2020年九年级数学中考复习：压轴训练之图形存在性问题(包含答案)

1、2020 中考数学 压轴训练之图形存在性问题(含答案)1.如图，已知抛物线 y= ax1 2+ bx+ 4 与 x 轴交于点 A(- 1, 0)、B(8, 0)，与 y 轴交于点 C.(1)求抛物线的解析式；点 P 是线段 BC 上一动点，过点 P 作 x 轴的垂线，交抛物线于点 M，交 x 轴于点 N,过点 M 作 MH 丄 BC 于点 H，求 PMH 周长的最大值；在的条件下，是否存在点P,使得以点 P、C、M 为顶点的三角形与 OBC 相似？若存在，求出117设点 P 的坐标为(m , ，m + 4),则点 M 的坐标为(m , m2+ ?m + 4), PM = 2m2+ |m + 4

2、(如+ 4) = *m2+ 4m= *(m 4)2+ 8 ,11o ,口 a b + 4= 0 得64a+ 8b+ 4 = 01a=217抛物线的解析式为 y= 2*+只+ 4；令 x= 0,贝 U y= 4,点 C 的坐标为(0, 4),设直线 BC 的解析式为 y = kx+ t, 将点 B(8, 0), C(0, 4)分别代入得,128k+1 = 0k=-，解得t= 4直线 BC 的解析式为y = ?x+ 4 ,当 m_ 4 时，PM 有最大值，其最大值为 8,MH 丄 BC, MN 丄 AB , MHP_ZPNB_90,MPH_ZBPN,HMP_ZABC,MHP_ZBOC_90, MP

3、H BCO ,TOC_4,OB_8, BC_43 4 5+ 82_ 4 5 , OBC 的周长为 4+ 8+ 4 5 _ 12+ 4 5 , 设厶 PMH 的周长为 L ,贝 UL_8,解得 L _辛+ 8 ,12+ 4,54.56 7 PMH 周长的最大值为8-5+ 8;5存在，1当/ MCP = 90时，易得 MPCs如解图，过点 M 作 MG 丄 OC 于点 G,/GCM+ZBCO= ZOBC+ ZBCO=90/GCM=ZOBC,/CGM=ZBOC=90,CMG BCO, MG_OC_1CG_OB_2，-MG_ ?CG ,1由知，点 P 的坐标为（m,，m+ 4），点 M 的坐标为（m,

4、311127 m_ CG _ (OG OC) _ 2( ?m2+ ?m+ 4 4),整理得 m2 3m _ 0 ,6点 P 的坐标为(3 ,刁；解得 m _ 0(舍去)或 m _ 3 ,ZZZZ-m2+7m + 4),第1题解图 当/ PMC = 90寸， 如解图， 易得 CPMsBCO,/MNO+ ZCMP=180, CM / OB,MN = OC= 4,1272m2+ 2m+ 4 = 4解得 m= 0(舍去)或 m = 7,1点 P 的坐标为(7, 2),综上所述，存在满足条件的点P，点 P 的坐标为(3，5)或(7,壬).2.如图，以 D 为顶点的抛物线 y= x2+ bx+ c 交 x

5、 轴于 A、B 两点，交 y 轴于点 C,直线 BC 的表达 式为 y= x+ 3.(1)求抛物线的表达式；在直线 BC 上有一点 P,使 PO+ PA 的值最小，求点 P 的坐标；在 x 轴上是否存在一点 Q,使得以 A、C、Q 为顶点的三角形与 BCD 相似，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.解：直线 y= x+ 3 与 x 轴交于点 B,与 y 轴交于点 C,当 x= 0 时，y= 3,当 y= 0 时，x= 3, B 点坐标是(3, 0), C 点坐标是(0, 3),T抛物线 y= x2+ bx+ c 经过 B, C 两点，c= 3c= 3，解得，9 + 3b+ c= 0

6、b= 2抛物线的解析式为：y = x2+ 2x+ 3;(2)如解图，作点 O 关于直线 BC 的对称点 O 连接 OC, O B, O A, O O, 点 B, C 两点的坐标分别是(3,0)和(0, 3),四边形 COBO 为正方形， O的坐标为(3, 3),抛物线 y= x2+ 2x+ 3 交 x 轴于 A, B 两点，.当 y = o 时，x2+ 2x+ 3 = 0,解得：xi= 1 , x2= 3, A 点坐标是(一 1, 0), 设直线 AO 的解析式为 y = kx+ b,- A( 1 , 0), O (3, 3),3k+b=0,解得3k+ b= 3k= 3b=333直线 AO 的

