2020年中考数学专题复习：有理数的相关概念

1、注：数轴的定义包含三层涵义： 第一层涵义是说数轴是一条直线，可以向两端无限延2020 年中考数学人教版专题复习：有理数的相关概念.教学内容：有理数的相关概念1. 有理数的分类.2什么叫数轴，怎样正确地画出一条数轴；如何把有理数在数轴上表示出来.3. 绝对值的意义.4. 有理数的大小比较.知识要点:1. 有理数(1) 向东和向西、买进和卖出、零上和零下、收入和支出、运进和运出等，都具有相反的意义.其中每一对量中的两个量都是具有相反意义的量.一般地，对于具有相反意义的量，我们可以把其中一种意义的量规定为正的，并在表示这个量的前面放上一个“ + ”(读作“正”)来表示；把与意义相反的量规定为负的，并

2、在表示这个量的前面放上一个“-”(读作“负”)来表示.(2) 0 既不是正数，也不是负数.正整数整数 0正有理数(3)有理数负整数也可以这样：有理数 零正分数负有理数分数倍负分数(4) 只有符号不同的两个数，我们称其中一个数是另一个数的相反数，也称这两个数 互为相反数.0 的相反数规定为 0.2. 数轴一般地，在数学中人们用画图的方式把数“直观化”，通常用一条直线上的点表示数,这条直线叫做数轴.女口. -6 -5 -4 -3 -2 -101 23 4 56(1)在直线上任取一个点表示数0,这个点叫做原点；(2) 规定直线上从原点向右(或上)为正方向，从原点向左(或下)为负方向；(3) 选取适当

3、的长度为单位长度.伸；第二层涵义是说数轴有三要素一一原点、正方向、单位长度，三者缺一不可；第三层涵 义是说原点的选定、正方向的选取、单位长度大小的确定， 都是根据实际需要“规定”的. 所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来.正有理数可以用原点右边的点表示，负有理数可以用原点左边的点表示，零用原点表示.3.一般地，数轴上表示数 a 的点与原点的距离叫做数 a 的绝对值，记作丨 a | ._ I I I I m I 1 I I I I冲-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0 的绝对值是 0.(1) a 是正数时，|

4、a | =_ ;(2) a 是 0 时，| a | =_ ;(3) a 是负数时，| a | =_ .4.两个有理数如何比较大小在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大，于是：(1) 正数大于 0, 0 大于负数，正数大于负数；(2) 两个负数，绝对值大的反而小.-5-3 -20256注：异号两数比较大小，要考虑它们的正负；同号两数比较大小，要考虑它们的绝对值.三重点难点：重点有三个：一是有理数的分类；二是相反数、绝对值、数轴等相关的内容；三是有理 数比较大小.难点有：比较两个负数的大小；从分类讨论的角度去认识“已知一个数的绝对值，求这个数”的二重性.【典型例题】例 1.下列说法正确的是(

5、)A. 整数、分数和负数统称为有理数B. 有理数包括正数和负数C. 正整数都是整数、整数都是正整数D. 0 是整数，也是自然数分析：A 分类时有重复，应改为整数和分数统称有理数，B 有遗漏，应改为有理数包括:正有理数、0、负有理数在 C 中正整数和整数在有理数系中属不同的等级，不是两个相同 的概念，应改为：正整数都是整数，但整数不是正整数.只有D 是正确的.解：D评析：数的范围扩大到有理数后， 注意数的分类方法，特别是 0 的归属.0 既不是正数, 也不是负数；整数包括正整数、0、负整数，所以 0 是整数，当然也是有理数.例 2.指出数轴上 A、B、C、D、E、F 各点分别表示什么数？F E

6、D C B A-1-1- 1-A- _I-a-*-1*I-1- a-6 -5 -4 -3-2 -101234 5 6分析：根据各点距原点多少个单位长度；在原点的左边为负数，在原点的右边为正数， 在原点的是“零”.解：A 表示 4; B 表示 2.5; C 表示 1; D 表示 0; E 表示一 1.5; F 表示一 3.评析：找出数轴上的点对应的有理数的步骤是：确定点与原点的位置关系（负左，右正，零原点）；确定点距原点的距离.例 3.下列各数哪些是正数，哪些是负数？5125 一土 0, 0.56, - 3, - 25.8, ,- 0.0001 , + 2, 600 75分析：首先确定我们熟悉的

