第二章 流体运动的基本方程

1、第1页，共49页。2.1系统（质量体）与控制体1、系统：包含某些确定流体质点的集合。系 统的边界把系统和外界分开。 (1) 系统随流体的运动而运动，形状可变； (2) 系统与外界无质量交换； (3) 系统与外界可以有能量的交换； (4) 系统与外界可以有动量的交换。表示系统物质元用lnSn第2页，共49页。2、控制体：被流体所流经的相对于坐标系固 定的空间区域。控制体的边界称 为控制面。 (1) 控制体的形状、大小相对坐标系不变； (2) 通过控制面与外界可有质量交换； (3) 通过控制面与外界可以有能量的交换； (4) 通过控制面与外界可以有动量的交换。表示控制体体元用dxndAndV第3页

2、，共49页。2.2物质积分的随体导数 输运定理问题: 物理学守恒律仅能对流体系统使用， 那么采用Eu法研究流体力学问题时， 如何运用守恒律？jjxutDtDtDDNtDD解案：的随体导数的随体导数 :单位质量流体所挟带的某种物理量第4页，共49页。 雷诺输运定理 由物质导数的定义ttNttNtDDNtDDsyssyst)()(lim0)()()()()()(31ttNttNttNttNtNtNCVsysCVsys 这里下标sys与CV分别表示求N的积分是在系统或控制体内进行的n 1s1s1 (t)V un 23us3 s2 (t + t)第5页，共49页。tttNtttNttNttNttNtt

3、NtDDttCVCVtsyssyst)(lim)(lim)()(lim)()(lim301000)(30)(101lim1limttttttCVtttN311lim1lim00SjjtSjjtCVtdSnuttdSnuttN31CAjjCAjjCVdAnudAnuVdtn 1dAs1 (t)V un 23us3 dA (t + t)第6页，共49页。CAjjCVdAnuVdtCAjjCVdAnuVdttDDCVjjCVdVxuVdttDD对不可压流体有VdtDDtDD更一般地*或第7页，共49页。)()(tDDtDDtDDjjjjxuxut)( )(jjuxt当t 0时有 dV ， S dA

4、得输运公式SuntjjcAjjcvdAnuVdttDD第8页，共49页。iixutDD)(当t 0时，有 dV 得不可压流体输运式tDD对不可压流体有)()(tDDtDDtDDVdtDDtDD第9页，共49页。 物理学研究问题时总是首先选用守恒律，在 流体力学中使用守恒律时，尚需考虑： （1）L氏变量与Eu变量的选择 研究各物理量的空间分布 选Eu变量 研究质点运动选L氏变量 （2）积分型与微分型方程的选择 研究流体的总体运动特性积分方程2. 运动流体的守恒律研究各参数的逐点分布特性微分方程 第10页，共49页。2.3 描述粘性流体运动的基本方程1 质量守恒连续性方程由守恒定律0tDD流体不可

5、压缩AVunCAjjCVdAnuVdttDD又0CAjjCVdAnuVdt0VdxuxuVdtCVjjjjCV0jjxu第11页，共49页。因此，有连续性方程dVtdAnu0iixu微分型每单位时间通过控制面流出总质量每单位时间控制体内质量的减少积分型第12页，共49页。2 动量守恒运动方程动量守恒方程dAndVfdAuunVdtujijiijji对理想流体有iijijixpfxuutu1221jiiijijixuxpfxuutu动量守恒方程第13页，共49页。3 能量守恒总能方程dVqdAxTndAundVufdAueunVduetRjjijijiiijji)2()2(22能方程Rjijij

6、iiiqxTuxufuetDD222)(1)2(第14页，共49页。4 质量传输 移流扩散方程C：每单位体积流体中所含扩散质的量Ji ixctcV dA C令由守恒律有 QtDDC由 Fick 扩散定律 imixCDJ浓度分布不均匀 引起的扩散量第15页，共49页。221imDxCDQ当扩散质在单位时间单位体积中源强为Fc时， 内总扩散质产生量为dVFccFQ2代回守恒律得到移流扩散方程cimiiFxCDxCutC22dVxCDdAnxCDimiim22)(第16页，共49页。使用不可压缩流体的输运公式VdtDDtDD可得VdtDDCVdCtDDCtDD)(再由扩散定律，得移流扩散方程dVFd