7、解析式为：y = x+4直线 AO 与直线 BC 的交点就是使 PO+ PA 的值最小的点 P 的位置,33y = _ x+ _联立直线 AO 与直线 BC 的解析式，得 44，解得y= x+ 3点 P 的坐标是(9,号)；存在.抛物线的解析式可化为y= (x 1)2+ 4,点 D 的坐标是(1 , 4),- B(3, 0), C(0, 3), BC= 3 2, CD= 2, BD = 2 5, BC2+ CD2= BD2,即/ DCB = 90点 Q 在 x 轴上， /CAQM90 ,当/ CQA = 90时，Q 点与原点重合，此时 AQ = 1 , CQ = 3 , AC= ,10, .A

8、Q = CQ AC =2DC = BC= DB = 2 ,ACQsDBC,此时 Q(0,0);2当/ ACQ = 90时，ACQDCB AOC ,.OA= AC _J_ =血CA=AQ, .10=AQ A( 1, 0) , Q(9 , 0)；综上所述,在 x 轴上存在点 Q,使得以 A、C、Q 为顶点的三角形与 BCD 相似，点 Q 的坐标是(9 , 0) 或(0, 0).9x= 712,y= 7 AQ= 10 ,第 2 题解图3.如图，抛物线 y= x2 2x-3 经过点 A (2,3)，与 x 轴负半轴交于点 B,与 y 轴交于点 C,且 OC = 30B.(1) 求点 B, C 的坐标；

9、(2) 若点 D 在 y 轴上，且/ BDO =ZBAC,求点 D 的坐标；(3) 若点 M 为抛物线上一点，点 N 在抛物线的对称轴上，是否存在以点A、B、M、N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点M 的坐标，若不存在，请说明理由.解：令 x= 0 得 y= 3,-C(0, 3),0C= 3,/ 0C= 30B, 0B= 1,-B( 1 , 0),把 A(2, 3), B( 1, 0)分别代入 y= ax2+ bx 3 得:a b 3= 0a = 1，解得，4a+ 2b 3= 3b = 2抛物线的解析式为 y= x2 2x 3;- C(0, 3), A(2, 3), A

10、C/ x 轴，如解图，过点 B 作 BE 丄AC,BE=3,又 OB = 1, AE= 3 , AE = BE,/ BAE = 45/ BDO = Z BAC = 45 OB= OD, D 点的坐标为(0, 1)或(0, 1),(3)存在如解图.yr/4 | 7Qv,i “(v jcJ!第 3 题解图当 AB/ MN 时，由 AB = MN = 3 2，可知点 M 与对称轴的距离为 3,由 y= x2 2x 3 可得对称轴为直 线 x= 1,点 M 的横坐标为 4 或一 2,把 x= 4 和一 2 分别代入 y= x2 2x 3 可得点 M 坐标，把 x= 2 代入 y = x2 2x 3 得

11、 y= 4 + 4 3= 5,- M1( 2, 5).把 x= 4 代入 y= x2 2x 3 得 y = 16 8 3= 5,M2(4,5),当 MN 与 AB 互相平分时，四边形 AMBN 是平行四边形，由 AC= BN = 2,可知点 M 与点 C 重合，点 M3坐标为(0, 3), M 的坐标为(一 2, 5)或(0, 3)或(4, 5).4.如图，抛物线顶点 P(1 , 4)，与 y 轴交于点 C(0, 3)，与 x 轴交于点 A, B.(1) 求抛物线的解析式；(2) Q 是抛物线上除点 P 外一点， BCQ 与厶 BCP 的面积相等，求点 Q 的坐标；(3) 若 M , N 为抛

12、物线上两个动点，分别过点M , N 作直线 BC 的垂线段，垂足分别为 D, E,是否存在点 M , N 使四边形 MNED 为正方形？如果存在，求正方形MNED 的边长；如果不存在，请说明理由.1vp/L,V X第 2 题图 解：设抛物线解析式为：y= a(x 1)2+ 4(a丰0).抛物线过点 C(0, 3),- a+ 4= 3, a= 1. y= (x 1)2+ 4 =- x2+ 2x+ 3;由得，抛物线的解析式为 y= x2+ 2x+ 3,令 y= 0,解得 xi= 1, x2= 3, A( 1 , 0), B(3, 0),TC(0, 3) ,直线 BC 的解析式为 y = x + 3

