机械故障诊断—第三章 信号分析

1、第三章信号分析 第一节第一节 信号的分类信号的分类 信号按其随时间变化的规律不同，可分为确定性信号和非确定性信号（随机信号），还可以进一步细分。如图3.1所示。图3.1 信号的分类第二节 信号的预处理 信号的预处理的目的在于提高信号中所包含信息的可靠性和数据分析的精度，使故障诊断的灵敏度及可靠性提高。预处理的核心是采用各种滤波技术提高信号的信噪比。这是因为取得的信号中往往存在各种干扰，如邻近机器或部件的振动干扰及电气干扰等。一般取得的信号中总混有噪声，因此要用滤波方法去除或减小噪声以提高信噪比。所谓信噪比就是信号功率与噪声功率之比，一般用分贝（dB）表示。SNR10log（Ps/Pn） （3.

2、1）式中 SNR信噪比（signal noise ratio）。 Ps，Pn分别为有用信号功率与噪声功率。 滤波的实质是去除或抑制某些频率范围内信号成分。信号中有用成分s(t)与噪声n(t)的关系大体上有以下几种关系：1 相加关系 x(t)s(t)+n(t) （3.2）2 相乘关系 x(t)s(t)n(t) （3.3）3 卷积关系 x(t)s(t)*n(t) （3.4） 第一种情况可用线性滤波的方法解决。但对于第二、三种情况，由于信号和噪声的叠加方式是非线性的，所以要使用非线性滤波方法来解决。 1线性滤波方法线性滤波方法 就是能够从输入信号的全部频谱中分出一定频率范围的有用信号。为了获得良好的

3、选择性，滤波器应以最小的衰减传输有用频段内的信号（称为通频带），而对其他频段内的信号（称为阻频带）则给予最大的衰减。位于通频带与阻频带界线上的频率称为截止频率。滤波器根据通频带可分为： 低通滤波器 能传输0f0频带内的信号； 高通滤波器 能传输f0频带内的信号； 带通滤波器 能传输f1 f2频带内的信号； 带阻滤波器 不能传输f1 f2频带内的信号。 阻频带内衰减特性的陡度与衰减数值越大滤波器的选择性越好。衰减特性如图3.2所示。衰减特性一般是以每倍频程衰减的分贝数来衡量的。 fcfdBfcfdBfcfdB 输出输出输出图3.2 低通滤波器的衰减频率特性 （a）理想的低通滤波器；（b）理想的没

4、有损耗的频率特性曲线；（c）滤波器元件有损耗的特性曲线用滤波方法提高信噪比的方法，对式（3.2）作傅里叶变换得到功率谱。 SX ()SS ()+Sn () （3.5）式中 SX ()原始信号的功率谱； SS ()有用信号的功率谱； Sn ()噪声的功率谱。如果SS ()和 Sn ()的分布范围或分布特性不同，就有可能用这种基本的滤波方法将噪声分离或抑制，否则是不可能的，下面讨论两种情形：SS ()和 Sn ()不重叠：这很容易用前述的某一种滤波器将它们分离。如图3.3（a）所示的情形，可用一截止频率为f0的低通滤波器（频率特性如虚线所示）将噪声去掉，但这种情况很少。SS ()和 Sn ()部分

5、重叠：如图3.3（b）所示的情形，如用合适的滤波器将非重叠部分的噪声去除，也能改善信噪比。S()H()0SS ()Sn ()S()H()0SS ()Sn ()（a) SS()和 Sn ()不重叠（b) SS ()和 Sn ()部分重叠图3.3 用滤波器去除噪声 2 其他类型的滤波方法其他类型的滤波方法如果SS ()和 Sn ()重叠，且统计分布特性不同，如当SS ()为若干个周期信号分量的谱，Sn ()为宽带随机噪声谱。周期分量在频谱上会呈现尖峰而易于辨认。但当噪声很强，宽带噪声谱起伏也很大时，如图3.4所示，就很难从噪声中辨认出周期分量来。出现这种情况则必须用其他滤波方法提取有用信号。SX(