7、大于 0 的数，即正数，然后再观察带有“-”号的数，看“-” 号后的部分是否大于 0,因为“正数的前面加上负号便是负数” .特别注意：0 不是正数，也 不是负数.125解：正数有：5, 0.56, + 2;负数有：-二，3, - 25.8, - 0.0001 , - 60057评析：分类要做到“不重复，不遗漏”.例 4.已知 a = -5,1a | = | b |,贝 U b 的值等于（）A. + 5 B. - 5 C. 0 D. 5分析：因为 a= - 5,所以| a |= 5,所以| b|= 5,所以 b = 5.解：D评析：本题常见的思维误区是由| a | = | b |推出 a = b

8、,错选 B.事实上，由| a | =Ib |,可得 b = a,所以 b= a 或 b=- a，即 b = 5 或 b =- 5.例 5.预计 21 世纪初的某一年，以下六国的服务出口额比上一年的增长率如下表:美国德国英国中国日本意大利3.4%0.9%5.3%2.8%7.3%7.3%贝 U 以上六国服务出口额的增长率由高到低的顺序中，排在第三位的国家是_分析：本题所列的这些有理数有正数也有负数，比较大小时，要先将正数和负数分类，然后分别将每一类用v”连接起来，最后把连接好的正数放在右边，把连接好的负数放在左边，7.3%v5.3%V 3.4%v0.9%V2.8%v7.3%.解：德国评析：两个负数

9、的大小比较可以用求绝对值的方法来进行，也可以用数轴来比较， 用绝对值比较两个数的大小的步骤：先求各数的绝对值，比较绝对值的大小，根据“两个负数，绝对值大的反而小”比较原数的大小.例 6.已知：绝对值小于 a ( a 0)的整数有 9 个.(1) a 是什么整数.(2) 求这 9 个整数的绝对值的和.分析：从绝对值的定义入手：“一个数 a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离”.画出数轴，从特例出发，展开探究.IIITI1IIII.-6 -5 -4 -3 -2 -101 234561绝对值小于 1 的数在1 和 1 之间，整数只有 02绝对值小于 2 的数在2 和 2 之间，整数只有 0

10、, 13绝对值小于 3 的数在3 和 3 之间，整数只有 0, 1, 24绝对值小于 4 的数在4 和 4 之间，整数只有 0, 1 , 2, 35绝对值小于 5 的数在5 和 5 之间，整数只有 0, 土 1 , 2, 3，土 4从上面的探究我们已经知道，当a 为 5 时，满足条件的整数有 9 个.解：(1 )满足条件的整数 a 为 5(2) 这 9 个整数是：0, 土 1，土 2，土 3，土 4故它们的绝对值的和为：丨 0 丨+丨 11+121+13 丨+丨 4| + | 1 丨+丨一 2 | +I -3| + | 4|=20评析：绝对值的定义是依据数轴给出的， 因此，在研究绝对值的有关问

11、题时，可以利用 数轴来帮助思考，使问题通过图形直观化.这种利用数形结合来研究问题的思想人们称之为 数形结合思想.女如:| x|v5,转化为几何意义是有理数 x 在数轴上表示的点到原点的距离小于5,这时的 x 就在一 5 和 5 之间.-6 -5 -4 -3 -2 -10 123456又如：| x | 5，这时的 x 为 x5 或 xv 5.-6 -5 -4 -3 -2 -10 123456【方法总结】1. 通过本节的学习我们要掌握整数、分数、正数、负数、有理数的区分方法，体会符号化在数学问题中的重大意义，理解把实际问题转化为数学问题来解决的转化思想.2. 引入数轴后，把有理数转化为数轴上的点的

12、数形结合的方法.3. 已知| x |= 3，求 x.我们采用分类讨论的方法求解，当x0 时，x= 3;当 xv0 时,x= 3.【模拟试题】（答题时间：45分钟）一.选择题1. 规定正常水位为 0m，高于正常水位 0.5m 时，记作+ 0.5 米，下列说法错误的是 （）A.高于正常水位 1.5m 记作+ 1.5m B.低于正常水位 1.5m 记作一 1.5mC. 1 m 表示比正常水位低 1m D. + 2m 表示比正常水位低 2m2. 正整数集合和负整数集合合在一起，构成的数的集合是（）A.整数集合B.有理数集合C.自然数集合D.非零整数集合3. 下列各式中，不成立的是（）A. | 3 |

