合情推理与演绎推理学生版

1、璃船SZCREEDUCHTQnI I思考教育辅导讲义学员姓名：学科教师：房平年级：高二辅导科目：数学授课日期时间主题合情推理与演绎推理学习目标1.1.了解推理的结构及合情推理的定义.2.2.了解归纳推理的定义与特点，掌握归纳推理的一般步骤，能利用归纳推理解决问题.3.3.了解类比推理的定义与特点，掌握类比推理的一般步骤，能利用类比推理解决简单的问题.4.4.理解演绎推理的含义.5.5.掌握演绎推理的模式，会利用三段论进行简单的推理.教学内容2 2. .1 1合情推理与演绎推理2.2.1.11.1合情推理基础初探整理1推理与合情推理1.推理的定义根据一个或几个已知的事实（或假设）得出一个这种思维

2、力式叫做推理.2.推理的结构推理一般由两部分组成，一部分是已知的事实（或假设），叫做;一部分是由已知推出的判断，叫做.3.推理的分类推理一般分为推理与推理.4.合情推理前提为真时，结论为真的推理，叫做合情推理.5.可能第1页共22页d1i聘辅I与匚口REEREE口UCZFITUCZFIT口H H1.如图2-1-1所示，由若干个点组成形如三角形的图形，每条边（包括两个端点）有n（n1,nCN+）个点，每个图形总的点数记为an,则a6=an=（n1,nCN+）.o品0GOOOooooooooooooooooooooon=2FI=3FI=4ra=5图2-1-1整理2归纳推理与类比推理1.归纳推理定义

3、根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理，叫做（简称）.（2）归纳推理的一般步骤通过观察个别情况发现某些相同性质；从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题（猜想）.2 .类比推理（1）定义：根据之间具有某些类似（或一致）性，推测其中一类事物具有与另一类事物类似（或相同）的性质的推理，叫做（简称）.它属于合情推理.（2）类比推理的一般步骤找出两类事物之间的相似性或一致性；用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）.1 .判断（正确的打”一，错误的打X”）（1）统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体，这种估计属于类比推理.

4、（）（2）类比推理得到的结论可以作为定理应用.（）（3）归纳推理是由个别到一般的推理.（）2 .平面内平行于同一直线的两直线平行，由此类比我们可以得到（）A.空间中平行于同一直线的两直线平行B.空间中平行于同一平面的两直线平行第2页共22页I I部与匚口REEREE口U U匚RTRT口门C.空间中平行于同一直线的两平面平行D.空间中平行于同一平面的两平面平行题型一：数、式中的归纳推理例(1)已知f(x)=；jx,x0,若fl(x)=f(x),fn+1(x)=f(fn(x),0N N,则f2017(X)的表达1十x式为.(2)观察下列等式：(1+1)=2X1,(2+1)(242)=22X1X3,

5、(3+1)(3+2)(3+3)=23X1X3X5,照此规律，第n个等式可为.一，x(3)已知f(x)=-一，设f1(x)=f(x),fn(x)=fn1(fn1(x)(n1,且nCN+),则f3(x)的表达式为1x、-12?猜想fn(x)(nCN+)的表达式为.进行数、式中的归纳推理的一般规律2.已知等式或不等式进行归纳推理的方法(1)要特别注意所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律;(2)要特别注意所给几个等式(或不等式)中结构形式的特征；提炼出等式(或不等式)的综合特点；(4)运用归纳推理得出一般结论.2,数列中的归纳推理在数列问题中，常常用到归纳推理猜测数列的通项公式或前n项

6、和.(1)通过已知条件求出数列的前几项或前n项和；(2)根据数列中的前几项或前n项和与对应序号之间的关系求解；(3)运用归纳推理写出数列的通项公式或前n项和公式.再练一题第3页共22页SZQREEDUCRTSZQREEDUCRT口门2an(1)已知数列an中，a1=1,an+1=(aCN+),则可归纳猜想an的通项公式为()2十an题型二：几个图形中的归纳推理(1)黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图2-1-2的规律拼成若干个图案，则第n个图案中有黑色地面砖的块数是图2-1-2(2)根据图2-1-3中线段的排列规则，试猜想第8个图形中线段的条数为归纳推理在图形中的应用策略通过一组平面或空间图形的

7、变化规律，研究其一般性结论，通常需形状问题数字化，展现数学之间的规律、特征，然后进行归纳推理.解答该类问题的一般策略是:第4页共22页A.2an=一nB.2ann+1C.D.anE22+122+2已知32)的数列an为等差数列.名师EI广/1把演绎推理写成“三段论”的一般方法：(1月“三段论”写推理过程时，关键是明确大、小前提，三段论中大前提提供了一个一般性原理，小前提提供了一种特殊情况，两个命题结合起来，揭示一般性原理与特殊情况的内在联系.(2/寻找大前提时，要保证推理的正确性，可以寻找一个使结论成立的充分条件作为大前提.再练一题1.将下列演绎推理写成三段论的形式.(1)平行四边形的对角线互

