241-1平面向量的数量积

1、1.平面向量的坐标表示平面向量的坐标表示2.平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算),(yx ),(2121yyxx ),(2121yyxx ( , ),ax y 11(,),axy 3.两个结论两个结论:复习回顾复习回顾),(1212yyxx AB a abab22(,).bxy x1=x2,且且y1=y2ab ),(11yxA),(22yxBx1y2x2y1=0a / bb = a4.向量共线定理向量共线定理:对于两个非零向量对于两个非零向量 和和 ,a b 称称AOB为向量为向量 与与 的夹角的夹角.a b 4. 向量的夹角的取值范围向量的夹角的取值范围:AOBa a b b 作作 ， ，

2、如图，如图.OAa OBb 5. 向量的垂直：向量的垂直：如果向量如果向量 与与 的夹角是的夹角是900,a b 记作记作 . a b a b 则称则称向量向量 与与 垂直垂直,b 5.向量的夹角向量的夹角: 0，180 说出下列两个向量说出下列两个向量 a 和和 b 的夹角的大小是多少？的夹角的大小是多少？ba( 1 )40O( 2)abab( 3) ab( 5 )ab60O(6)60Oba(4)注意：注意：a 和和 b为印刷体。为印刷体。=00=1400=900=600=1800=1200位移位移SOA1.问题情境问题情境FFS如果一个物体在力如果一个物体在力F 作用下产生位移作用下产生位

3、移S,表示力表示力F 的方向与位移的方向与位移S 的方向的的方向的夹角夹角。那么那么F所做的功为所做的功为:W=FScos 2.4.1-1平面向量的数量积平面向量的数量积如果一个物体在力如果一个物体在力F 作用下产生位移作用下产生位移S,表示力表示力F 的方向与位移的方向与位移S 的方向的的方向的夹角夹角。那么那么F所做的功为所做的功为:记作记作 a b，即即 a b= | a | | b |cos. 已知两个非零向量已知两个非零向量 a 和和 b,它们的夹角为它们的夹角为,我们把数量我们把数量| a | b |cos(或或内积内积)叫做向量叫做向量 a 与与 b 的的数量积数量积规定规定:0

4、 a=0.不能写不能写ab, 或或 a b,W=FScos2、数量积的定义、数量积的定义2、数量积的定义、数量积的定义记作记作 a b，即即 a b= | a | | b |cos. 已知两个非零向量已知两个非零向量 a 和和 b,它们的夹角为它们的夹角为,我们把数量我们把数量| a | b |cos(或或内积内积)叫做向量叫做向量 a 与与 b 的的数量积数量积规定规定:0 a=0.不能写不能写ab, 或或 a b,思考思考：在平面向量的数量积定义中，：在平面向量的数量积定义中，它与两个向量的加减法有什么本质区别？它与两个向量的加减法有什么本质区别？向量的加减的结果还是向量的加减的结果还是向

5、量向量，但向量的数量积结果是一个但向量的数量积结果是一个数量数量(实数实数).这个这个数量的大小数量的大小与两个向量的与两个向量的长度长度及其及其夹角夹角有关有关.例例1已知已知|a |=5，|b |=4，a与与b的夹角的夹角1200，求求a b.120cos45 )21(45 10 解：解： a b = | a | | b |cos a b= | a | | b |cos. 3、向量的、向量的“投影投影” ：定义：定义：OAOAB AO投投影影是是向向量量吗吗 ?投影是一个数量投影是一个数量(实数实数), BB(1)当当为锐角时，为锐角时，它是正值它是正值;(2)当当为钝角时为钝角时, 它是

6、负值它是负值.B1则由锐角三角函数得则由锐角三角函数得:OB1=bcosbcos(3)当当为直角时为直角时, 值为零值为零.(4)=00时时 bcos=b(5)=1800时时bcos| b |a b a b a b a b a b 叫做向量叫做向量b在向量在向量a上的上的投影投影.B13、向量的、向量的“投影投影” ：定义：定义：OAOAB AO投投影影是是向向量量吗吗 ?投影是一个数值投影是一个数值(实数实数), BBB1则由锐角三角函数得则由锐角三角函数得:OB1=bcosbcosb a a b a b 叫做向量叫做向量b在向量在向量a上的上的投影投影.B14、向量数量积的几何意义、向量数

7、量积的几何意义b 在在 a 的方向上的的方向上的投影投影bcos a 的长度的长度a a b= | a | | b |cos. 数量积数量积 a b 等于等于与与的积。的积。5、向量数量积的性质、向量数量积的性质设设a, b都是非零向量都是非零向量,e是与是与b的方向相同的单位向量的方向相同的单位向量,a b e 是是a与与e的夹角，则的夹角，则a b =abcos(1) e a =|e |a |cos =|a |cos|a | e |cos =|a |cose a = a e =acosa e = (2)aba b =0abab(3)当当a与与b同向时，同向时，a b =当当a与与b异向时，

8、异向时， a b =重要重要! a ba b cos设设a, b都是非零向量都是非零向量,ab= abcose是与是与b的方向相同的单位向量的方向相同的单位向量,=| a | a |cos0a b e 是是a与与e的夹角，则的夹角，则a b =abcos| |cosaba |cosb a ba (7)5、向量数量积的性质、向量数量积的性质 a b= abcos| |(4)a a = a 2=| a |2(6) a 2=| a |2(5)夹角公式夹角公式(重要重要)求模公式求模公式(重要重要)投影公式投影公式(重要重要)6.向量数量积的作用向量数量积的作用:10.判定两个向量是否垂直判定两个向量

9、是否垂直20.可以求向量长度问题可以求向量长度问题30.可以求向量的夹角问题可以求向量的夹角问题|3,|4,6 (1);ababab 例例 2 2、 已已 知知求求与与 的的角角夹夹(2)ab 在在 方方向向上上的的投投影影解解(1):a ba b cos由夹角公式由夹角公式:63 4 12 0120 . 000 ,180 (2)ab 在在 方方向向上上的的投投影影 | a | |c co os sa bb 64 3.2 练习练习1若若a =0，则对任一向量，则对任一向量b ，有，有a b=02若若a 0，则对任一非零向量，则对任一非零向量b, a b0.3若若a 0，a b =0，则，则b=

10、04若若a b=0，则，则a , b中至少有一个为中至少有一个为05若若a0，a b= b c，则，则a=c6若若a b = a c ,则则bc,当且仅当当且仅当a= 0 时成立时成立.7对任意向量对任意向量 a 有有22|aa 总结提炼总结提炼（1）本节课主要学习了平面向量数量积的定义、）本节课主要学习了平面向量数量积的定义、 几何意义及其性质几何意义及其性质（2）向量的数量积的物理模型是力做功）向量的数量积的物理模型是力做功（3） a b的结果是一个实数（标量）的结果是一个实数（标量）（4）利用）利用a b =abcos ，可以求两向量，可以求两向量 的夹角，尤其是判定垂直的夹角，尤其是判定垂直（5）两向量夹角的范围是）两向量夹角的范围是00,1800（6）七条基本性