第六章主应力法-2015

1、1第六章第六章 主应力法及其应用（切块法）主应力法及其应用（切块法） 研究研究不同形状不同形状和性能的坯料，在和性能的坯料，在不同的工不同的工模具模具和不同的外力作用下发生塑性变形时的和不同的外力作用下发生塑性变形时的应力、应变和流动状态，是塑性成形理论的应力、应变和流动状态，是塑性成形理论的根本任务之一。根本任务之一。 知道了坯料塑性变形时的应力状态，即知道了坯料塑性变形时的应力状态，即可计算出可计算出变形力和功能消耗变形力和功能消耗。第一节第一节 概概 述述2 变形力：变形力：在塑性加工过程中，工具通过与坯料的在塑性加工过程中，工具通过与坯料的接触面，对坯料施加作用力，当此作用力达到一定值

2、接触面，对坯料施加作用力，当此作用力达到一定值时，坯料发生塑性变形，此时，工具作用在时，坯料发生塑性变形，此时，工具作用在坯料上坯料上的的作用力称为作用力称为变形力变形力。变形力变形力镦粗镦粗（.第一章第一章 绪论绪论锻压连接源文件锻压连接源文件duncu.exe整体或局部整体或局部）3确定塑性变形时应力状态的目的：确定塑性变形时应力状态的目的： 可分析变形规律，确定可分析变形规律，确定成形极限，选择锻压设备、成形极限，选择锻压设备、寻求节能的工艺方案提供依据；寻求节能的工艺方案提供依据； 从坯料内部的静水压力分布，可分析金属的流动从坯料内部的静水压力分布，可分析金属的流动趋向和对塑性的影响；

3、趋向和对塑性的影响；根据变形的应力状态，可分析变形过程中材料内根据变形的应力状态，可分析变形过程中材料内部空洞性缺陷的焊合和防止开裂的工艺条件，为提部空洞性缺陷的焊合和防止开裂的工艺条件，为提高产品质量高产品质量提供基本途径；提供基本途径；从从应力状态还可以了解模腔内压力分布，合理设应力状态还可以了解模腔内压力分布，合理设计模具；计模具； 4 在塑性状态下，求解物体在塑性状态下，求解物体内应力的大小内应力的大小与分布与分布要比在弹性状态下困难得多，这主要要比在弹性状态下困难得多，这主要是因为塑性应力是因为塑性应力应变关系方程是非线性的应变关系方程是非线性的。 制订工艺规程，应力分布、变形力和变

4、形功是制订工艺规程，应力分布、变形力和变形功是不可缺少的数据不可缺少的数据. .因此，确定应力分布、变形力、变形功是塑性因此，确定应力分布、变形力、变形功是塑性加工过程力学分析的基本任务之一加工过程力学分析的基本任务之一。5 从理论上讲，联解平衡徽分方程和屈服准则，需要从理论上讲，联解平衡徽分方程和屈服准则，需要补充必要的物理方程和几何方程，在一定的边界条件下可补充必要的物理方程和几何方程，在一定的边界条件下可以求得变形体内的应力大小及分布。进而求得变形力。以求得变形体内的应力大小及分布。进而求得变形力。 但是这种数学解析只在某些特殊的情况下才能解，但是这种数学解析只在某些特殊的情况下才能解，

5、而对于一般空间问题，数学上极其困难，甚至不可能解。而对于一般空间问题，数学上极其困难，甚至不可能解。6方程数：方程数： 3 3个平衡微分方程个平衡微分方程 1 1个塑性条件方程个塑性条件方程 6 6个应力个应力应变关系方程应变关系方程 6 6个变形连续方程（协调方程）个变形连续方程（协调方程） 6 6个小应变几何方程个小应变几何方程共共2222个个 ，且为高阶偏微分方程。，且为高阶偏微分方程。未知数：未知数：x x、y y、z z、xyxy、yzyz、zxzx、x x、y y、z z、xyxy、yzyz、zxzx、uiui( (u,v,wu,v,w) )共共1515个。个。虽然未知数和小于方程

