历年高考抛物线真题详解理科

1、学习好资料历年高考抛物线真题详解理科1.12017课标1,理10】已知F为抛物线C:y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线li,12,直线11与C交于A、B两点，直线h与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为A.16B.14C.12D.102.【2016年高考四川理数】设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线/=2p.t(p0)上任意一点，M是线段PF上的点，且=2，则直线OM的斜率的最大值为()(D)123.【2016年高考四川理数】设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y=2pXp0)上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM卜2|MF1则直线OM的斜率的最大值为()322(A)

2、(B)2(C)(D)13324.12016高考新课标1卷】以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的准线于D、E两点.已知|AB|=40)相切于点M,且M为线段AB的中点.若这样的直线l恰有4条,则r的取值范围是()(A)(1,3)(B)(1,4)(C)(2,3)(D)(2,4)6.12015高考浙江， 理5】 如图， 设抛物线y2=4x的焦点为F,不经过焦点的直线上有三个不同的点A,B,C,其中点A,B在抛物线上，点C在y轴上，则ABCF与&ACF的面积之比是()欢迎下载2V2(B)-(C)32学习好资料延长线交y轴于点N。若M为FN的中点，则|FN|=8.12016高考天津

3、理数】设抛物线(x=2pt,(t为参数，p0)的焦点为F,准线为l.过y=2pt抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B.设Cp,0),AF与BC相交于点E.若|CF|=2|AF|,2且AACE的面积为372,则p的值为.10.12017北京，理18】已知抛物线C:y2=2px过点P(1,1).过点(0,工)作直线l与2抛物线C交于不同的两点M,N,过点M作x轴的垂线分别与直线OP,ON交于点A,B,其中O为原点.(I)求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；(n)求证：A为线段BM的中点.欢迎下载ABF-1.AF-1B.2BF|-1AF-1BF+1C.AF+1D.2BF|+1|AFp+17.【

4、20172017 课标 II,II,理 1616】已知F是抛物线C：y2=8x 的焦点,M是C上一点，FM的学习好资料11.12016高考江苏卷】(本小题满分10分)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l:x_y_2=0,抛物线 C:y2=2px(p0)(1)若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；(2)已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q.求证：线段PQ的中点坐标为(2p,p).;求p的取值范围.12.12017浙江，21(本题满分15分)如图，已知抛物线X2=y，点A(1)，B(39)，242413抛物线上的点P(x,y)(-1x0)上任意一点，M是线段PF上的点，且|

5、严必=2廿日，则直线OM的斜率的最大值为()0）上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM卜2|MF|,则直线OM的斜率的最大值为（）322(A)(B)2(C)(D)1332【答案】C【解析】2P,2pt),M(x,y)(不妨设t0),则FP=2pt5,2ptI.由试题分析：设2P2pt试题分析：设P（2pr.2p,.M（工,y）（不妨设，0）,则2pr-,lpt.由考点：抛物线的简单的几何性质，基本不等式的应用.考点：抛物线的简单的几何性质，基本不等式的应用.【名师点睛】本题考查抛物线的性质，结合题意要求，利用抛物线的参数方程表示出抛物线上点P的坐标，利用向量法求出点M的坐标，是我们求点坐标的

6、常用方法，由于要求最大值，因此我们把k斜率用参数t表示出后，可根据表达式形式选用函数，或不等式的知识求出最值，本题采用基本不等式求出最值.4.12016高考新课标1卷】 以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点， 交C的准线于D、E两点.已知|AB|=40)相切于点M,且M为线段AB的中点.若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是()(A)(1,3)(B)(1,4)(C)(2,3)(D)(2,4)【答案】D【解析】显然当直线l的斜率不存在时，必有两条直线满足题设.当直线l的斜率存在时，设斜率为k.y2=4为设 A(xy1),B(X2,y2),“#X2,M(x,y),2/，相减倚丫2=4x2V

7、1V2%一V2(y1+y2)(y1一 y2)=4(x1-x2).由于 x1#x2，所以=2,即k%2.圆心为2Ky一0C(5,0),由CM_LAB得k=1,kyo=5x,所以 2=5xo,x0=3,即点M必xo-5在直线x=3上.将x=3代入y2=4乂得丫2=12,2，3y00)上，所以(%5)+y0=r,r=y0+44(由于斜率不存在，故y0#0,所以不取等号)，所以.24y0+416j2r0）的焦点为F,准线为l.过y=2pt抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B设Cp,0）,AF与BC相交于点E.若|CF|=2|AF|,2且少CE的面积为3亚,则p的值为.【答案】6【解析】学习好资料欢迎下载