13、,TSABCP=SABCQ,点 P、Q 到 BC 的距离相等.1当点 P、Q 位于 BC 的同侧时，如解图，过点 P 作 PQ/ BC 交抛物线于 Q,又TP(1 , 4),直线 PQ 的解析式为 y= x+ 5,y= x+ 5, 联立 y=-x2+2x+ 3.X1= 1解得(舍去),y1= 4- Qi(2, 3).当点 P、Q 位于 BC 的异侧时，设抛物线的对称轴交BC 于点 G,交 x 轴于点 H , G(1, 2),T此时点 P、H 到 BC 的距离相等， H(1, 0),PG= GH= 2,如解图，过点 H 作 Q2Q3/ BC 交抛物线于点 Q2, Q3.直线 Q2Q3的解析式为y

14、= x+1,y= x+ 1, 联立y=-x2+2x+ 3.3 .17x2=21+17X2= 2y2= 33 + 一 17x1=2解得， 1 师y1= 2y2=2亠 3 1 + V1?3+7 10Q2(2 ,2), Q3(2 ,).(3)存在满足条件的 M , N.如解图，过点 M 作 MF / y 轴，过点 N 作 NF / x 轴交 MF 于点 F，过点 N 作 NH / y 轴交 BC 于点 H. 则厶MNF 与厶 NEH 都是等腰直角三角形.设 M(xi, yi), N(X2, y2)，直线 MN 的解析式为 y= x+ b.y=- x+ b,y= x2+ 2x+ 3, x2 3x +

15、(b 3) = 0. NF2= |xi X2|2= (xi+ X2)2 4xix2= 21 4b. MNF 为等腰直角三角形， MN2= 2NF2= 42 8b.直线 MN 与 y 轴交点(0, b)到点 C(0, 3)的距离为|b 3|, NH2= (b 3)2,TNE=NH,i NE2= 2(b 3)2.如果四边形 MNED 为正方形， NE2= MN2, 42 8b= 2(b2 6b + 9). b2+ 10b 75= 0,bi= 15, b2= 5.正方形边长为 MN =428b, MN = 9 .2 或 2,正方形 MNED 的边长为 9 2 或 2.5.如图，已知抛物线 y= ax

16、2+ bx+ c(a 0)的对称轴为直线 x= 1,且抛物线与 x 轴交于 A、B 两点， 与 y 轴交于 C 点，其中 A(1, 0), C(0, 3).(1)若直线 y= mx + n 经过 B, C 两点，求直线 BC 和抛物线的解析式；在抛物线的对称轴 x= 1 上找一点 M，使点 M 到点 A 的距离与到点 C 的距离之和最小，求点 M 的坐标；(3)设点 P 为抛物线的对称轴 x= 1 上的一个动点，求使 BPC 为直角三角形的点 P 的坐标.综上所述，满足条件的点咸咸，1 ,172);-f-12a第 5 题图解：（1）由题意得：a + b+ c= 0 ,c= 3a= 1解得 b=

17、- 2,c= 3抛物线解析式为 y= x2- 2x+ 3,对称轴为 x=- 1，抛物线经过 A(1 , 0),- B(-3 , 0),把 B(-3 , 0)、C(0 , 3)分别代入 y=mx+ n,3m + n = 0 得 ，n = 3m= 1解得n = 3第 5 题解图设直线 BC 与对称轴 x=- 1 的交点为 M，如解图，连接 AM ,/ MA = MB, MA + MC = MB + MC = BC,使MA+ MC 最小的点 M 应为直线 BC 与对称轴 x=- 1 代入直线 y= x+ 3，得 y= 2, M(- 1, 2),(3)设 P(1,t),vB(-3,0),C(0,3),

18、直线 BC 的解析式为 y= x+ 3; BC2= 18,PB2= (- 1 + 3)2+ t2= 4+ t2,PC2= (- 1)2+ (t- 3)2= t2-6t + 10,1若 B 为直角顶点，贝 U BC2+ PB2= PC2,即卩 18+ 4 + t2= t2-6t + 10,解得 t =-2;2若 C 为直角顶点，贝 U BC2+ PC2= PB2，即 18+ t2- 6t+ 10= 4 + t2,解得 t = 4;3若点 P 为直角顶点，则 PB2+ PC2= BC2,即 4 + t2+ t2- 6t+ 10= 18,解得 t1=3+217, t2=3-217,综上所述，满足条件

