252圆的对称性1234课时

1、25.2 25.2 圆的对称性圆的对称性(1) O O你能再举出一些吗你能再举出一些吗? ?你能讲出几种形成圆的方法？你能讲出几种形成圆的方法？1 1、在一个平面内，线段在一个平面内，线段OPOP绕它固定的一个端点绕它固定的一个端点O O旋转一周，旋转一周，则则 另一个端点另一个端点P P所形成的所形成的封闭曲线封闭曲线叫做圆叫做圆。固定的端点固定的端点O O叫做圆心，线段叫做圆心，线段OPOP叫做半径叫做半径。以点以点O O为圆心的圆，记作为圆心的圆，记作“O O”，读作，读作“圆圆O O”。一、圆的定义一、圆的定义问题问题1 1：图上各点到定点（圆心：图上各点到定点（圆心O O）的距离有什

2、么规律？）的距离有什么规律？问题问题2 2：到定点的距离等于定长的点又有什么特点？：到定点的距离等于定长的点又有什么特点？(1)(1)图上各点到定点（圆心图上各点到定点（圆心O O）的距离都等于定长（半径）的距离都等于定长（半径r r）(2)(2)到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上因此，我们可以得到圆的新定义：因此，我们可以得到圆的新定义：2 2、所有到定点所有到定点( (圆心圆心O O）的距离等于定长的距离等于定长（半（半径径r r）的点组成的图形的点组成的图形。思考：思考：平面上有一个圆，这个平面上的点，除了在圆上外，与圆还有几种位置关系？平面上有

3、一个圆，这个平面上的点，除了在圆上外，与圆还有几种位置关系？O OP PO OP PO OP P（1）点P在O O上上（2）点P在O O内内（3）点P在O O外外 OP=rOPrO O的半径为的半径为r r二、点与圆的位置关系二、点与圆的位置关系三三、圆的相关概念圆的相关概念1 1、圆上任意两点间的部分叫做、圆上任意两点间的部分叫做圆弧圆弧, ,简称简称弧弧。直径的两个端点将圆分成两条弧直径的两个端点将圆分成两条弧, ,每一条弧每一条弧都叫做都叫做半圆。半圆。2 2、连接圆上任意两点间的线段叫做、连接圆上任意两点间的线段叫做弦弦( (如弦如弦AB)AB)。3 3、经过圆心弦叫做、经过圆心弦叫做

4、直径直径( (如直径如直径AC)AC)。以以A A、B B两点为端点的弧，记作两点为端点的弧，记作ABAB, ,读作读作“弧弧ABAB”。小于半圆的弧叫做小于半圆的弧叫做劣弧劣弧, ,如记作如记作AB AB ( (用两个字母表示用两个字母表示) )。大于半圆的弧叫做大于半圆的弧叫做优弧优弧, ,如记作如记作ACB ACB ( (用三个字母表示用三个字母表示) )。A AB BC C同圆中：半径相等，直径等于半径的同圆中：半径相等，直径等于半径的2 2倍。倍。4 4、由弦及其所对弧组成的图形叫做、由弦及其所对弧组成的图形叫做弓形弓形。A AB BC C如图中弦如图中弦ABAB分别与分别与ABAB

5、及及ACBACB组成两个不同的弓形。组成两个不同的弓形。能够重合的两个圆叫做能够重合的两个圆叫做等圆等圆，等圆的半径相等。，等圆的半径相等。在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧等弧。C CD DB BA A例例1 1、已知，如图，、已知，如图，ABAB、CDCD为为O O的直径。求证：的直径。求证：ADCBADCB。小结： 1、圆的相关概念（旋转观点、集合观点）； 2、点与圆的位置关系； 3、与圆有关的概念。第一课时作业： 习题25.2第1题25.2 25.2 圆的对称性圆的对称性(2) O O圆是轴对称图形吗？圆是轴对称图形吗？如果是如果是, ,它的对

6、称轴是什么它的对称轴是什么? ?你能找到多少条对你能找到多少条对称轴？称轴？O O你是用什么方法解决上述问题的你是用什么方法解决上述问题的? ?圆是中心对称图形吗？圆是中心对称图形吗？如果是如果是, ,它的对称中心是什么它的对称中心是什么? ?你又是用什么方法解决这个你又是用什么方法解决这个问题的问题的? ?一、圆的对称性一、圆的对称性圆的对称性圆的对称性圆是轴对称图形圆是轴对称图形. .圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线, ,它有无它有无数条对称轴数条对称轴. .可利用折叠的方法即可解决上述问题可利用折叠的方法即可解决上述问题. .圆也是中心对称图形圆也是中