8、相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分;等腰三角形的两底角相等，/A,/B是等腰三角形的两底角，则/A=ZB.题型二：演绎推理的综合应用如图2-1-12所示，D,E,F分别是BC,CA,AB边上的点，/BFD=/A,DE/BA,求证：DE=AF.写出“三段论”形式的演绎推理.第10页共22页SZQREEDUCRTSZQREEDUCRT口门图2-1-12名师,1 .用土段论”证明命题的步骤(1)理清证明命题的一般思路；(2)找出每一个结论得出的原因；(3)把每个结论的推出过程用三段论”表示出来.2 .几何证明问题中，每一步都包含着一般性原理，都可以分析出大前提和小前提，将一般性原理应

9、用于特殊情况，就能得出相应结论.再练一题3.证明：如果梯形的两腰和一底相等，那么它的对角线必平分另一底上的两个角.探究共研型利用完全归纳推理证明问题探究1演绎推理的结论一定正确吗?【提示】演绎推理的结论不会超出前提所界定的范围，所以在演绎推理中，只要前提和推理形式正确，其结论一定正确.探究2利用完全归纳推理证明方程ax2+2xa=0有实根，a的值应分哪几种情况？第11页共22页I I喇SZQREEDUCHTSZQREEDUCHT口门【提示】分a=0和a*0两种情况.试证明函数f(x)=ln(x+行臼)的定义域为R,R,并判断其奇偶性.【精彩点拨】只须对x0,x=0,x0时，x+yx2+10显然

10、成立;当x=0时，x+gx+1=i0成立；当x0时，x2=|x|=x,所以x+也2+1x+(x)=0.因此对xR,R,都有x+0,即函数的定义域为R R.又因为f(x)=ln(x+Jxf+1)=ln(x2+1x)1n1n也2正士jfW+Nx)：x2+1+x=Iny2+一二1n(x2+1+x)=f(x).故f(x)是奇函数.1 .完全归纳推理不同于归纳推理，后者仅仅说明了几种特殊情况，它不能说明结论的正确性，但完全归纳推理则把所有情况都作了证明，因此结论一定是正确的.2 .在利用完全归纳推理证明问题时，要对证明的对象进行合理的分类，且必须把所有情况都考虑在内.再练一题3.求证：nCN,N,当10

11、n04时，f(n)=(2n+7)3n+9能被36整除.达标检测2.1.12.1.11.我们把1,4,9,16,25,这些数称做正方形数，这是因为个数等于这些数目的点可以分别排成第12页共22页第13页共22页一个正方形（如图2-1-5）.则第n个正方形数是（A.n(n1)2B.D.n(n+1)2(n+1)22.如图2-1-6所示，着色的三角形的个数依次构成数列an的前4项,通项公式为（）则这个数列的一个A.an=3n1C.an=3n2n图2-1-6B.an=3nD.an=3n1+2n33.在平面上， 若两个正三角形的边长的比为1:2,则它们的面积比为空间中， 若两个正四面体的棱长的比为1:2,

12、则它们的体积比为1：4,类似地，在4 .观察下列等式:1=1,2+3+4=9,3+4+5+6+7=25,4+5+6+7+8+9+10=49,照此规律，第五个等式应为5 .已知在数列an中，a113an=2an+1=an+3.SZQREEDUCHTSZQREEDUCHTSZGREEDUCRTSZGREEDUCRT口门(1)求82,as,a4,a5的值;(2)猜想an.2.1.21 .下面几种推理过程是演绎推理的是（）A.两条直线平行，同旁内角互补，如果/A与/B是两条平行直线的同旁内角，则/A+/B=冗B.某校高三（1）班有55人，（2）班有54人，（3）班有52人，由此得出高三所有班级的人数都

13、超过50人C.由平面三角形的性质，推测出空间四面体的性质一11D.在数列an中，a1=1,an=2,n1anZjmZ）,通过计算a2,as,a4猜想出an的通项公式2 .用三段论证明命题：”任何实数的平方大于0,因为a是实数，所以a20，你认为这个推理（）A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.是正确的3 .函数y=2x+5的图象是一条直线，用三段论表示为：大前提：小前提：_结论：.4 .如图2-1-13所示，因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB=CD,BC=AD.图2-1-13又因为ABC和4CDA的三边对应相等，所以ABCACDA.上述推理的两个步骤中分别省略了?.第14页共2

14、2页璃船EEDREEDUCRTanEEDREEDUCRTan5 .用三段论的形式写出下列演绎推理.矩形的对角线相等，正方形是矩形，所以正方形的对角线相等;(2)y=x2(xCR R)是偶函数.我的总结锦后巩固学业分层测评一、选择题1.用火柴棒摆“金鱼”，如图2-1-7所示：图2-1-7按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为()A.6n2B,8n-2C.6n+2D.8n+22.数列一3,7,11,15,的通项公式可能是()A.an=4n7B.an=(1)n(4n+1)C.an=(1)n(4n1)D.an=(1)n1(4n1)第15页共22页鹏能SZGREEDUCRTSZGREEDUC