6、)0SX()000（a）（b)图3.4 用窄带滤波器从噪声中提取周期分量（a）周期分量淹没在噪声中； （b）窄带滤波抑制了噪声。 （1）窄带滤波：如果周期分量的频率为0，用中心频率为0带宽为的窄带滤波器对原始信号进行滤波。对周期分量，它的谱峰值在滤波后不随带宽而变化，但宽带随机噪声的能量是大致均布在一定频率范围内的，滤波后它的输出会随着带宽的减小而减小，因此窄带滤波器能有效地抑制这种噪声。然而，如事先不知道周期分量的频率，则要不断改变带通滤波器的中心频率以检测出有用的周期分量，这种方法比较费事。（2）相关滤波：因为周期性分量的自相关函数也是周期的，而宽带随机噪声的自相关函数在时延足够大时将衰减

7、掉，如图3.5所示，所以利用自相关函数可以把噪声从周期信号中去掉。RX(t)t0图3.5 相关滤波 )()()(inisitNtNty)(istN)(intN)(ity)(itxNtntstxiii/ )()()(（3）时域平均滤波：这是从叠加有白噪声干扰的信号中提取周期性信号S（t）的一种很有效的方法。如果一信号x(t)由周期信号s(t)和白噪声n(t)组成，则x(t)=s(t)+n(t) 我们以s(t)的周期去截取信号x(t)，共截得N段，然后将各段对应点相加，由于白噪声的不相关性，可得到（3.6）是s(t)各点的和，是n(t)的各点的和，对平均便得到此时输出的白噪声是原来输入信号x(t)

8、中的白噪声的 ，因此信噪比将提高 倍。 其中:输出信号 （3.7）N/1N 如图3.6所示的是截取不同的段数N，进行同步时域平均的结果。由图可见，虽然原来图形（N1）的信噪比很低，但经过多段平均后，信噪比大大提高。当N256时，可以得到几乎接近理想的周期（正弦）信号，而原始信号中的周期分量，几乎完全被其他信号和随机噪声所淹没。图3.6 用时域平均法提高信噪比 3同态滤波方法简介同态滤波方法简介 如前所述，对于有用信号s(t)与噪声n(t)之间关系为相乘与卷积时，用线性滤波方法无法将它们分离，要用同态滤波方法。这里对此只作简单介绍。这种方法的特点是先将相乘或卷积混杂在一起的信号用某种变换将它们变

9、成相加关系，然后用线性方法去掉不需要的成分，最后用前述变换的逆变换把滤波后的信号恢复出来。（1）解乘积的同态滤波方法 实际中往往会遇到两个或多个分量相乘的信号。例如调幅信号可表示为载波信号和调制信号（包络信号）的乘积。一般地，对于乘积形式的信号x(t)s(t)n(t)，可以用对数变换将相乘变为相加关系，即 logx(t)=logs(t)+logn(t)，如果logs(t)和logn(t)的频谱都没有严重的重叠（如对调幅信号，调制信号频率和载波信号频率相差较多），就可以用线性滤波方法将它们分离开来，然后对滤波后分离出来的logs(t)作对数变换的逆变换指数变换就可得到。 （2）解卷积的同态滤波方

10、法 在有多径反射和混响环境下作声强分析，会出现干扰与所需信号的卷积。在测量齿轮故障时，故障源引起的冲击为激励信号，我们在箱体上测到的是该激励通过轴轴承箱体传递途径得到的振动响应信号，因此这振动信号就是激励信号与传递特性的卷积。我们往往要将它们分开，分别研究故障源的特性和传递特性。对卷积式x(t)s(t)*n(t)作傅里叶变换可将卷积关系变成相乘关系，得到X(f)S(f)N(f) （3.8）式中X(f)、S(f)、N(f)分别是信号x(t)、s(t)、n(t)的傅里叶变换。对式（3.8）作对数变换，将相乘关系变成相加关系，然后再作傅里叶逆变换，得到logX(t)=logS(t)+logN(t)

