第二章多自由度机械系统的动力学建模

1、当广义坐标不止一个时，记广义坐标为当广义坐标不止一个时，记广义坐标为 ，不失一般性，把系统外力不失一般性，把系统外力F F和力和力矩矩 统一记为统一记为 ，把质量，把质量m m和转和转动惯量动惯量J J统一记为统一记为 , ,对应的位移对应的位移和转角统一记为和转角统一记为 , ,速度为速度为2 21 1 多自由度系统建模方法之一多自由度系统建模方法之一（基于动能定理和广义可能位移原理）（基于动能定理和广义可能位移原理）(1,2)sq s (1,2)iF i (1,2)i imiu(1,2)iv i 2 21 11 1 基于动能定理基于动能定理：引入广义坐标引入广义坐标得：记为记为将此式进一步

2、展开：将此式进一步展开：1()2iiiiiiidFvv mvdtsq,1212iiiissitsiistsstiiists tistuuudFqqmqqdtqquudmq qdtqq ,12ssststss tdQ qMq qdt 注意到广义坐标为注意到广义坐标为 是独立无关的，是独立无关的，得系统运动方程：得系统运动方程：表为矩阵形式：表为矩阵形式：或：或： ,22,2,11()221()()2stssststststststrss ts trriiiisttsrstis ts trisrtstriisttsis tristrMdQ qMq qMq qq qq qqdtquuuuM q qq

3、 q qmq qqqq quuMq qmqq q ,strs tsttsstrstrs ts trq q qMq qD q q q (1,2)sq s ,ssttstrtrtt rQM qD q q + trQMqD q q + TTTtrTFTm TqTm Tq q 式中式中 广义力广义力 二阶广义惯量二阶广义惯量 三阶广义惯量三阶广义惯量2 21 12 2基于广义可能位移原理的动力学普遍基于广义可能位移原理的动力学普遍方程：方程：sQstMstrD TisiisuQFTFQq TiistiistuuMmTm TMqq2 TiistriistruuDmTm TDqq q 1()0miiiii

4、FM uuxyOMBrArFNi r i 光滑支承面光滑支承面刚体的固定支点刚体的固定支点连接两刚体的光滑铰链连接两刚体的光滑铰链连接两个质点的无重刚杆连接两个质点的无重刚杆不可伸长的绳索不可伸长的绳索kjirkjirkjiFiiiiiiziyixizyxzyxFFFiii0)(iziiyiixizFyFxF（一）虚功原理与达朗贝尔原理（一）虚功原理与达朗贝尔原理 虚功原理是关于力学系统平衡的一个普通虚功原理是关于力学系统平衡的一个普通原理，解题方法一般归纳为：原理，解题方法一般归纳为：1 1、判别约束是否为理想约束；、判别约束是否为理想约束；2 2、找出主动力及作用点；、找出主动力及作用点；

5、3 3、确定自由度，并选择广义坐标；、确定自由度，并选择广义坐标；4 4、由广义坐标和变换式把虚位移用广义坐标的变、由广义坐标和变换式把虚位移用广义坐标的变分来表示；分来表示；5 5、由虚功原理写出平衡方程，由于广义坐标的变、由虚功原理写出平衡方程，由于广义坐标的变分相互独立，所以可以较方便的求解。分相互独立，所以可以较方便的求解。 达朗贝尔原理是力学体系动力学的一个普通方达朗贝尔原理是力学体系动力学的一个普通方 程，程，它考虑的是运动而不是静力学问题。它考虑的是运动而不是静力学问题。由由“运动运动”学学 （ 主动力；主动力； 约束反力）约束反力）变为平衡类型变为平衡类型这样把动力学的问题转变

6、为静力学问题处这样把动力学的问题转变为静力学问题处理，这就是著名的理，这就是著名的“动静法动静法”。由于变为平。由于变为平衡方程，所以完全可按虚功原理方法解决衡方程，所以完全可按虚功原理方法解决有关问题。虚功原理与达朗贝尔原理一起有关问题。虚功原理与达朗贝尔原理一起成为分析力学的最普遍原理的理论基础。成为分析力学的最普遍原理的理论基础。iiiimRFr iFiR0iiimrRF 由由 得得：故运动方程：故运动方程：式中各项与前面的推导完全一致。式中各项与前面的推导完全一致。2 22 2 复杂机构系统的动力学建模方法之二复杂机构系统的动力学建模方法之二（拉格朗日方程法）（拉格朗日方程法）iiss