19、的点 P 共有四个，分别为为 P1( 1 , 2),P2(- 1, 4), P3( 1,3+217),P4( 1,3 17-46.如图，二次函数 y= 3X2+ bx+ c 的图象与 x 轴交于 A(3, 0)、B(- 1, 0),与 y 轴交于点 C 若点 P、 Q 同时从 A点出发，都以每秒 1 个单位长度的速度分别沿 AB、AC 运动，其中一点到达端点时， 另一点也随之停止运动.(1)求该二次函数的解析式及点C 的坐标；当 P、Q 运动 t 秒时，将 APQ 沿 PQ 翻折，点 A 恰好落在抛物线上 D 点处，判断四边形 APDQ 的 形状，并说明理由；VI卩IAW第 6 题图(3)当点

20、 P 运动到 B 点时，点 Q 停止运动，这时，在 x 轴上是否存在点 E,使得以 A、E、Q 为顶点的三 角形为等腰三角形？若存在，请求出E 点坐标，若不存在，请说明理由.解：(1) 二次函数 y = lx2+ bx+ c 的图象与 x 轴交于 A(3 , 0)、B(- 1, 0)两点，40=3X9+3b+c340=-X1-b+c38c= 448 二次函数的解析式为 y = 3x2- Tx- 4,33 C(0,- 4)；四边形 APDQ 为菱形，理由如下： 如解图所示，AP= AQ = t, AP= DP , AQ= DQ ,AP= AQ = DQ = DP,四边形 APDQ 为菱形；存在.

21、如解图，过点 Q 作 QM 丄 OA 于点 M，此时 QM / OC,Vv第 6 题解图- A(3, 0), B( 1 , 0), C(0, 4), AB= 4, OA = 3, OC = 4, AC=-寸 32+ 42= 5,当点 P 运动到 B 点时，点 Q 停止运动，AB= 4, AQ = 4./ QM/OC, AMQAOC,.QMAMAQ OCAO -AC，.QMAM443 - 5， QM =165，12AM= 了，设 E(x, 0),3Q(5 ,161)，则 AE2= (3 x)2, AQ2= AB2= 16, EQ2=(5 x)2+ (曽)2,当 AE2= AQ2,即(3 x)2=

22、 16 时,解得 xi= 1, X2= 7,AE2= EQ2，即(3 x)2= (3 x)2+5当1解得 X3= 3,3当 AQ2= EQ2，即（3 x）2+ （普）2= 16 时,9解得x3= 5 ,x4= 3（舍）,19综上所述，存在满足条件的点 E,点 E 的坐标为(一-,0)或(-,0)或(1, 0)或(7, 0).357.如图，抛物线经过原点 0(0, 0)，与 x 轴交于点 A(3, 0)，与直线 I 交于点 B(2, 2).(1)求抛物线的解析式;第 7 题图点 C 是 x 轴正半轴上一动点，过点 C 作 y 轴的平行线交直线 I 于点 E,交抛物线于点 F，当 EF = OE

23、时，请求出点 C 的坐标；点 D 为抛物线的顶点，连接 OD，在抛物线上是否存在点P,使得/ BOD = / AOP?如果存在，请直接写出点 P 的坐标；如果不存在，请说明理由.解：由题意可设抛物线的解析式为y = ax2+ bx,将 A(3, 0), B(2 , 2)代入 y= ax2+ bx 中，得9a+ 3b= 0a = 1，解得，4a+ 2b= 2b = 3抛物线的解析式为 y= x2 3x;方法一：设直线 l 的解析式为 y= kx,将 B(2, 2)代入 y= kx 中，得一 2 = 2k,解得 k= 1,直线 I 的解析式为 y= x,设点 C 的坐标为(n, 0)，则点 E 的

24、坐标为(n,n),点 F 的坐标为(n, n2 3n).当点 C 在点 A 的左侧时，如解图所示，EF = n (n23n)= n2+ 2n,OE = n2+( n)2=, 2n,1/ EF = OE ,-n2+ 2n= 2n,解得 ni= o(c, E, F 三点均与原点重合，舍去 ),n2= 2- 2,点 C 的坐标为(2- 2, 0);当点 C 在点 A 的右侧时，如解图所示，EF = n2- 3n-(-n)= n2- 2n, OE= n2+( n)2= 2n ,/ EF = OE , n2- 2n= 2n,解得 ni= 0(C, E, F 均与原点重合，舍去)，n2= 2 + 2,点