11、(3.9)F-1logX(t)= F-1logS(t)+ F-1logN(t) (3.10)这个过程叫倒谱分析，上式可写成Cx()Cs()+Cn() （3.11）式中 Cx()原始信号的倒频谱； Cs()有用信号的倒频谱； Cn()噪声信号的倒频谱。 如果在倒频谱域上Cs()和Cn()不重叠，就可以通过线性滤波将它们分离开。对分离出来的Cx()作上述变换的逆变换，即傅里叶变换指数变换傅里叶逆变换，最后就可将S()分离出来。 TxdttxT0)(1TrmsdttxTX02)(1dttxTTxx202)(1第三节第三节 信号的时域分析信号的时域分析一、信号的统计特征参量分析一、信号的统计特征参量分

12、析 在信号的幅值上进行各种处理，即对信号的时域进行统计分析称为幅域分析。常用的幅域参数包括均值、最大值、最小值、均方根值等。 对模拟信号而言，若x(t)为一采样长度为T的模拟信号，则幅域参数定义为: 均方根值 方差（3.13）均值（3.11）（3.12） 均方根值反映信号的能量的大小；方差反映的是信号偏离平均值的程度，即信号的波动量，如当设备正常运转时，其输出信号一般较为平稳（即波动较小），因此信号的方差也较小，这样，根据方差的大小可判断机械设备的运行状况。 这些常用的幅域参数计算简单，对设备状态识别与故障诊断有一定的作用。但还不能全面反映信号的波形。两个显著不同的信号，其平均值（或均方根值、

13、方差值）可能是相等的。 为此需要引入另外一个重要的统计特征参数即概率密度函数。 随机信号的概率密度函数表示幅值x(t)落在某一个指定范围内的概率大小。随机信号的幅值取值的概率是有一定规律的，即对同一过程的多次观测中，信号中各幅值出现的频次将趋于确定的值。 概率密度函数定义为xxxtxxPxpx)(lim)(rob0（3.14） )(robxxtxxPxxx，0rob0lim)(TTxxtxxPxT000lim1lim)(TTxxpxTx321tttTx表示信号幅值落在我们可以通过幅值落在该区间内的时间之和除以总时间来求取Prob。即（3.15）（3.16）区间内的概率。式中 )(xpxxx，表

14、示幅值落在小区间上的概率与区间长度之比，因此称为幅值概率密度函数。如图3.7所示。图3.7 概率密度函数的定义二、相关分析二、相关分析 相关分析又称时延分析，用于描述信号在不同时刻的相互依赖关系，是提取信号中周期成分的常用手段，在相关测速和相关定位以及传递路径识别中均有应用。相关分析包括自相关分析和互相关分析，是信号时域分析的主要内容。1自相关分析 自相关函数的定义：自相关函数描述的是同一信号中不同时刻的相互依赖关系。TTxdttxtxTR0)()(1lim)(nNiiixtntxtxnNtnR0)()(1)(其离散化公式为（3.18）（3.17）式中 N采样点数（样本长度）；n时延数；i时序

15、号。自相关函数的应用：（1）根据自相关图的性状可以判断原始信号的类型。比如周期信号的自相关函数仍为同周期的周期函数。（2）自相关函数可用于检测随机噪声中的确定性信号。因为周期信号或任何确定性数据在所有时间上都有其自相关函数，而随机信号则不然，当时延 稍大时，其自相关函数就将趋于零。 例例 用自相关函数判断滚动轴承故障。图3.8是某滚动轴承在不同状态下的振动加速度信号的自相关函数，图3.8（a）为正常状态下的自相关函数，接近于宽带随机噪声的自相关函数。图3.8（b）为外圈滚道上有疵点，在间隔为14ms处有峰值出现；图3.8（c）为内圈滚道上有疵点，在间隔为11ms处有峰值出现。 图3.8 用自相

