《线性代数》电子教程之十二

1、1线线 性性 代代 数数 电子教案之十二2主要内容第十二讲 特征值与特征向量v特征值与特征向量的概念、求法；特征值与特征向量的概念、求法；v特征值与特征向量的性质特征值与特征向量的性质.基本要求基本要求v理解矩阵的特征值与特征向量的概念，理解矩阵的特征值与特征向量的概念， 了解其性质，并掌握其求法了解其性质，并掌握其求法.3一、特征值与特征向量的概念一、特征值与特征向量的概念第二节第二节 方阵的特征值与特征向量方阵的特征值与特征向量定义定义 设设 是是 阶矩阵，如果数阶矩阵，如果数 和和 维非零列向维非零列向量量 使关系式使关系式Ann xxAx 成立，成立， 那么这样的数那么这样的数 称为方

2、阵称为方阵 的的特征值；特征值； A 非非零向量零向量 称为方阵称为方阵 的的对应于特征值对应于特征值 的特征向量的特征向量. Ax注意：注意：关系式关系式 是特征值与特征向量满足的条是特征值与特征向量满足的条 件式，由此可知件式，由此可知 必须为方阵必须为方阵.xAx A零向量显然满足关系式零向量显然满足关系式 ，但零向量不，但零向量不 是特征向量是特征向量. xAx 特征向量是非零向量特征向量是非零向量.4二、特征值与特征向量的求法二、特征值与特征向量的求法1.1. 结论的引入结论的引入xAx 0 xAx 0)( xEA 若若 是是 的特征值，的特征值， 是是 的对应于的对应于 的特征向的

3、特征向量，则有量，则有A0 A0 0)(0 EA方程方程 有非零解，且有非零解，且 是它的是它的一个非零解一个非零解0)(0 xEA 00 EA 是代数方程是代数方程 的根的根.0 EA 0 50 EA 以以 为未知数的一元为未知数的一元 次方程次方程n 称为方阵称为方阵 的的特征方程特征方程.A以以 为变元的为变元的 次多项式次多项式 ，即，即 nEA nnnnnnaaaaaaaaaEA212222111211 )( f称为方阵称为方阵 的的特征多项式特征多项式.A62.2. 结论结论 矩阵矩阵 的特征方程的特征方程 的根就是的根就是 的的特征值特征值. 在复数范围内在复数范围内 阶矩阵有阶

4、矩阵有 个特征值个特征值(重重根按重数计算根按重数计算).0 EA AAnn 设设 是方阵是方阵 的一个特征值，则齐次方程的一个特征值，则齐次方程 A0)( xEA 的全体非零解就是的全体非零解就是 的对应于特征值的对应于特征值 的全部特的全部特征向量；征向量；A 齐次方程齐次方程 的基础解系就是的基础解系就是对应于特征值对应于特征值 的全体特征向量的最大无关组的全体特征向量的最大无关组.0)( xEA 7例例1 求矩阵求矩阵 的特征值和特征向量的特征值和特征向量. 3113A解解 析：这是一道非常简单的求特征值和特征向析：这是一道非常简单的求特征值和特征向量的题目，意在熟悉特征值和特征向量的

5、求法和量的题目，意在熟悉特征值和特征向量的求法和步骤步骤. 的特征多项式的特征多项式A 3113EA 1)3(2 862 )4)(2( 所以所以 的特征值为的特征值为A, 21 . 42 8当当 时，对应的特征向量应满足时，对应的特征向量应满足21 0023112321xx . 0, 02121xxxx即即解得解得,21xx 得基础解系得基础解系,111 p所以对应于所以对应于 的全部特征向量为的全部特征向量为21 ).0(1 kkp9当当 时，对应的特征向量应满足时，对应的特征向量应满足42 0043114321xx . 0, 02121xxxx即即解得解得,21xx 得基础解系得基础解系,

6、112 p所以对应于所以对应于 的全部特征向量为的全部特征向量为42 ).0(2 kkp10例例2 求矩阵求矩阵的特征值和特征向量的特征值和特征向量. 201034011A解解 的特征多项式的特征多项式AEA 201034011 3411)2()12)(2(2 2)1)(2( 所以所以 的特征值为的特征值为A, 21 . 132 11当当 时，解齐次方程时，解齐次方程 ，21 0)2( xEAEA 2 001014013 000010001得基础解系得基础解系,1001 p所以对应于所以对应于 的全部特征向量为的全部特征向量为21 ).0(1 kkpr120)( xEAEA 101024012