7、AxCnDCdAunVdtCciimii22imxCDtC在静止无源流体中，有第17页，共49页。2.4粘性流体基本方程组及边界条件1 流体动力学微分基本方程组RjjjqcxTcxTutT122能量守恒221jiiijijixuxpfxuutu动量守恒0iixu质量守恒)(22cimjjFxcDxcutc质量传输第18页，共49页。2 流体动力学积分型基本方程组能量守恒动量守恒质量守恒dVtdAnudAndVfdAuunVdtujijiijjijjjRjeTdVeu n dAdVn dAq dVtx)dVFdAxCnDCdAunVdtCciimii（质 量 传 输第19页，共49页。3 边界条

8、件初始条件 （tt0时，流体运动所满足的条件） ui = ui(xi, t0) ， p = p(xi, t0) ， T = T(xi, t0) ui1(xi) = p1 (xi ) = T1 (xi) 这里ui1(xi) ， p1 (xi )，T1 (xi)均为给定已知函数。 对恒定流，不须给出初始条件。边界条件 无穷远处：如飞机在天空中飞行，我们研究的是 飞机以外直到无穷远处流体的运动情 况，则边界条件可写为TTppuux,时，第20页，共49页。固流固流（，), )0,0(,0nTnTTTuuun固流固流固流（，),nTnTTTuu0流nu固流nnuu运动固体壁面：对理想流体边界条件简化为

9、 静止固体壁面：第21页，共49页。2.5不可压层流流动的精确解两平行平板间的粘性流动 两无穷大平板间充满粘度系数为常数的均质不可压缩流体，上板以常速度U沿板面x方向滑动，温度均匀为T1，下板静止不动，温度均匀为T0。沿x方向的压力梯度 =常数 ，即 ， 两板间距为2h。Pxp1 问题第22页，共49页。2 速度场:)(1)(1022222222yuxuypyuuxuuyuxuxpyuuxuuyuxuyyyyyxxxxyxxyx方程： xyU , T1y=hy=hy=0u=0 T0第23页，共49页。边界条件： yh ：ux= 0 uy= 0 yh ： ux= U uy= 0方程化简为Pdyu

10、dx22满足边界条件的解为)(2)(222hyPhyhUux很显然，这是两个解的线性叠加：第24页，共49页。第一项，P0，)(2hyhUux)(222hyPux第二项，U0，称为简单库埃特流动。速度剖面为y的线性函数。称为二维泊肃叶流动。速度剖面为上下对称的抛物线。第25页，共49页。PhhUdyduhyxhyw2)()(2)(222hyPhyhUux一般为：可算出，上下壁面所受到的流体剪应力分别为：第26页，共49页。2.6不可压恒定一元流方程1 连续性方程121 122orQQQAAA2 元流伯努利方程2221122122or22puzCgpupuzzgg第27页，共49页。实际流体元流

11、伯努力方程 实际流体运动时，粘滞力对运动为阻力，克服该阻力所做的功为元流的能量损失 。 1 2lh实际流体元流伯努力方程为221122121 222lpupuzzhgg第28页，共49页。元流伯努力方程的应用毕托管测速仪 滞止点（驻点）a：速度为零，压力最大。毕托管的工作原理：将动能转换成压能。沿 ab 流线列理想流体元流能量方程2222ababuppugppuggh实际流体的流速： 2uugh式中 为经实验校正的流速系数，它与管的构造和加工情况有关，其值近似等于1。第29页，共49页。3 恒定总流伯努利方程22111212121222lppzzhgg 恒定流； 不可压缩流体； 质量力只有重力