16、关函数判断滚动轴承故障TTxydttytxTR0)()(1lim)(nNiiixytntytxnNtnR0)()(1)(2互相关分析互相关函数的定义：互相关函数描述的是两个不同信号不同时刻的相互依赖关系。（3.19）（3.20） 其离散化公式为互相关函数的应用：（1）若两随机信号中具有频率相同的周期成分，则在互相关函数中也会出现该频率的周期成分；（2）可以用于滞后时间的测量，即相关直线的定位；（3）可以用于传递通道的确定；（4）可用于速度的测定。 TTxxdttxtxTR021)()(1lim)(21)(21xxR0例例 滞后时间的测定（即相关直线的定位）如图3.9所示，设输油管道在A处有一个

17、泄漏源，为了对泄漏源进行定位，我们在B、C两点处分别安装有传感器1和2，其中传感器1距A点为S1，传感器2距A点为S2，现测得两传感器的响应分别为x1(t)和x2(t)，对x1(t)和x2(t)进行互相关分析，即求得互相关函数将会得到互相关函数图，图中与最大值对应的延时从泄漏源A点处分别传向1、2两个传感器的时间差，由此可得 （3.21）即为信号012vSSvSSS12式中 泄漏信号沿管道的传播速度，设为已知。可以直接测量出来，把它和公式（3.22）联立即可解（3.22）而得S1 、S2的值。这样即可对泄漏源A进行较准确的定位。 12相关分析)(1tx)(2tx1S2SABC（泄漏源）)(21

18、xxR00图3.9 相关直线定位)(tx)(ty)(tx)(ty例例 传递路径的识别如图3.10所示，输入信号从A 点可以通过两条途径传输到B点，得到输出，其一是通过空气传播，设其传播时间为t1;信号传输的另一条途径是通过与相关函数图，互相关图上的两个峰值点时延分别与传播时间t1、t2对应，这样，通过互相关分析，即可定出信号由A点传输到B点的两个不同路径的传输效率。 箱壁传播，设其传播时间为t2。通过对作互相关分析，将会得到其互AB)(tx)(ty)(21xxRo12图3.10传递路径的识别)(BAxxR00例例 速度的测量如图3.11所示，为了测量热轧钢带的速度，在钢带上相距为d的位置A、B

19、处安装两个光电池，用于接收从钢带上反射来的光。反射光强度的波动通过光电池转换为电信号，再进行互相关分析，图中与最大值对应的延时即为钢带上某点经过两个测点的时间。该钢带的运动速度为vd/。 光电池光电池互相关分析ABv 速度d)(BAxxR)(BAxxR00钢带图3.11 速度的测量第四节第四节 信号的频域分析信号的频域分析 频域分析是机械故障诊断中使用最广泛的信号处理方法之一。因为伴随着故障的发生、发展，往往会引起信号频率结构的变化。例如滚动轴承滚道上的点蚀会引起周期性的冲击，在信号中就会有相应的频率成分出现；旋转机械在发生不平衡故障时，振动信号中就会有回转频率成分等。频域分析的手段是频谱分析

20、方法，频谱分析的目的是把复杂的时间历程波形经傅里叶变换分解为若干单一的谐波分量来研究，以获得信号的频率结构以及各谐波的幅值和相位信息。 频率分析得到的最终结果是频谱图，频谱图分为离散谱与连续谱。周期性及准周期信号经频谱分析后得到的是离散谱，非周期信号及随机信号进行频谱分析后得到的是连续谱。对于连续谱，用的是“谱密度”的概念。 信号的频域分析包括幅值谱分析、相位谱分析和功率谱分析。一、周期信号的频谱分析一、周期信号的频谱分析1离散幅值谱与离散相位谱 前面已述及，工程上任何复杂的周期信号都可以按傅里叶变换展开为各次谐波分量之和，即 10)sincos(2)()(nnntnbtnaanTtxtx（3