6、数，但实际上这虽然未知数和小于方程数，但实际上这1515个联立方程个联立方程是无法解的，需要将问题进一步简化。是无法解的，需要将问题进一步简化。金属塑性成形原理 第六章主应力法1 1、空间问题：、空间问题：78910方程数：方程数： 2 2个微分平衡个微分平衡 1 1个塑性条件个塑性条件 4 4个应力个应力应变关系应变关系 2 2个变形连续方程。共个变形连续方程。共9 9个个未知数：未知数：、z z、zz、z z、zz、99个。个。2 2、轴对称问题：、轴对称问题： 可见，轴对称问题比一般的空间问题简单，但只有在个别情可见，轴对称问题比一般的空间问题简单，但只有在个别情况下，当边界剪应力为零或

7、只与一个坐标轴有关才有精确的解。况下，当边界剪应力为零或只与一个坐标轴有关才有精确的解。11 因此，许多学者在塑性理论的基础上，引进了各种简因此，许多学者在塑性理论的基础上，引进了各种简化假设，提出了许多求解塑性问题的近似解析方法。化假设，提出了许多求解塑性问题的近似解析方法。这种简化的计算方法，我们称初等解析法，也称主应力法这种简化的计算方法，我们称初等解析法，也称主应力法。主要用于程上。主要用于程上 。 属于静定问题，理论上可解。但这类也总是只有在部分条件下属于静定问题，理论上可解。但这类也总是只有在部分条件下，即边界剪应力条件特殊时，（等于，即边界剪应力条件特殊时，（等于0 0，或或只与

8、一个坐标轴有关时只与一个坐标轴有关时）才有精确的解。）才有精确的解。方程数：方程数：2 2个微分平衡，个微分平衡，1 1个塑性条件共个塑性条件共3 3个。个。未知数：未知数：x x、y y、z z、xyxy 3 3个个3 3、平面问题：、平面问题：12一主应力法的实质一主应力法的实质第二节第二节 主应力法的基本原理（切块法）主应力法的基本原理（切块法）主应力法又称切块法主应力法又称切块法，是塑性成形中求解，是塑性成形中求解变形力变形力的一的一种种近似解法近似解法。它通过对应力状态作一些近似假设，建。它通过对应力状态作一些近似假设，建立以立以主应力表示的主应力表示的简化平衡方程简化平衡方程和和塑

9、性条件塑性条件，使求解，使求解过程大大简化。过程大大简化。主应力法属于一种初等解析法，仍然是利用平衡方程主应力法属于一种初等解析法，仍然是利用平衡方程与塑性条件联解采取了一些简化条件。与塑性条件联解采取了一些简化条件。13 根据实际变形区情况，将复杂根据实际变形区情况，将复杂问题近似地按问题近似地按轴对称问题轴对称问题或或平面问平面问题来处理，并选用相应的坐标系。题来处理，并选用相应的坐标系。对于变形复杂的过程。对于变形复杂的过程。 如模锻，如模锻，可以分成若干部分可以分成若干部分，每一部分分别，每一部分分别按按平面问题平面问题或或轴对称问题处理轴对称问题处理，最，最后组合在一起，得到整个问题

10、的解后组合在一起，得到整个问题的解。（1 1）将复杂变形体简化成）将复杂变形体简化成平面应变问题平面应变问题或轴对称问题或轴对称问题二、主应力法要点（假设）二、主应力法要点（假设）切块法切块法14（2 2）假设变形体内的某一方向法向应力分布与一个坐标）假设变形体内的某一方向法向应力分布与一个坐标轴无关。轴无关。( (截取基元块截取基元块) ) 根据某瞬时变形体的根据某瞬时变形体的变形趋向变形趋向，截取包括接触平面在内的典型基元截取包括接触平面在内的典型基元块，在块，在接触面上接触面上有有正应力正应力和和切应力切应力（摩擦力），（摩擦力），且假设在其他截面（且假设在其他截面（非接触面非接触面）上