7、 000210101得基础解系得基础解系,1212 p).0(2 kkp当当 时，解齐次方程时，解齐次方程 ，132 r所以对应于所以对应于 的全部特征向量为的全部特征向量为132 13例例3 求矩阵求矩阵的特征值和特征向量的特征值和特征向量. 314020112A解解 的特征多项式的特征多项式AEA 314020112 3412)2()2)(2(2 2)2)(1( 所以所以 的特征值为的特征值为A, 11 . 232 14当当 时，解齐次方程时，解齐次方程 ，11 0)( xEAEA 414030111 000010101得基础解系得基础解系,1011 p).0(1 kkpr所以对应于所以对

8、应于 的全部特征向量为的全部特征向量为11 150)2( xEAEA 2 114000114 000000114得基础解系得基础解系,4012 p3322pkpk 当当 时，解齐次方程时，解齐次方程 ，232 r所以对应于所以对应于 的全部特征向量为的全部特征向量为232 ,1103 p32,kk( 不同时为不同时为0).16说明说明例例2和例和例3属于同一类型，解题方法和步骤也完全属于同一类型，解题方法和步骤也完全一致一致.但是，要注意它们的区别，在例但是，要注意它们的区别，在例2中，对应中，对应于于2重特征值重特征值 仅有一个线性无关特征向仅有一个线性无关特征向量；在例量；在例3中，对应于

9、中，对应于2重特征值重特征值 有两个有两个线性无关特征向量线性无关特征向量.132 232 17三、特征值与特征向量的性质三、特征值与特征向量的性质 设设 阶矩阵阶矩阵 的的 个个(在复数范围内在复数范围内)特征值为特征值为 则则nnA,21n ;221121nnnaaa .21An ( 的的迹迹 )AtrA1.1. 特征值的性质特征值的性质 若若 是是 的特征值，且的特征值，且 ，则，则 是矩阵是矩阵的特征值的特征值. A0 A 11 A证明证明举例举例证明证明举例举例18 若若 是是 的特征值，则的特征值，则 是矩阵是矩阵 的的特征值特征值. Ak )(NkAk ,)(0122aaaamm

10、 一般地，若一般地，若 是是 的特征值，且的特征值，且 A则则 是矩阵是矩阵 的特征值的特征值.)( EaAaAaAaAmm0122)( 说明说明 0 A如果如果 ，则上述结论中的幂指数可取任意实数，则上述结论中的幂指数可取任意实数.证明证明 若若 是是 的特征值，且的特征值，且 ，则，则 是是 的的特征值特征值. A0 A A证明证明特征值的性质特征值的性质19 若若 阶矩阵阶矩阵 的秩为的秩为 ，则，则 0 一定一定是的特征值是的特征值. 但是必须注意但是必须注意 0 不一定不一定 是重特是重特征值征值.nrAR )(rn nA证明证明 设设 为为 阶矩阵，则阶矩阵，则 与与 的特征值相同

11、的特征值相同.nAATA证明证明特征值的性质特征值的性质20 若若 是是 的对应于的对应于 的特征向量，则的特征向量，则 也是也是 的对应于的对应于 的特征向量的特征向量. A21, A 21 )0(21 若若 是是 的对应于的对应于 的特征向量，则的特征向量，则 也是也是 的对应于的对应于 的特征向量的特征向量. A kA ) 0( k2.2. 特征向量的性质特征向量的性质) 0( k)0(21 设设 是方阵是方阵 的的 个特征值，个特征值， 依次是与之对应的特征向量，依次是与之对应的特征向量，m ,21mppp,21Amm ,21 如果如果 互不相等，则互不相等，则 线性无关线性无关.mp

12、pp,21证明证明举例举例21例例4 设设3阶矩阵阶矩阵 的特征值的特征值 为求为求A, 2 , 1, 1 .23EAA 解解 析：此例的目的是熟悉特征值的性质析：此例的目的是熟悉特征值的性质(1)(2)(3),根据性质根据性质(1)知，求得知，求得 的全部特征值，就可求的全部特征值，就可求得得 . 此方法提供了求行列式的一个方法，即此方法提供了求行列式的一个方法，即)(A )(A 方阵方阵 的行列式的行列式= 的全部特征值之积的全部特征值之积.AAEAA23 因为的特征值为因为的特征值为 ，全不为，全不为0，2 , 1, 1 A所以所以 可逆，且可逆，且, 2 AEAAA231 EAA232