21、.23）实际上傅里叶级数展开的另一形式更为常用： )cos(2)(010tnAatxnn（3.24）22nnnbaAnf0f0nAn式中 若以或f为横坐标，分别以An和为纵坐标，便得到如图3.12所示的离散幅值谱和离散相位谱。图3.12 离散幅值谱和离散相位谱2傅里叶级数的复数形式2cosjxjxeex欧拉公式：傅里叶级数也可以写成复指数形式10)(21)(212)(ntinnntinnneibaeibaatx （3.25）110ntinnntinneCeCCntinneCdtetxTCTTtinn22)(1 ， 式中 )(21nnnibaC)(21nnnibaC200aC ； nnnnAba

22、C212122ReImarctannnCCf0nCnf02nA图3.13 复指数形式的傅里叶级数频谱图从图上可以看出，复指数形式的傅里叶级数频谱图的幅值为实数形式的一半，而相位呈奇对称。3小结复杂周期信号频谱的特点：（1）周期信号所含各分量的频率是离散的。（2）各次谐波的频率关系具有谐波性，各次谐波的频率都是基频0的整数倍，相邻频率的间隔为0或它的整数倍。（3）周期信号的幅值频谱是收敛的。二、非周期信号的频谱分析二、非周期信号的频谱分析1概述 非周期信号其频域描述可以采用从周期信号援引过来的方法加以解决。解决办法： 周期信号的周期T，相邻频谱谱线的频率间隔=0=2/T0，离散的谱线一条连续的谱

23、线对离散频率分量求级数和对连续频率分量求积分和周期信号的傅里叶级数非周期信号的傅里叶积分。2傅里叶积分与变换 周期信号傅里叶级数的复指数表达式为：ntjnneCtx0)(220)(1TTtjnndtetxTC其中 （3.26） 在离散频谱中0既表示周期信号的基频，又表示相邻两根谱线间的间隔。将Cn代入x(t)中得ntjnTTtjnedtetxTtx0022)(1)(（3.27） 当T，此式有两个变化：（1）积分限从时间轴的局部(-T/2，T/2)扩展到时间轴的全部(-，)。（2）由于1/T=/2，在T时，d，离散变化的频率n0转化为 连续变化的频率。无限多项的连加转换成连续积分，于是就得到：t

24、jtjedtetxdtx)(2)(（3.28） dedtetxtjtj)(21 等式右边中括号里的部分，相当于傅里叶级数复指数形式中的Cn项，它是的函数，记为： dtetxXtj)()(（3.29） 则 deXtxtj)(21)(（3.30）傅里叶变换对，记作： )()(Xtx称X()为傅里叶（正）变换，称x(t)为傅里叶逆变换也即傅里叶积分。 3非周期信号的频谱分析我们借助于周期信号中频谱的有关概念，去寻求作非周期信号频谱图的方法。ntfjnneCtx02)(dfefXtxtfj02)()(dtetxTjbaCtjnTTnnn0)(1)(21220nCT当02222nnnnAbaC 无法用周

25、期信号的频谱来描述非周期信号，但从物理概念上考虑，信号必然含有一定的能量，无论信号如何分解，其所含能量不变，所以不论周期增大到什么程度，频谱分布依然存在。)()()(fXefXfX)Im()Re()(fffX )(ImRe)(22fffX也可以表达为：则)Re()Im()(ffarctgfX X(f)或X()称非周期信号的幅值密度频谱或幅值谱密度，也可简称为幅值频谱，X(f)或X()称为非周期信号的相位频谱，因此，X(f)或X()是非周期信号的频谱函数。 0,00, )0()(ttaEetxat例例 求单边指数脉冲的频谱。其时域波形如图3.14（a）所示。图3.14 单边指数脉冲的频谱4小结非

