统统一一看看角角1ABC 、2、大边对大角，大角对大边、大边对大角，大角对大边4、如无特别说明，、如无特别说明，ABC的边的边BC、AC、AB分别用分别用a、b、c 表示。表示。知识小结知识小结5.正弦定理和余弦定理 1.正、余弦定理是应用十分广泛的两个定理，它将三角形的边和角有机地联系起来，从而使三角形与几何产生联系，为求三角形的有关量，如面积、外接圆或内切圆的半径等提供了理论基础，也是判定三角形的形状，证明三角形中有关等式的重要依据. 2.三角形中的恒等式或三角形的形状判断等问题，要注意根据条件的特点灵活运用正

2、弦定理或余弦定理.一般考虑两个方向进行变形，一个方向是边，走代数变形之路，通常是正弦定理、余弦定理结合使用；另一个方向是角，走三角变形之路，主要是利用正弦定理.222233222222222sinsinsi00 n 0cbAbBcCcb abccb abcbbcccbbbccabcbbccabcBCC由，得，所以，即，所以或，当时，有，所解析以：为锐角，222.2sinsinsinsin2.ABCABCabcCcbAbBcCABC1钝角的三内角 、 、 所对的边分别为、 、 ，求角 、 、2222222222sin4529 1201545 .001cos222120sin2451 8015CB

3、CAABCbbccabcabcbcaAbcACCCBACABC 又，所以，所以，这与为钝角三角形矛盾当时，所以，所以，又且 为锐角，所解析：综上可知，以，所以，cos, , ,cos2(1)213,4,BbABCa b cA B CCacBbacABC 在中，分别是角的对边，且求角 的大小；（ ）若求的面积CABCRcsin2 )sin(2BAR ABRBARcossin2cossin2 AbBacoscos 同理可证：同理可证：,coscosAcCab ,coscosBcCba 2224sinsin1.ABCBCbcabcBCABC在中，已知，且，求 、 、解：解：bcacbA2cos222

4、 由余弦定理，由余弦定理，bcbc2 21 ， 1800A.60 A 120CB1sinsin4 CB1)120sin(sin4 BB1)sin120coscos120(sinsin4 BBB1)sin21cos23(sin4 BBB1sin22sin32 BBBB2cos2sin3 332tan B 2102302BB或或CBCB 且且由于由于120 12060B 105B 10515BB或或.15)(180 BAC，23cosABCABCabcBCbaA在中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，已知，求的值；31cos2cos2sincossinABCABCACcaCabcBbA在中，角

5、 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，已知，求的值；222ABCACACacb在中 ，最 大 ，最 小 ， 且， 求 此 三 角 形 的 三 边 之 比 。ABC在中，三边长为连续的正整数，且最大角是最小角的2倍，求此三角形的三边长。2222)sin()sin(),bABbAB在 ABC中，a,b,c分别表示三个内角A,B,C的对边，如果（a（a判断三角形的形状 在在ABC中，若中，若(accos B)sin B(bccos A)sin A，判断判断ABC的形状的形状a2b2c20或或a2b2，故三角形为等腰三角形或直角三角形故三角形为等腰三角形或直角三角形【变式变式3】 法二法二由正弦定理，原

6、等式可化为由正弦定理，原等式可化为(sin Asin Ccos B)sin B(sin Bsin Ccos A)sin A，sin Bcos Bsin Acos A，sin 2Bsin 2A，2B2A或或2B2A，AB或或AB ，故故ABC为等腰三角形或直角三角形为等腰三角形或直角三角形 在在ABC中，内角中，内角A，B，C的对边长分别为的对边长分别为a，b，c，已知已知a2c22b，且，且sin Acos C3cos Asin C，求，求b.解法一解法一在在ABC中，中，sin Acos C3cos Asin C，则由正弦定理及余弦定理有：则由正弦定理及余弦定理有：2(a2c2)b2.又由已

7、知又由已知a2c22b，4bb2.解得解得b4或或b0(舍舍)【变式变式4】 法二法二由余弦定理得：由余弦定理得：a2c2b22bccos A.又又a2c22b，b0.所以所以b2ccos A2.又又sin Acos C3cos Asin C，sin Acos Ccos Asin C4cos Asin C，sin(AC)4cos Asin C，即即sin B4cos Asin C，由正弦定理得由正弦定理得sin B sin C，故，故b4ccos A由由解得解得b4.例例. .判断满足下列条件的三角形的形状判断满足下列条件的三角形的形状(1)2 cosabC (2)sin,sin2sinsinac