11、仅有均布的正应力即）上仅有均布的正应力即主应力主应力。 这样处理的结果使平衡方程缩减这样处理的结果使平衡方程缩减至一个，而且由偏微分方程变为常至一个，而且由偏微分方程变为常微分方程。该微分方程。该平衡方程平衡方程可以通过基可以通过基元块的静力平衡条件得到。元块的静力平衡条件得到。15 建立塑性条件时，假设建立塑性条件时，假设非主应力为主应力非主应力为主应力，通常把接，通常把接触面上的正应力假设为主应力，即忽略了摩擦切应力的影触面上的正应力假设为主应力，即忽略了摩擦切应力的影响。这样，就使塑性条件简化为线性方程，这就是所谓近响。这样，就使塑性条件简化为线性方程，这就是所谓近似屈服准则。似屈服准则

12、。对于对于平面应变平面应变问题，塑性条件问题，塑性条件: :22244)(Kxyyx可简化为可简化为x x-y y = =s s=2K =2K （3 3）采用近似的屈服准则）采用近似的屈服准则16 例如以上分析中，可以假设例如以上分析中，可以假设x x、y y为主应力为主应力1 1、3 3 。 这时不考虑剪应力这时不考虑剪应力的影响。这就是塑性条件由原来的影响。这就是塑性条件由原来的非线性化。如果的非线性化。如果非常非常大时。误差结果也就较大。大时。误差结果也就较大。 将上述的将上述的平衡方程平衡方程与近与近似似屈服准则屈服准则联解，以求接触联解，以求接触面上的面上的应力分布应力分布，这就是主

13、，这就是主应力法。应力法。 由于该方法需要截取基元由于该方法需要截取基元块，又形象地称为块，又形象地称为切块法。切块法。17金属塑性成形原理 第六章主应力法二、二、几种金属流动类型几种金属流动类型变形力公式变形力公式的推导的推导下面我们要用主应力方法来推导几种类型的变形的公式：下面我们要用主应力方法来推导几种类型的变形的公式：平面应变：平面应变：镦粗镦粗挤压挤压轴对称问题：轴对称问题：镦粗镦粗挤压挤压18（一）平面应变的（一）平面应变的横向横向流动（镦粗型）流动（镦粗型）0 xF02)(dxllhlhdxx02dxhdx02hdxdx (1)(1)平衡微分方程平衡微分方程长矩形板长矩形板镦粗时

14、的变形力和单位流动压力，因镦粗时的变形力和单位流动压力，因l lh h，x xe e，故故l l方向变形为方向变形为0 0，因此可视为因此可视为平面问题平面问题来处理。来处理。1 1、列基元体平衡微分方程、列基元体平衡微分方程19微分后得：微分后得： Kxy2xydd (2)(2)1 1-3 3=y y-x x1 1=-=-x x, , 3 3=-=-y y2 2、建立塑性条件、建立塑性条件由于由于xx，yy都是压力，故都是压力，故 这时这时y y、x x为正值，即绝对值为正值，即绝对值xy对于平面应变，根据对于平面应变，根据MisesMises，准则，准则S3220积分后得积分后得dxhdy

15、2Cxhy2将（将（2 2）代入（）代入（1 1）02hdxdx得得3 3、联解平衡方程和塑性条件、联解平衡方程和塑性条件21exx 当当时时yeyeyexhC20 xKye2S32)(2)(2xxhxxheyeeyS32这时这时自由表面自由表面4 4、由、由边界条件边界条件确定积分常数确定积分常数C C，求出应力分量，求出应力分量yy 22dFPFydxlexy02yeeeyeeeexyexxeeyeexeyxeehxxhxhxxxxhxxhxdxxxhxdxxxlPFPpeeeee220020002121221)(21125 5、确定单位、确定单位流动压力流动压力（即单位面积的平均变形力）

16、（即单位面积的平均变形力）平均变形力平均变形力变形力变形力23分析摩擦力对分析摩擦力对y y沿沿X X方向分布规律方向分布规律 )(2)(2xxhxxheyeeyS32若摩擦切应力为若摩擦切应力为0，沿整个接触面上的正应力均沿整个接触面上的正应力均为为S32三角形部分则表示由于摩擦三角形部分则表示由于摩擦切应力引起的正应力的增加切应力引起的正应力的增加值。值。y241 1、列基元体平衡微分方程、列基元体平衡微分方程总结：总结： 求解变形力或单位流动压力步骤求解变形力或单位流动压力步骤 2 2、建立塑性条件、建立塑性条件3 3、联解平衡方程和塑性条件、联解平衡方程和塑性条件4 4、由、由边界条件