8、学习好资料欢迎下载试题分析：抛物线的普通方程为 y2=2px，F(-p,0),|CF|=，p_e=3p,又222CF|=2|AF|,则|AF|=31,3一3p,由抛物线的定义得AB=3p,所以212XA=p，则IyA1=J2p，由CFAB得曳=吃，即氏=1=2,所以SACEF=2SACEA=6J2,匚FEAEAABEAAFSACF=SAEC+S#FE=90,所以1x3pM5p=9n,，p=76.考点：抛物线定义【名师点睛】1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理.2.若P(X0,y)为抛物线y2=2px(p0)上一点，由定义易得|PF|=%+p；若过焦点的弦AB的端

9、点坐标为A(xny)，B(X2,y2),则弦长为|AB|=XI+X2+p,x1+x?可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到.9.12016高考浙江理数】若抛物线y2=4x上的点M到焦点的距离为10,则M到y轴的距离是.试题分析：xM7=10=xM=9考点：抛物线的定义.【思路点睛】当题目中出现抛物线上的点到焦点的距离时，一般会想到转化为抛物线上的点到准线的距离.解答本题时转化为抛物线上的点到准线的距离，进而可得点到评由的距离.1 技巧点拨】解决直线与园的综合问题时，一方面，要注意运用解析几何的基本思想方法(即几何问题代数化).把它转化

10、为代数问题。另一方面，由于直线与圆和平面几何踪系得非常紧密，因此,准确地作出图形,并充分挖掘几何图形中所隐含的条件 F 利用几何失职使问题较为简捷地得到解决10.12017北京，理18】已知抛物线C:y2=2px过点P(1,1).过点(0,工)作直线l与2抛物线C交于不同的两点M,N,过点M作x轴的垂线分别与直线OP,ON交于点A,B,其中O为原点.（I）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程;（n）求证：A为线段BM的中点.11【答案】（I）万程为y2=x,抛物线C的焦点坐标为（一，0）,傕线万程为X=.（n）44详见解析.【解析】试题分析：（I）代入点P求得抛物线的方程，根据方程表示焦

11、点坐标和准线方程；（n）1设直线l的万程为y=kx+-（k#0）,与抛物线方程联立，得到根与系数的关系，直线ON的方程为y=x,联立求得点B的坐标（。生），证明火+2Xi=0.X2X2X21试题解析：解：（I）由抛物线C:y2=2px过点P（1,1）,得p=.2所以抛物线C的方程为y2=x.抛物线C的焦点坐标为（1,0）,准线方程为x=-.4431）由题意，谀直线的方程为值 J0/0）与抛物线 C 的交点为”居 3 兀 M 七,5j=XI_27得*好上，+（42一）靛-1=0一工贝I再十三马三口壶，贝|占十三宗 J2因为点尸的生标为（b1）,P 斤以直线 0 中的方程为点 Y 的坐标为区。直线

12、丫的方程为 j=x，卓s的坐标为（不心）*工-4A学习好资料欢迎下载因为所以yy2y1=2x1.*2故A为线段BM的中点.【考点】1.抛物线方程；2.直线与抛物线的位置关系【名师点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系，考查了转换与化归能力，当看到题目中出现直线与圆锥曲线时，不需要特殊技巧，只要联立直线与圆锥曲线的方程，借助根与系数关系，找准题设条件中突显的或隐含的等量关系，把这种关系“翻译”出来，有时不一定要把结果及时求出来，可能需要整体代换到后面的计算中去，从而减少计算量11.12016高考江苏卷】(本小题满分10分)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l:xy2=0,抛物线 C:y2=

13、2px(p0)(1)若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；(2)已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q.求证：线段PQ的中点坐标为(2-p,-p).；求p的取值范围.(WI22KI学习好资料欢迎下载八11、(kx1，一)x2(kx2，一)x1-2x1x2v2Vloyy2y2yi-2x1x222X2X2X2c、1，、(2k-2)x1x2(x2x1)x2(2k-2)x2=。,学习好资料欢迎下载【答案】y2=8x(2)详见解析，(0-)，3【解析】试题分析；(I)先确定抛物焦点力再将点代入直线方程(2)利用抛物线点之间关系逋亍化简，结合中点坐标公式求证，利的与抛粉线位鼠关系确定静量关

14、系=A=V-4(4p;-4p)0,解出/的取值范围。试颍解析：解:抛犍耙 H 2 严 80)的焦点为自由点 1(0,化简得p+2bA0.方程(*)的两根为yi2=pp2+2pb,从而y0=y2=-p.2因为 M(x0,y0)在直线1上，所以 x=2-p.因此，线段PQ的中点坐标为(2-p,-p).由=2pxy=-xb消去x得 y2+2py-2pb=0(*)学习好资料因为M(2_p,_p).在直线y=_x+b上所以_p=-(2p)+b,即b=2-2p.4由知p+2b0,于是p+2(2-2p)0,所以p_.3因此网取值范围为(0,4).3考点：直线与抛物线位置关系【名师点睛】在利用代数法解决范围问