15、RT3.定义A*B,B*C,C*D,D*B依次对应下列4个图形:1X9+2=11,12X9+3=111,123X9+4=1111,1234X9+5=11111,12345X9+6=111111,猜测123456X9+7等于(A.1111110第16页共22页那么下列4个图形中,可以表示A*D,A*C的分别是（A.，(2)B.(1),(3)C.(2),(4)D.(1),(4)4.A.F列推理正确的是()把a(b+c)与loga(x+y)类比,则loga(x+y)=logax+logayB.C.把a(b+c)与sin(x+y)类比，则sin(x+y)=sinx+siny把(ab)n与(x+y)n类

16、比，则(x+y)n=xn+ynD.把(a+b)+c与(xy)z类比，则(xy)z=x(yz)5.给出下列等式:B.1111111图2-1-8(1n n璃箱ISEDREEDUCRTanISEDREEDUCRTanC.1111112D.1111113二、填空题6 .已知2+|=243,3+|=3$，p4=4A/5,若41=8d(a,t均为正实数)，类比以上等式，可推测a,t的值，则a+t=.7.设n为正整数,f(n)=1+；+1+34计算得f(2)=3,f(4)2,f(8)5,f(16)3,观察231122上述结果，可推测一般的结论为.【导学号：054100418 .对于命题“如果O是线段AB上一

17、点，则|OB|oA+|OA|oB=0，将它类比到平面的情形是：若O是4ABC内一点，有&OBCOA+SAOCAOB+&OBAOC=0,将它类比到空间的情形应为：若O是四面体ABCD内一点，则有三、解答题9.平面中的三角形和空间中的四面体有很多相类似的性质，例如在三角形中：(1)三角形两边之和大于第三边.4、一(2)二角形的面积S=X底X图.一一一一1(3)三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的2.请类比上述性质，写出空间中四面体的相关结论.10.某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图2-1-10(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，

18、小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形.第17页共22页|喇SZGREEDUCRTQnSZGREEDUCRTQn图2-1-10(1)求出f(5);(2)利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出f(n+1)与f(n)的关系式，并根据你得到的关系式求f(n)的表达式.能力提升1 .观察下列各式：21=15,22+3+4=3,-_23+4+5+6+7=52,一_一一一一24+5+6+7+8+9+10=7,可以得出的一般结论是()2A.n+(n+1)+(n+2)+(3n2)=n一2B.n+(n+1)+(n+2)+-+(3n2)=(2n1)

19、22C.n+(n+1)+(n+2)+(3n1)=n5D.n+(n+1)+(n+2)+-+(3n1)=(2n1)22.已知x0,由不等式x+：23-4-2X4-2XX-X-2 2立彳4-2X4-2X+X-X-2 2+X-X-2 2- -4-2X4-2X+X X2 2-1 1丁X XX X第18页共22页nini鸿辅_1_1 匚口1:!1:! 2 2口1_11_1匚1=11=1下口口以得出推广结论：x+an+1(nCN+),则a=()x2A.2nB.nC.3nD.nn3 .在RtABC中，/C=90,AC=b,BC=a,则AABC的外接圆半径为r=岑号,将此结论类比到空间,得到相类似的结论为：.4

20、 .如图2-1-11所示，为m行m+1列的士兵方阵(mCN+,mi2).图2-1-11写出一个数列，用它表示当m分别是2,3,4,5,时，方阵中士兵的人数;(2)若把(1)中的数列记为an,归纳该数列的通项公式；(3)求a10,并说明a10表小的实际意义；(4)已知an=9900,问an是数列的第几项?学业分层测评一、选择题1.给出下面一段演绎推理：有理数是真分数，大前提整数是有理数，小前提整数是真分数.结论结论显然是错误的，是因为()A.大前提错误B.小前提错误第19页共22页n璃辅IEEDREEDUCRTEEDREEDUCRT口门C.推理形式错误D.非以上错误2,已知在ABC中，/A=30

21、,/B=60,求证：BCAC.因为/A=30,/B=60,所以/A/B.方框部分的证明是演绎推理的()A.大前提B.小前提C.结论D,三段论3 .在证明f(x)=2x+1为增函数的过程中，有下列四个命题：增函数的定义是大前提；增函数的定义是小前提；函数f(x)=2x+1满足增函数的定义是大前提；函数f(x)=2x+1满足增函数的定义是小前提.其中正确的命题是()A.B.C.D.4.在R R上定义运算？:x?y=x(1y).若不等式(x-a)?(x+a)1对任意实数x都成立，则()A.-1a1B,0a2c1331C.2a2D.2a25.四边形ABCD是矩形，所以四边形ABCD的对角线相等”，补充该推理的大前提是()A,正方形的对角线相等B.矩形的对角线相等C.等腰梯形的对角线相等D.矩形的对边平行且相等二、填空题6 .在三段论“因为a=a=(1,0),b=b=(0,1),所以ab=ab=(1,0)(0,1)=1x0+0X(1)=0,所以a a，b b”中，大前提：小前提：结论：.7 ,一切奇数都不能被2整除，210+1是奇数，所以2100+1不能被2整除.其演绎推理的“三段论”