25、C 的坐标为(2 + 2, 0);方法二：设直线 I 的解析式为 y= kx,将点 B(2, - 2)代入 y= kx 中，得2 = 2k,解得 k=- 1,直线 I 的解析式为 y= x,/ AOB= 45/ CF / y 轴， OCE 为等腰直角三角形， OE= 2CE,/ EF = OE , EF = 2CE.设点 C 的坐标为(m, 0)，则点 E 的坐标为(m,-m),点 F 的坐标为(m, m2- 3m),当点 C 在点 A 左侧时，如解图所示，EF = - m-(m2- 3m) = m2+ 2m, CE= m,由 EF = ,2CE 得一 m2+ 2m= ,2m,解得 mi= 0

26、(C, E, F 点均与原点重合，舍去)，m2= 2-. 2, C 点的坐标为(2- . 2, 0);当点 C 在 A 点右侧时，如解图所示，EF = m2-3m- (- m)= m2- 2m, CE = m,由 EF = , 2CE 得 m22m= “2m,解得 m3= 0(C, E, F 三点均与原点重合，舍去),m4= 2+ 2, C 点的坐标为(2+；2, 0).综上所述，当 EF = OE 时，点 C 的坐标为(2,2, 0)或(2 + 2，0)；(1)求抛物线解析式;(2) 在直线 BC 上方的抛物线上求一点卩，使厶 PBC 面积为 1;(3) 在 x 轴下方且在抛物线对称轴上，是

27、否存在一点Q,使/ BQC =ZBAC?若存在，求出 Q 点坐标；若不存在，说明理由.1 2解：抛物线的解析式为 y= 32+ |x+ 1；一 1 _(2)由 B(3, 0), C(0, 1)可得直线 BC 解析式为 y= x+ 1,如解图，过点 P 作直线 PD 丄 x 轴交直线BC 于点 D.连接 PC, PB,14141616存在点P使得/BOD=zAOP，点P的坐标为(5，一 25)或(5，25)8.如图，已知点A( 1, 0), B(3, 0), C(0, 1)在抛物线 y= ax2+ bx+ c 上.y第 7 题解图第 8 题图第 8 题解图1 2 1 设 P(x, - 3*+ x

28、+ 1),易得 D(x, 3X+ 1),12-PD = 3X2+ x,1123-SAPBC=SAPDC+SAPDB= qPD(XB xc)= 2x + 2x,1232又TSAPBC= 1,. x2+ 尹=1,二 x2 3x+ 2= 0,4解得 X2= 1, x2= 2, P1(1, 3), P2(2, 1)；存在，理由如下：如解图， A( 1 , 0), C(0, 1),OC= OA = 1，/ BAC = 45,/BAC=ZBQC,BQC=45 点 QABC 外接圆与抛物线对称轴在 x 轴下方的交点.设厶 ABC 外接圆心为 M ,线段 AC 的垂直平分线为直线 y= x,线段 AB 的垂直

29、平分线为直线 x= 1 ,点 M 为直线 y= x 与直线 x= 1 的交点，即 M(1, 1). /BMC=2/BQC=90 又TMQ=MB=5, yQ=(1+,5)= 1. 5,.点 Q 在直线 x = 1 上,XQ=1 , Q(1 , 1 5).第 8 题解图9.如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y= ax2+ bx+ c 交 x 轴于 A、B 两点(A 在 B 的左侧)，且 0A=3, OB= 1，与 y 轴交于 C(0, 3)，抛物线的顶点坐标为D( 1 , 4).(1) 求 A、B 两点的坐标；(2) 求抛物线的解析式；(3) 过点D作直线DE / y轴， 交x轴于点E,点P是抛物线上B、 D两点间的一个动点(点P不与B、 D 两点重合),PA、PB 与直线 DE 分别交于点 F、G,当点 P 运动时，EF + EG 是否为定值？若是，试求出该 定值；若不是，请说明理由.解：(1)由题意得，点 A 的坐标为(一 3, 0)，点 B 的坐标为(1 , 0);设抛物线的解析式为 y= a(x+ 3)(x 1),将点 C(0, 3)代入得 3= ax3X( 1),a= 1,抛物线的解析式为 y= (x+ 3)(x 1)= x2 2x+