17、边界条件确定积分常数确定积分常数C C，求出应力分量，求出应力分量yy 5 5、确定单位、确定单位流动压力流动压力（即单位面积的平均变形力）（即单位面积的平均变形力）25在塑性成形中，经常会遇到各种在塑性成形中，经常会遇到各种上下砧板倾斜上下砧板倾斜的情况的情况.这些问题属于平面这些问题属于平面镦粗变形一类。镦粗变形一类。有有:收敛式流动收敛式流动，爬升式流动爬升式流动，散射式流动，散射式流动， 下滑式流动下滑式流动。26, 000 xF若取若取02)()(dxtgdxtgdxdxtgtghdhluxxx因因00，00因因00，00dxdxdx2coscoscoscos推出推出y y和和p p

18、的计算公式。以的计算公式。以收敛式流动收敛式流动为代表为代表. .1 1、取基元体如图：建立平衡方程式、取基元体如图：建立平衡方程式270yF0cossincos1cosdxdxdxyutgyutgyl得得同理同理找到找到y y、u u与与l l的关系的关系则由静力平衡关系则由静力平衡关系yuxdxdx28金属塑性成形原理 第六章主应力法0)()(2)(22dxtgtgdxtgtgdddxtgtghdxtgtgyxxbx (1)代入平衡方程整理得：xtgtghhb又由几何关系又由几何关系29这时这时y y、x x为正值，即绝对值为正值，即绝对值Sxy32 (2)(2)xy0 xydd (3)(

19、3)由近似塑性条件微分得：2、建立塑性条件30（1）、（2）、（3）式联解得： C 为待定常数金属塑性成形原理 第六章主应力法CxKhKKdxxKhKdbyby)ln(11212tgtgK1)2(322212tgtgSKK这里令313、由边界条件确定积分常数C，求出应力分量y exxyeyeyehKKCln12yebeyxKhhKK)ln(121时当由边界条件知：32)ln() 1(ln) 1(ln1)ln(111221201120eyebbeeexyebeexyehKKhhhhxKKdxxKhhKKxdxxFPpee金属塑性成形原理 第六章主应力法说明：该解法适合与其它三种说明：该解法适合与

20、其它三种情况平板镦粗，只是按图示中情况平板镦粗，只是按图示中、正负值代入即可。正负值代入即可。 4、确定单位流动压力材料材料2010.5.72010.5.7第第1111周周3 3、4 4节节33（二）平面应变的纵向流动（挤压型）（二）平面应变的纵向流动（挤压型） yebeyxKhhKK)ln(112按照所选择的坐标系和坐标方向，对按照所选择的坐标系和坐标方向，对比得：比得： yebexyKwwKK)ln(112（、为正值）)(11tgtgKyKwwebe式中：宽板挤压和锻件宽筋的充满均属于该类型。它的分析方法宽板挤压和锻件宽筋的充满均属于该类型。它的分析方法可以对比前面我们讨论的倾斜砧板镦粗收

21、敛式流动推出的可以对比前面我们讨论的倾斜砧板镦粗收敛式流动推出的计算公式：计算公式：34金属塑性成形原理 第六章主应力法35（、为负值）)2(322212tgtgKSKSyx32x、y取正值 )(1tgtgK金属塑性成形原理 第六章主应力法分析：x、y均为压应力，但x 方向为压应变。而y方向为拉应变。比较前面所以：近似塑性条件为：36SykwwKKxebey32)ln(112SSyexe3232SyKwwKKbex32)ln(112)ln(112yKwwKKbey金属塑性成形原理 第六章主应力法确定 xe，当 y=ye时，为自由表面，这时， ye=037当y=0时，为挤压变形所需的单位流动压力

22、值。beyywwKKpln120金属塑性成形原理 第六章主应力法38（三）轴对称变形的横向流动（镦粗型）（三）轴对称变形的横向流动（镦粗型）S求砧面的单位流动压力。求砧面的单位流动压力。摩擦条件为 设有平行砧板间的轴对称镦粗。设有平行砧板间的轴对称镦粗。3940410rF0)(22sin2dhdrrddrdrdrhdrhrrr1 1、取基元板块，列平衡方程式、取基元板块，列平衡方程式42很小 取 22sindd02rrdhrdrhdrrdrh假定变形体为假定变形体为轴对称轴对称均匀镦粗变形。均匀镦粗变形。ddrr上式可化成： drhdr2 (1)则有 忽略高阶小量，化简得，432 2、建立塑性