7、心对称图形. .它的对称中心就是圆心它的对称中心就是圆心. .用旋转的方法即可解决这个用旋转的方法即可解决这个问题问题. .求证：求证：AE=BEAE=BEOABCDE AC=BC,AC=BC, AD=BDAD=BD垂径定理垂径定理 ：垂直于弦的直径平分这条弦垂直于弦的直径平分这条弦, ,并且平分这条弦所对并且平分这条弦所对的两条弧。的两条弧。ABAB是是O O的一条弦，的一条弦，作直径作直径CD,CD,使使CDAB,CDAB,垂足为垂足为E E。二、垂径定理二、垂径定理ABAB是是O O的一条弦的一条弦, ,且且AE=BEAE=BE。过点过点E E作直径作直径CD.CD.OCDEAB垂径定理

8、的逆定理：垂径定理的逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦平分弦（不是直径）的直径垂直于弦, ,并且平并且平 分弦所对的两条弧。分弦所对的两条弧。探索思考探索思考 CD CDABAB AC=BC,AC=BC, AD=BDAD=BD 求证例例2 2、如图，、如图，O O的半径为的半径为5cm5cm，弦，弦ABAB为为6cm6cm，求圆心，求圆心O O到弦到弦ABAB的距离。的距离。OB BA AE E例例3 3、赵州桥建于、赵州桥建于14001400年前的隋朝，是我国石拱桥中的代表年前的隋朝，是我国石拱桥中的代表性桥梁性桥梁, ,桥的下部呈圆弧形桥的下部呈圆弧形, ,桥的跨度桥的跨度( (弧所

9、对的弦长弧所对的弦长) )为为37.4m, 37.4m, 拱高拱高( (弧的中点到弦的距离弧的中点到弦的距离) )为为7.2m7.2m，求桥所在圆的，求桥所在圆的半径。（结果精确到半径。（结果精确到0.1m0.1m）解得：解得：R27R279 9（m m）DBACR在在RtRtOADOAD中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得即即 R R2 2=18.7=18.72 2+ +（R R7.27.2）2 2赵州桥的主桥拱半径约为赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.27.9m.OAOA2 2=AD=AD2 2+OD+OD2 2,7.184.372121ABADO解：如图，过拱桥所在圆的圆心解：如图，过拱

10、桥所在圆的圆心O O作弦作弦ABAB的垂线的垂线, ,交交ABAB于点于点C,C,交弦交弦ABAB于点于点D D，则有，则有AB=37.4mAB=37.4m，CD=7.2mCD=7.2m，OD=OCOD=OCCD=RCD=R7.27.21 1、如图，在、如图，在O O中，中，ABAB、ACAC为互相垂直且相等的两为互相垂直且相等的两条弦，条弦，ODABODAB于于D D，OEACOEAC于于E E，求证四边形，求证四边形ADOEADOE是是正方形正方形DOABCE练习练习2 2、已知：如图，在以、已知：如图，在以O O为圆心的两个同心圆中，大为圆心的两个同心圆中，大圆的弦圆的弦ABAB交小圆于

11、交小圆于C C，D D两点。你认为两点。你认为ACAC和和BDBD有什么有什么关系？为什么？关系？为什么？.A AC CD DB BO OE E证明：过证明：过O O作作OEABOEAB，垂足为，垂足为E E， 则则AEAEBEBE，CECEDEDE。 AE AECECEBEBEDEDE 即即 ACACBDBD练习练习小结：第二课时作业 习题25.2第 题25.2 25.2 圆的对称性圆的对称性(3) O O如图如图, ,在下列五个条件中在下列五个条件中: :只要具备其中两个条件只要具备其中两个条件, ,就可推出其余三个结论就可推出其余三个结论. .CDCD是直径是直径, ,AE=BE,AE=

12、BE,CDAB,CDAB, AC=BC,AC=BC, AD=BD.AD=BD.ABCDOE条件条件结论结论命题命题垂直于弦的直径平分弦垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧并且平分弦所的两条弧.平分弦平分弦(不是直径不是直径)的直径垂直于弦的直径垂直于弦,并且平并且平 分弦所对的两条弧分弦所对的两条弧.平分弦所对的一条弧的直径平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦垂直平分弦,并且平分弦所对的并且平分弦所对的另一条弧另一条弧.弦的垂直平分线经过圆心弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧并且平分这条弦所对的两条弧. 垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心垂直于弦并且平分弦所对的