13、1 )(A 则有则有, 232)(1 故故 的特征值为的特征值为)(A 2221312)1(1 1 2)1(3)1(2)1(1 3 22322)2(1 3 因此因此EAA23 )2()1()1( . 9 23例例5 设设 和和 是矩阵是矩阵 的两个不同的特征向量，的两个不同的特征向量，对应的特征向量依次为对应的特征向量依次为 和和 ，A1 2 1p2p证证 根据题设，有根据题设，有,111pAp ,222pAp 析：要证明一个向量不是特征向量，通常用析：要证明一个向量不是特征向量，通常用反证法反证法.用反证法，假设用反证法，假设 是是 的特征向量，的特征向量，21pp A则存在数则存在数 ，使

14、，使 )()(2121ppppA 2121ppApAp 212211pppp 证明证明 不是不是 的特征向量的特征向量.21pp A240)()(2211 pp 因为因为 ，所以，所以 线性无关，故线性无关，故21 21, pp021 即有即有,21 与题设矛盾与题设矛盾.因此因此 不是不是 的特征向量的特征向量.21pp A25四、小结四、小结 Av设设 是是 阶矩阵，若有数阶矩阵，若有数 和非零列向量和非零列向量 ，使，使An 则称则称 是是 的特征值，的特征值， 为为 的对应于的对应于 的特征向量的特征向量. A A v矩阵矩阵 的特征值是特征方程的特征值是特征方程 的根的根.A0 EA

15、 v矩阵矩阵 的对应于特征值的对应于特征值 的特征向量是齐次方程的特征向量是齐次方程A 0)( xEA 的非零解的非零解.v特征值和特征向量的性质特征值和特征向量的性质. 26特征值的性质的证明特征值的性质的证明 证证n ,21因为因为 是是 的的 个特征向量，则有个特征向量，则有nA)()(21 nEA即即)()(21 n令令 ，即得，即得0 .21An 另一方面，根据行列式的定义知，上述行列式的另一方面，根据行列式的定义知，上述行列式的展开式中，只有对角元之积含有展开式中，只有对角元之积含有.1 nn 和和 nnnnnnaaaaaaaaa21222211121127)()(21 n)()(

16、2211 nnaaa 这些这些项中项中不含不含n 1 n 比较两端的比较两端的 的系数，可得的系数，可得1 n )()1(22111nnnaaa )()1(211nn 即即.221121nnnaaa 证毕证毕特征值的性质的证明特征值的性质的证明28特征值的性质的证明特征值的性质的证明 A因为因为 是是 的特征值，的特征值， 证证所以存在非零向量所以存在非零向量 使使 A0 A又由又由 知知，0 可逆，且可逆，且 ，所以，所以A A )(1A 11 A 1这表明这表明 是矩阵是矩阵 的特征向量的特征向量.1 A证毕证毕29特征值的性质的证明特征值的性质的证明 证证 A因为因为 是是 的特征值，的

17、特征值，所以存在非零向量所以存在非零向量 使使 A用用 左乘上式两端得左乘上式两端得A)(2 AA 22 A 2A2 这表明这表明 是矩阵是矩阵 的特征向量的特征向量.2Ak kA类似地，可以证类似地，可以证 是矩阵是矩阵 的特征向量的特征向量.) 3( k证毕证毕30特征值的性质的证明特征值的性质的证明 证证 A因为因为 是是 的特征值，的特征值，所以存在非零向量所以存在非零向量 使使 A0 又因为又因为 ，所以，所以 A )(1A AAA)(1 AA A A这表明这表明 是矩阵是矩阵 的特征向量的特征向量.证毕证毕31特征值的性质的证明特征值的性质的证明 证证,)(nrAR 因为因为所以所

18、以 而而, 0 A0 A0 Ax有非零解有非零解因此存在非零向量因此存在非零向量 ，使，使 00A这表明这表明 0 是是 的特征值的特征值.A证毕证毕32特征值的性质的证明特征值的性质的证明 证证 根据特征值满足的条件：是特征方程根据特征值满足的条件：是特征方程 的根，所以要证的根，所以要证 与与 的特征值相同，的特征值相同，0 EA TAA只需证它们的特征方程相同，也即只需证它们的只需证它们的特征方程相同，也即只需证它们的特征多项式相同特征多项式相同.EAEAT 因因为为EAT TTEA TEA)( EA 所以所以 与与 的特征多项式相同，从而的特征多项式相同，从而 与与 的的特征值相同特征值相同.ATAATA证毕证毕33特征向量的性质的证明特征向量的性质的证明