23、条件、建立塑性条件r近似的塑性的方程为：近似的塑性的方程为：Srz(2)(2)所以主应力为所以主应力为r r 、z z 、按主应力方法，取按主应力方法，取 r r、z z、方向为主应力方向。方向为主应力方向。轴对称状态时，轴对称状态时，MisesMises，TrescaTresca准则一致准则一致44rzdd (3)(3)drhdz2Crhz2微分得微分得将（将（3 3）代入得）代入得积分得积分得45zezezerhC2zeezrrh)(2金属塑性成形原理 第六章主应力法当当r=re时，时，3 3、由边界条件确定积分常数、由边界条件确定积分常数C C，求出应力分量，求出应力分量z z 46dr

24、rrrhrdFrFPpzeererzeee2)(2110202zeehr324、求单位流动压力 4748四、接触表面切应力分布规律四、接触表面切应力分布规律 前面我们推导出了圆柱体镦粗变形时，接触面上垂直应力前面我们推导出了圆柱体镦粗变形时，接触面上垂直应力 的分布规律，其式为的分布规律，其式为zzeerrh)(2从而推出单位流动压力从而推出单位流动压力 zeehrp3249如果圆柱体高度为如果圆柱体高度为h,h,直径为直径为d d，接触面上垂直应力，接触面上垂直应力 的分布规律，其式为的分布规律，其式为)2(1rdhSzzeezrrh)(2z50)2(1rdhSzzeezrrh)(2若采用库

25、伦摩擦条件z由平衡方程：rrdhd2得 rzrdhd251rhzCe22dr 0r0z对上式积分得：当，于是接触面上正应力和摩擦切应力分布分别为：)2(2rdhzSe)2(2rdhSe得52由以上分析可知：摩擦条件对正应力分布影响很大。 )2(1rdhSz表明常摩擦系数条件下正应力分布为线性关系，若采用库伦摩擦条件， 由)2(2rdhzSe可知，正应力分布为指数曲线， 摩擦切应力 )2(2rdhSe在摩擦系数一定的情况下，随 hd的增大而增大。 53但是事实上库伦摩擦力不会无限增大，当摩擦切应力随正应力增大至 后，就不再增大，S5 . 0max所以采用单一库伦摩擦条件也是不符合实际情况的。54

26、hd推导过程中摩擦切向力 为常数，和摩擦系数有关。 这时单位流动压力p呈斜直线分布。而实际变形受力情况并不那么简单。苏联学者翁克索夫采用了实验方法，即用压力传感器和光弹性法，实测了圆柱体镦粗时接触表面上的分布。表明其应力分布是比较复杂的与圆柱体的径高比5556当hd较大时，摩擦应力有三个区域：滑动区、制动区、停滞区当hd较小时，有两个区域：滑动区、停滞区hd2时有一个区域：停滞区57各区域摩擦应力的表示式滑动区： 为库仑摩擦系数) （库仑摩擦条件）制动区：停滞区：rc值是由实验侧得：大致与试样的高度相当。（s 为材料真实应力） （最大摩擦条件）hrSrrSc22z2S5859606162drh

27、dz263drhdz26465从以上计算结果可知，在滑动区，接触面正应力呈指数分布；在制动区，正应力呈线性分布；在停滞区，正应力呈抛物线分布。整个接触面上正应力是指数曲线、直线和抛物线的组合。666768697071F7273740zF0sincos2coscos2)()(22dzrdzrtgdzrdruzzz02222dztgrdrdrdztgruzzz忽略高阶小量，化简得 (1)（四）、轴对称变形的纵向流动（挤压型）（四）、轴对称变形的纵向流动（挤压型）1、取基元板块，列平衡方程式750sincossincosdzdzdzu (2)tgruzSzr (3)r、z 取正值 金属塑性成形原理 第六章主应力法而因为因为r 、 z 均为压