7、suuqqiitttuuqq2()iiittrtrttruuuqq qqq q 1()0miiiiiFM uu2()iiiiisittrsisistrssttruuuuF qmqq qqqqqq q ssttstrtrttrQM qD q q T动能动能 V势能势能 L拉氏函数（动势）拉氏函数（动势）ssssQqVqTqTdtdVTL( (二二) )拉格朗日方程拉格朗日方程 作为力学系统的运动规律，利用广义坐标从动作为力学系统的运动规律，利用广义坐标从动力学普遍方程推导出来的拉格朗日方程，对整个力学普遍方程推导出来的拉格朗日方程，对整个力学体系的运动提供了一个统一而普遍的解法。力学体系的运动提

8、供了一个统一而普遍的解法。拉氏方程是完整理想的力学体系的最普遍的动力拉氏方程是完整理想的力学体系的最普遍的动力学方程，它给解决动力学问题提供了一个高度统学方程，它给解决动力学问题提供了一个高度统一而又概括的方法。这种表述及其方法，不仅在一而又概括的方法。这种表述及其方法，不仅在力学范畴有重要意义和实用价值，而且为研究近力学范畴有重要意义和实用价值，而且为研究近代物理提供了必须的物理思想和数学技巧。代物理提供了必须的物理思想和数学技巧。ssssQqVqTqTdtdVTLT动能动能 V势能势能 L拉氏函数（动势）拉氏函数（动势） 拉格朗日方程用高度统一规律描述了力学拉格朗日方程用高度统一规律描述了

9、力学系统动力学的运动规律，反映在：系统动力学的运动规律，反映在：拉氏方程的形式不随广义坐标的选择而发拉氏方程的形式不随广义坐标的选择而发生变化；生变化；对惯性系统和非惯性系，拉氏方程的形式对惯性系统和非惯性系，拉氏方程的形式都一样；都一样；拉氏方程中的广义坐标、广义速度、广义拉氏方程中的广义坐标、广义速度、广义动量、广义动能都比牛顿力学中的坐标、动量、广义动能都比牛顿力学中的坐标、速度、力、动量、动能具有更普遍的意义。速度、力、动量、动能具有更普遍的意义。拉氏方程概括了质点、质点组、刚体各种拉氏方程概括了质点、质点组、刚体各种运动的动力学规律。运动的动力学规律。拉氏方程是从能的角度去研究问题。

10、当系拉氏方程是从能的角度去研究问题。当系统的主动力为保守力系时，拉氏函数成为统的主动力为保守力系时，拉氏函数成为力学体系的特征函数；力学体系的特征函数；拉氏方程的个数与力学体系的约束条件有拉氏方程的个数与力学体系的约束条件有关。约束越多，方程数就越少，所以与牛关。约束越多，方程数就越少，所以与牛顿力学比较，对多约束的力学体系，拉氏顿力学比较，对多约束的力学体系，拉氏方程就愈能显示出它的优越性。但是拉氏方程就愈能显示出它的优越性。但是拉氏方程的物理图象不如牛顿力学直观，这是方程的物理图象不如牛顿力学直观，这是它的不足之处。在应用拉格朗日方程解题它的不足之处。在应用拉格朗日方程解题时一般方法是：时

11、一般方法是： 1.1.首先正确判断力学体系的自由度，并选择首先正确判断力学体系的自由度，并选择适当的广义坐标；。适当的广义坐标；。2.2.判断是否是保守力场，从而决定选用方程判断是否是保守力场，从而决定选用方程类别；是保守力场时采用：类别；是保守力场时采用： 不是保守力场，或力场性质不明及不易不是保守力场，或力场性质不明及不易判断情况下要采用一般形式的拉格朗日方判断情况下要采用一般形式的拉格朗日方程：程： 0qLqLdtdSQqTqTdtd2 , 13.3.求出的速度一定要采用绝对速度。这是动求出的速度一定要采用绝对速度。这是动能表达式中所需要的。能表达式中所需要的。4.4.按广义坐标建立按广