12、； 渐变流过流断面； 无分流和合流； 无能量的输入输出。第30页，共49页。有分流和合流的能量方程2211 1212121 222lppzzhgg2233311 1131 322lppzzhgg 有能量输入和输出能量方程2211 1212121 222ilppzHzhgg第31页，共49页。4 恒定总流动量方程022011FQ第32页，共49页。5 有压管路基本计算公式连续方程QA能量损失2222lfmlhhhdgg能量方程2211 12221222lppzzhgg 第33页，共49页。22248HldHQS Qd g22HppHS QS Q对于气体248pHldSSd其中，单位为：kg/m7

13、248HldSd g其中称为管路的阻抗，单位为：s2/m5。第34页，共49页。串联管路是由许多简单管路首尾相接组合而成。 流量关系：123QQQ能量关系：2222123112233123llllhhhhSQS QS QS QSSSS第35页，共49页。并联管路流量关系：123QQQQ能量关系：22221231122331231231231111SSSS111Q :SSSllllhhhhSQS QS QS QQQ第36页，共49页。2.7明渠流动1 明渠流的特点（1）具有自由液面，p0=0，为无压流（管流为压力流）； （2）湿周是过水断面固体壁面与液体接触部分的周长,不等 于过水断面的周长；

14、（ 3）重力是流体流动的动力，为重力流（管流则是粘滞力流）； （4）渠道的坡度影响水流的流速、水深。坡度增大，则流速 增大 ，水深减小； （5）边界突然变化时，影响范围大。 第37页，共49页。第38页，共49页。2 明渠均匀流的基本公式明渠均匀流水力计算的基本公式 连续性方程： QA谢才公式： C RJC RiJi谢才系数的计算： （1）曼宁公式： 1 61CRn（2）巴甫洛夫斯基公式： 0.1310.0110.04ymRmCRnn1.51 m50.101.51 myn RynRnynR或近似第39页，共49页。3 梯形断面渠道的水力计算（1） 校核渠道的输水能力对已成渠

15、道进行校核性的水力计算。 , , , ,QCA Rif m n i b h, , , ,m n i b h已知：求： Q求解：直接用公式（2） 设计渠道底坡已知：求： i求解：, , ,Q m n b h22QK iQiKKCA R第40页，共49页。（3） 设计渠道断面尺寸已知：求： b 和 h 求解： 在 b 和 h 中已知一个，求另一个。, ,Q m n i5 32 32121bmh hQK iQKniKCA Rbhm据此式试算出 b 或 h，或者可作 或 曲线，在曲线上找 所对应的 b 或 h。 Kf b Kf hKQi第41页，共49页。5 32 32121bmh hQKnibhm2

16、21mm小型渠道，由水力最优条件给出宽深比 ，大型渠道由技术经济综合比较给出宽深比，再用以下公式计算 b 和 h。bh 给定宽深比，求 b 和 h。第42页，共49页。4 无压圆管均匀流的水力计算充满度2sin4hd 基本公式, , ,QCA Rif n i d水力要素：2sin82sin14dAddR第43页，共49页。 验算输水能力求： Q, , ,n i d已知：, , ,QCA Rif n i d求解：直接计算 设计管道底坡 求： i已知：, , ,Q n d求解：22QK iQiKKCA R计算时要参考有关规定! 计算管径求： d, , ,Q n i已知：求解： QCA Rif d第

17、44页，共49页。2.8 流体平衡1 流体平衡微分方程000pXxpYypZz 流体平衡微分方程（欧拉平衡微分方程） 物理意义： 流体处于平衡状态时，单位质量流体所受的表面力与质量力彼此相等。第45页，共49页。2 流体平衡微分方程的一般积分1()()pppXdxYdyZdzdxdydzdpXdxYdyZdzxyz 将三式分别乘以dx，dy，dz后相加可得平衡微分方程的综合式：引入力的势函数W（x，y，z），使 WWWdWXdxYdyZdzdxdydzxyz满足上式的质量力为有势质量力。第46页，共49页。dpdW即只有在有势的质量力作用下，流体才能处于平衡状态。则平衡方程为：pWC00CpW00()ppWW积分：