13、一条弧的直线经过圆心,并且并且平分弦和所对的另一条弧平分弦和所对的另一条弧.平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于弦垂直于弦,并且平分弦所对的另一条弧并且平分弦所对的另一条弧.平分弦所对的两条弧的直线经过圆心平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦并且垂直平分弦.CDCD是直径是直径, ,AM=BM,AM=BM,CDAB,CDAB, AC=BC,AC=BC, AD=BD.AD=BD.3、判断下列说法的正误、判断下列说法的正误 平分弧的直径必平分弧所对的弦平分弧的直径必平分弧所对的弦 平分弦的直径必垂直弦平分弦的直径必垂直弦 垂直于弦

14、的直径平分这条弦垂直于弦的直径平分这条弦 弦的垂直平分线是圆的直径弦的垂直平分线是圆的直径 平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦 在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦，必平分在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦，必平分此弦所对的弧此弦所对的弧 分别过弦的三等分点作弦的垂线，将弦所对的两条分别过弦的三等分点作弦的垂线，将弦所对的两条弧分别三等分弧分别三等分 练习练习非直径的弦非直径的弦1 1、在直径是、在直径是20cm20cm的的O O中，中， AOBAOB的度数是的度数是6060，那么弦，那么弦ABAB的弦心距是的弦心距是. . D A B O5 3cm3

15、3、弓形的弦长为、弓形的弦长为6cm6cm，弓形的高为，弓形的高为2cm2cm，则这弓形所在的，则这弓形所在的圆的半径为圆的半径为. . D C A B O4 4、已知、已知P P为为O O内一点，且内一点，且OP=2cmOP=2cm，如果，如果O O的半径是的半径是4cm4cm，那么，那么过过P P点的最短的弦等于点的最短的弦等于 。 E D C B A P O134cm2 5cm2 2、在半径为、在半径为3030的的OO中，弦中，弦AB=36AB=36，则，则O O到到ABAB的距离的距离是是= = ，OABOAB的余弦值的余弦值= = 。24mm24mm0.60.6 O OA AB BD

16、 D例例1 1、在直径为、在直径为650mm650mm的圆柱形油槽内装入一些的圆柱形油槽内装入一些油后，油面宽油后，油面宽AB = 600mmAB = 600mm，求油的最大深度，求油的最大深度. . BAOBAO ODCDC3 3、如图，、如图，CDCD为圆为圆O O的直径，弦的直径，弦ABAB交交CDCD于于E E，CEB=30CEB=30，DE=9DE=9，CE=3CE=3，求弦，求弦ABAB的长。的长。练习练习EDOCABF F例例2 2、如图、如图, ,某地有一圆弧形拱桥某地有一圆弧形拱桥, ,桥下水面宽为桥下水面宽为7.27.2米米, ,拱顶高出拱顶高出水面水面2.42.4米米.

17、.现有一艘宽现有一艘宽3 3米、船舱顶部为长方形并高出水面米、船舱顶部为长方形并高出水面2 2米米的货船要经过这里的货船要经过这里, ,此货船能顺利通过这座拱桥吗？此货船能顺利通过这座拱桥吗？如图如图, ,用用ABAB表示桥拱，矩形表示桥拱，矩形EFNMEFNM表示船的横截面。表示船的横截面。ABAB所在圆的圆所在圆的圆心为心为O O，半径为，半径为r r米米, ,经过圆心经过圆心O O作弦作弦ABAB的垂线的垂线ODOD，D D为垂足，与为垂足，与ABAB相交于点相交于点C C。根据垂径定理。根据垂径定理,D,D是是ABAB的中点，的中点，C C是是ABAB的中点，的中点，CDCD就是拱高。

18、就是拱高。例例2 2、如图、如图, ,某地有一圆弧形拱桥某地有一圆弧形拱桥, ,桥下水面宽为桥下水面宽为7.27.2米米, ,拱顶高出拱顶高出水面水面2.42.4米米. .现有一艘宽现有一艘宽3 3米、船舱顶部为长方形并高出水面米、船舱顶部为长方形并高出水面2 2米米的货船要经过这里的货船要经过这里, ,此货船能顺利通过这座拱桥吗？此货船能顺利通过这座拱桥吗？垂径定理的推论垂径定理的推论 若圆的两条弦互相平行若圆的两条弦互相平行,那么这两条弦所夹的弧相等吗？那么这两条弦所夹的弧相等吗？这两条弦在圆中位置有两种情况这两条弦在圆中位置有两种情况:OABCD1.两条弦在圆心的同侧两条弦在圆心的同侧O