12、义坐标建立 个方程后，马上检查个方程后，马上检查是否存在循环坐标（拉氏函数中不显含某是否存在循环坐标（拉氏函数中不显含某一广义坐标一广义坐标 ，此为循环坐标），马，此为循环坐标），马上就可以写出它的第一积上就可以写出它的第一积分分 ；5.5.若采用一般形式的拉格朗日方程，就要求若采用一般形式的拉格朗日方程，就要求广义力。广义力的求法是：广义力。广义力的求法是：按定义求：按定义求：Siq常数qL)S,(qQni211 i ii irF 其中其中 是作用在力学体系的第是作用在力学体系的第 个个质点上的主动力，质点上的主动力， 是第是第 个质点的个质点的位矢。在完整系中，广义力位矢。在完整系中，广义

13、力 与广义与广义坐标相对应，它们的个数都等于自由度数。坐标相对应，它们的个数都等于自由度数。广义力还可以写成：广义力还可以写成：将坐标变换式代入上式，计算后求得。将坐标变换式代入上式，计算后求得。按虚功求：按虚功求：虚功原理用广义力与广义位移表示为：虚功原理用广义力与广义位移表示为： 故i iFiiriQSqzFqyFqxFQiiziiyiniix2 , 11qQWs1SqWQ2 , 1 仅给广义坐标中之一仅给广义坐标中之一 的变化，其余的变化，其余 个独立坐标不变，这样可求得所有主动力个独立坐标不变，这样可求得所有主动力在相应在相应 上所做元功之和。上所做元功之和。令令 则则 同理，可求出同

14、理，可求出 ，或在约束条件许可下，或在约束条件许可下， 彼此独立。当彼此独立。当 都不为零时，都不为零时， 前的系数即为各广义前的系数即为各广义力。力。q1Sq0, 021saqqqq而111qWQsaQQQ,2q,21sqqqq如图所示起升机构，已知马达转矩如图所示起升机构，已知马达转矩M Mmotormotor, ,减速器传减速器传动比动比i i, ,马达转角马达转角 ，卷筒半径，卷筒半径R R，滑轮组倍率，滑轮组倍率a,a,求动力学方程求动力学方程iiiQqLqLdtd拉氏方程拉氏方程 2222221122112211222222JJJJTmvmx1q11221vRiia， 设广义坐标

15、则: 起升机构起升机构1iaRmgVxxmJJL)()(112111111LVTLmotorRMmgai2122121RJJmiia（）广义力得到运动方程:aiRmgL1建立如图所示的坐标系吊重的坐标为 小车的坐标为sin( ),cos( )mrxll ,0Mrx 取广义坐标 为x(t)和(t)( )( )tqx t非保守广义力用 描述QqDFqDFFQx0则:广义惯性力拉格朗日方程为:*0QQ、 其中D是由于摩擦而消耗的能量,若忽略掉摩擦0QF*dLLQdtqq 计算出拉格朗日方程的各项具体内容0LTVdLLFdtqq系统移动时的动能：1122mmMMTmrrM rr 根据m 、M的坐标计算

16、得：cos( ) , sin( )mrxll ,0Mrx 系统的势能：cos( )Vmgl 得拉格朗日函数为：22211()cos( )cos( )22LMm xmlmlxmgl由拉格朗日方程得到下面微分方程组：因此可以得出结论，通过控制小车加速度及驱动力就可以实现对工作装置摆角的控制。 ()( )0Mm xmlF txlg建立如图所示的坐标系小车的坐标为吊重的坐标为 ,0,0 ;Mrx cos( )sin( ), sin( ),cos( )cos( )mrxlll 考虑小车变幅机构的综合运动，建立水平运动和回转运动相结合的动力学模型，吊重的摆角可以分解成两个方向的摆角，同样采用拉格朗日方程，