15、题时常从以下五个方面考虑:利用判别式来构造不等关系F从而确定参数的取值范围J12.12017浙江，21(本题满分15分)如图，已知抛物线x2=y，点A(11)，B(g?),242413抛物线上的点P(xy)(1x3).过点B作直线AP的垂线，垂足为Q.22(n)求|PA|，|PQ|的最大值.【答案】(I)(-1,1)；(n)2716试题分析：(I)由两点求斜率公式可得AP的斜率为x-,由-1cx,得AP斜率222的取值范围；(n)联立直线AP与BQ的方程，得Q的横坐标，进而表达|PA|与|PQ|的长度，通过函数f(k)=(k1)(k+1)3求解|PA|，|PQ|的最大值.(I)求直线AP斜率的

16、取值范围;欢迎下载试题解析:学习好资料欢迎下载21X(I)设直线AP的斜率为k,则卜=4=x_212x2-:二x:二一，直线AP斜率的取值范围是(-1,1).(n)联立直线AP与BQ的方程,1.1ckx-y-k=0,2493-xky-k-0,42解得点Q的横坐标是2-k24k3xQ二2，2(k1)因为|PA=J+k2(x+1)=J1+k2(k+1)22|PQ|=F1+k2(xQx)=(kk1)，所以|PAIPQ=_(k_1)(k+1)3k11令 f(k)=(k-1)(k+1)3,因为 f(k)=-(4k-2)(k+1)2，所以f(k)在区间(1,一)上单倜2递增，(1,1)上单调递减，因此当k

17、=1时，|PA|，|PQ|取得最大值2.2216【考点】直线与图锥曲线的位凿关系【名师点睛】本即主要考查直线方程、直线与抛物线的位置关系等基础如识，同时考查解析几何的基本思想方法和运篁求解能力，通过表达 I 户，I 与 IPQ的长度，通过函勃广仁)三-(i-lXi+D3求解 I 尸山尸 0的最大值。13.12016高考新课标3理数】已知抛物线C：y2=2x 的焦点为F,平行于x轴的两条直线l1,l2分别交C于A,B两点，交C的准线于P,Q两点.(I)若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明ARFQ;(II)若APQF的面积是MBF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程由题设可得11b-alx1=b,

18、所以x1=0(舍去)，x1=1.222设满足条件的AB的中点为E(x,y).当AB与x轴不垂直时，由kAB=kDE可得一L=-y(x#1).abx-1而-=y,所以y2=x1(x*1).2学习好资料欢迎下载【答案】(I)见解析；(n)y2=x_1.【解析】试题分析：(I)设出与x轴垂直的两条直线，然后得出A,B,P,Q,R的坐标，然后通过证明直线AR与直线FQ的斜率相等即可证明结果了；(n)设直线l与x轴的交点坐标D(x1,0),利用面积可求得X1,设出AB的中点E(x,y),根据AB与x轴是否垂直分两种情况结合kAB=kDE求解.试题解析：由题设F(L。).设l1：y=al2:y=b,则ab

19、0,且222ab1-11abA(0),B(b),P(-a),Q(-b),R(-).222222记过A,B两点的直线为l,则l的方程为2x(a+b)y+ab=03分(I)由于F在线段AB上，故1+ab=0.记AR的斜率为k1,FQ的斜率为a-ba-b1-abk2,贝Uk=2=2=-b=k2,1a2a2-abaa所以AR/FQ5分(n)设l与x轴的交点为D(x1,0),则S.ABF1I=|b-a|FD|=,S.PQF学习好资料当AB与x轴垂直时，E与D重合，所以，所求轨迹方程为y2=x-1.12分考点：1、抛物线定义与几何性质；2、直线与抛物线位置关系；3、轨迹求法.方法U至内(1)解析几何中平行

20、问题的证明主要是通过证明两条直线的斜率相等或转化为利用向量证明J求轨迹的方法在高考中最常考的是直接法与代入法(相关点；芸),利用代入法求解时必须找准主动点与从动点。Jf14.12015高考新课标1,理20在直角坐标系xoy中，曲线C:y=与直线+“(&40)交与M,N两点，(I)当k=0时，分别求C在点M和N处的切线方程；(n)y轴上是否存在点巳使彳导当k变动时，总有/OPM=/OPN?说明理由.【答案】(I)4口内一,一口二。或寸骁工+j+U=0(n)存在【解析】试题分析：(I)先求出M,N的坐标，再利用导数求出M,N.(II)先作出判定，再利用设而不求思想即将F二人:+口代入曲线C的方程整理成关于X的一元二次方程，设出M,N的坐标和P点坐标，利用设而不求思想