19、ABCD2.两条弦在圆心的两侧两条弦在圆心的两侧垂径定理的推论垂径定理的推论圆的两条平行弦所夹的弧相等圆的两条平行弦所夹的弧相等.圆的对称性及特性圆的对称性及特性 圆是轴对称图形圆是轴对称图形, ,圆的对称轴是任意一条经过圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线圆心的直线, ,它有无数条对称轴它有无数条对称轴. .圆也是中心对称图形圆也是中心对称图形, ,它的对称中心就是圆心它的对称中心就是圆心. .用旋转的方法可以得到用旋转的方法可以得到: :一个圆绕着它的圆心旋转任意一一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度个角度, ,都能与原来的图形重合都能与原来的图形重合. .这是圆特有的一个性质这是圆特有的一个

20、性质: :圆的旋圆的旋转不变性转不变性O OA A第三课时作业小结：25.2 25.2 圆的对称性圆的对称性(4) O O圆心角圆心角圆心角圆心角顶点在圆心的角顶点在圆心的角( (如如AOB).AOB).如图如图, ,在在O O中中, ,分别作相等的圆心角分别作相等的圆心角AOBAOB和和AOB, AOB, 将其中将其中的一个角旋转一个角度的一个角旋转一个角度, ,使得使得OAOA和和OAOA重合重合. .你能发现那些等量关系你能发现那些等量关系? ?说一说你的理由说一说你的理由. .B BA AO OAABBAAD DB BA AO ODDBBAB=ABAB=AB AB=ABAB=ABOD=

21、ODOD=OD 如图如图, ,如果在两个如果在两个等圆等圆O O和和O O 中中, ,分别作相等的圆心角和分别作相等的圆心角和AOBAOB和和AOB,AOB,固定圆心固定圆心, ,将其中的一个旋转一个角度将其中的一个旋转一个角度, ,使得使得OAOA和和OAOA重合重合. .你又能发现那些等量关系你又能发现那些等量关系? ?说一说你的理由说一说你的理由. .AAD DB BA AO ODDBBO O AABBB BA AO OB BA AO O圆心角圆心角六、圆心角六、圆心角, , 弧弧, ,弦弦, ,弦心距之间的关系定弦心距之间的关系定理理 在同圆或等圆中在同圆或等圆中, ,相等的圆心角所对

22、的弧相等相等的圆心角所对的弧相等, ,所对所对的弦相等的弦相等, ,所对的弦的弦心距相等所对的弦的弦心距相等. .由由条条件件: :AOB=AOBAOB=AOBAB=ABAB=AB AB=ABAB=ABOD=ODOD=ODAAD DB BA AO ODDBB或或D DB BA AO O O OAAO ODDBBOO和和拓展与深化拓展与深化 在同圆或等圆中在同圆或等圆中, ,如果轮换下面四组条件如果轮换下面四组条件: : 两个圆心角两个圆心角, ,两条弧两条弧, ,两条弦两条弦, ,两条弦心距两条弦心距, ,你能得出什么结论你能得出什么结论? ?与同伴交流你的想法和理由与同伴交流你的想法和理由.

23、 .如由条件如由条件:AB=ABAB=ABAB=ABAB=AB OD=OD OD=ODAOB=AOBAOB=AOBAAD DB BA AO ODDBB或或D DB BA AO O O OAAO ODDBBOO和和推论推论 在同圆或等圆中在同圆或等圆中, ,如果如果两个圆心角两个圆心角, ,两条弧两条弧, ,两两条弦条弦, ,两条弦心距中两条弦心距中, ,有一组量相等有一组量相等, ,那么它们所对那么它们所对应的其余各组量都分别相等应的其余各组量都分别相等. .如由条件如由条件:AB=ABAB=AB AB=ABAB=AB OD=OD OD=ODAOB=AOBAOB=AOBAAD DB BA AO ODDBB或或D DB BA AO O O OAAO ODDBBOO和和 1 1、如图，、如图，A