17、塔式起重机的动力学模型简图如图所示。设 塔机转动的角位移(rad)吊重摆线与xz平面的夹角 吊重摆角在xz平面上的投影 广义坐标为：x(t),(t) , (t) , (t)非保守广义力(即不包括重力)qDTFqDFFFFQxx0000 xFQT广义惯性力：*dLLQdtqq 得到拉格朗日方程为：LTVdLLQdtqq,0,0 ;Mrx cos( )sin( ), sin( ),cos( )cos( )mrxlll drrrdt0,0,0J是塔机的回转机构总转动惯量20111222mmMMTmrrMrrJ cos( )cos( )Vmgl 由拉格朗日方程经简化得到下面方程组：投影在xz平面上的角

18、与吊重的质量、小车的驱动力及加速度相关，同理可得与xz平面的夹角与塔机的回转力矩、小车的水平位移、吊重质量和小车质量及回转的角加速度有主要关系。 ()0 xMm xmlFlgx220()0JmxMxmlxTlgx设已知各构件质心速度设已知各构件质心速度 （包含平动与转（包含平动与转动）、惯量动）、惯量 （包含平动与转动惯量）。则（包含平动与转动惯量）。则系统动能为：系统动能为：ivim2,1()2121212iiiiisitiststiiists tistststs tTmvuuqmqqquumq qqqM q q 例如，二自由度系统有：例如，二自由度系统有：对三自由度系统有：对三自由度系统有

19、： 对任意多自由度系统运用拉格朗日方程法：对任意多自由度系统运用拉格朗日方程法：广义力广义力广义质量广义质量系统动能系统动能 2211 112 1 222 21(2)2TM qM qqM q 22211 122 233 312 1 213 1 323 2 31(222)2TM qM qM qM qqM qqM q q isiisuQFqiistiistuuMmqq,12sstts tTq M q,11()()()()22 rtr tst trs rst tr ttrtssstst ttrtt rrdTdddM qqM qM qM qdtqdtqdtdtMM qqqq ,11()()()()22

20、 rtr tst trs rst tr ttrtssstst ttrtt rrdTdddM qqM qM qM qdtqdtqdtdtMM qqqq ,12rtrtr tssMTq qqq (1,2)sssdTTQsdtqq,1()2strtsstttrtt rrsMMQM qq qqq 得运动方程：得运动方程： 带入拉式方程带入拉式方程： （2-20）221111122211 11221122112211122MMMMM qM qqq qqQqqqq 22121122222221211122212121122MMMMM qM qqq qqQqqqq 111222111212111211221

21、21221222212112222122111221122MMMMqqqqMMqQqqqqMMqQMMMMqqqq 以二自由度系统为例以二自由度系统为例：对三自由度系统有对三自由度系统有：133311122221121222233321112212312232313211223313233111222111 222111222MMMMMqqqqqMMMMMqqqqqqqqMMMMMqqqqq111332121132312231322212212132311323323121333312312 12 MMMMMqqqqqMMMMMq qq qq qqqqqqMMMMMqqqqq 11121311

22、2122232231323333 MMMqQMMMqQMMMqQ （2-22） 可以证明，系统动力学方程式可以证明，系统动力学方程式,1()2strtsstttrtt rrsMMQM qq qqq 与式与式,ssttstrtrtt rQM qD q q + trQMqD q q + TTTtrTFTm TqTm Tq q 完全一致完全一致.将将isiisuQFqiistiistuuMmqq中的广义力和广义质量代入运动方程式中的广义力和广义质量代入运动方程式,1()2strtsstttrtt rrsMMQM qq qqq 得：得：,1()()()2iiiiiiiiititritritit rit

23、 risstrstsrtuuuuuuuFmqmqqmqqqqqqqqqqq 22,()()iiiiiiitriitrt rit rirstsrtstruuuuuumq qmmq qqqqq qqqq q 22,2,11()()22 =()iiiiiiitriitrt rit risrtrstrtsiiitrt rirstuuuuuumq qmmq qqqqq qqqq quumq qq qq 上式右边第二项和第三项分别展开得：上式右边第二项和第三项分别展开得： 将式（将式（2-24），（），（2-25）代入（）代入（2-23）得运动方程式：）得运动方程式：（2-23）（2-24）（2-25）2,()()iiiiiititritit riiststrsuuuuumqmq qFqqqqqq (2-26a)或表为：或表为： ,sttstrrtstr tM qD q qQ （2-26b）得到与式（得到与式（2-5）完全一样的结果。）完全一样的结果。应用实例