13、= 3 B. | 3 |= 3 C. | 3 | = | 3 | D. | 3 | = 314. 在 0, 2, 1 , $这四个数中，最小的数是（）A. 0B. - 25零是（）A.最大的负整数B.最小的负整数 C.最小的自然数 D.以上都不对*6.如果两个数的绝对值相等，这两个数（A.相等C.相等或互为相反数*7.数轴上点 A 到原点的距离是11A53B.38.下列说法正确的是（）A.在 0 和+ 1 之间没有正数C.在一 1 和+ 1 之间没有负数*9.下面是关于有理数的叙述：1有理数分为正有理数和负有理数两部分；2有理数分为整数和分数两部分；3有理数分为正数、负数和零三部分；4有理数分

14、为正分数、负分数、正整数、负整数和零五部分;5有理数分为正整数、负整数和零三部分.其中正确的有（）*10.文具店、书店和玩具店依次坐落在一条东西走向的大街上，文具店在书店西边 20m处，玩具店位于书店东边 100m 处，小明从书店沿街向东走了 40m，接着又向东走了 60m , 此时小明的位置在（）.填空题B. 互为相反数D.都是 01 一5，点 A 表示的数是（）1 1C. 53 或53D.不能确定B.在 0 和+ 1 之间的有理数有无穷多个D.在一 1 和+ 1 之间的有理数只有0A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个A.文具店B.玩具店C.文具店西边 20m D.玩具店东边60

15、m2. 在电视上看到的天气预报中，绵阳王朗国家级自然保护区某天的气温为“一1.如果把顺时针转60记作+ 60,那么逆时针转30记作5C” ,表(9)负有理数集：；示的意思是_.33. 绝对值等于 4 的数是_, _ 的绝对值等于它本身.4. 绝对值小于 4 的整数是_.5. 数轴上到原点的距离为2 的点所表示的数是_ .6. 写出一个比一 3 小的数_ .*7. 一个数的绝对值的相反数等于它本身，这个数是 _.*8.数轴上有三点 A、B、C,它们分别是一 3,1 ,2，则此三点到原点的距离之和是 _三解答题1. 用正、负数表示下面各组具有相反意义的量，并指出它们的分界点.(1) 零上 10C与

16、零下 5C；(2) 高出海平面 100m 与低于海平面 200m；(3) 收入 8 元，支出 6 元.2. 工商部门抽查了一些 500g 包装的白糖，检查的记录如下：10, 15, 13 , 20, 18, 15, 31, 24, 25, 5, 14, 9.你估计这里的正、负数表示什么？从这些数据中， 你能获得哪些信息？20, 0.08 , - 23, 4.5 , - 3, 0, 1, 3.14, - 3, + 5.(1)整数集：;(2)正整数集：;(3)负整数集：;(4)分数集：;(5)正分数集：;(6)负分数集：;3.把下列各数分别填入相应的括号：14(7)有理数集：;(8) 正有理数集:

17、(9)负有理数集：；4. 已知有理数 a 在数轴上的对应点为 A,将点 A 向左平移 3 个单位长度后，再向右平移 2 个单位长度得到点 B,点 B 对应的数是一 1 有理数 a 是多少？*5.比较数的大小：2118(1)刁和一 0.28(2)| 不 | 与一(+ -)7129*6.在数轴上点 A 表示 7,点 B、C 所表示的数互为相反数，且 C 与 A 间的距离为 2,求点 B、C 对应的数.试题答案一. 选择题1. D 2. D 3. D 4. B 5. C 6. C 7. C 8. B 9. C 10. A二. 填空题3331. 30 2.该地气温为零下 5C3. ；(或填“3或；”)

18、，正数和零(或填“非负数”)4444. 3, 2 , 1, 0, 1, 2, 3 5. 2 6. 4 (答案不唯一)7.负数或零 8. 6三. 解答题1.(1)+ 10C,5C,它们的分界点是 0C(2)+ 100m, 200 m,分界点是海平面，用 0 表示(3)+ 8 元，一 6 元，它们的分界点是不收入也不支出，用0 表示.2. 正数表示包装超过 500g，负数表示包装少于 500g .一共抽查了 12 包白糖，其中不足500g 的有 8 包，超过 500g 的只有 4 包，不足秤的约占 67%，且个别不足秤的达到31g,是严重的缺斤少两现象.3.(1 )整数集： 20, 3, 0, 1,+ 5;(2) 正整数集：20,+ 5;(3) 负整数集： 3, 1;(4)分数集： 0.08, 23, 4.5, 3.14, 3;33(5) 正分数集：4.5, 3.14;(9)负有理数集：；14(6) 负分数集：-0.08, - 2, 3;14(7)有理数集:20, 0.08, 23, 4.5, 3, 0, 1 , 3.14, 3, + 5;(8) 正有理数集： 20, 4.5