26、周期信号频谱的以下特点：（1）非周期信号的频谱是连续的，这是与周期信号频谱的最大区别。（2）非周期信号中含有从0的所有频率成分（个别点除外）。（3）非周期信号的幅值频谱从总体变化趋势上看具有收敛性，即谐波的频率越高，其幅值密度就越小。 xR dRx第五节第五节 信号的功率谱分析信号的功率谱分析一、自功率谱密度函数一、自功率谱密度函数1定义定义假定x(t)是零均值的随机过程，又假定中没有周期分量，那么当趋于无穷，自相关趋于0，则自相关函数满足傅立叶变换的条件，有自相关函数的傅立叶变换和其逆变换 deRfSfjxx2 dfefSRfjxx2（3.31）（3.32） fSx xR fSx xR xR

27、 fSx 0f fSfGxx2 fGx定义为的自功率谱密度函数，简称自谱或自功率谱。包含着的全部的信息。因为为实偶函数,也为实偶函数。由此常在范围内用来表示信号的全部功率谱，并把称为信号x(t)的单边功率谱。 2物理意义物理意义 若=0，则根据自相关函数和自功率谱密度函数的定义，可得到 dffSdttxTRxTTx021lim0（3.33） 可见，自功率谱密度函数的曲线下和频率轴所包围的面积就是信号的平均功率。3巴塞伐尔定理巴塞伐尔定理 在时域中计算的信号总能量，等于在频域中计算的总能量，这就是巴塞伐尔定理即 dffSdttxx2（3.34） 有下面的关系成立： 21limfXTfSTx（3.

28、35） 利用这一种关系，就可以通过直接对时域信号作傅里叶变换来计算功率谱。4应用 （1）分析信号的频域结构 fSx fX自功率谱反映信号的频域结构，这一点和幅值谱但是自功率谱反映的是信号幅值的平方，因此其频域结构特征更为明显，如图3.15所示。 一致，对于一个线性系统，如图3.16所示，若其输入为x(t)，输出为y(t)，则系统的频率响应函数为H(f)，x(t)X(f)，y(t) 0f)fX（ 0f)fSx（图3.15 幅值谱与自功率谱（2）求系统的频响函数 fHY(f)h(t)H(f)x(t)X(f)y(t)Y(f)图3.16 理想的单输入、单输出系统 fXfYfH fSfSfXfYfXfY

29、fXfYfHfHfHxy222 fSfHfSxy2 （3.36） 通过输入、输出函数的的自谱分析，就能得出系统的幅频特性。但是这种方法会丢失相位信息，因此得不出系统的相频特性。 二、互功率谱密度函数二、互功率谱密度函数1定义定义 如果互相关函数 xyR满足傅立叶变换的条件 ，则定义 deRfSfjxyxy2（3.37） 称为信号的互谱密度函数，简称互谱。根据傅立叶逆变换，有 dfefSRfjxyxy2（3.38） fSxy xyR同样，也保留了中的全部信息。2应用应用（1）求系统的频响函数 fH对图3.16所示的线性系统。有如下关系成立 )()(fSfHfSxxy（3.39） 故从输入的自谱和

30、输入、输出的互谱就可以直接得到系统的频率响应函数。式（3.39）与式（3.36）不同，得到的H(f)不仅包含幅频特性而且包含相频特性。这是因为互相关函数中包含有相位信息。 （2）在强噪声背景下分析系统的传输特性如果一个系统受到外界干扰，如图3.17所示，n1(t)为输入噪声，n2(t)为加于系统中间环节的噪声，n3(t)为加在输出端的噪声。则，系统的输出y(t)将为 tntntntxty321 tntntntx321、分别为系统对x(t)、n1(t)、 n2(t)、 n3(t)的响应。 （3.40）式中h1(t)H1(f)h2(t)H2(f)+n2(t)N2(f)+n3(t)N3(f)+n1(

31、t)N1(f)x(t)X(f)y(t)Y(f)图3.17 受外界干扰的系统 输入x(t)与输出y(t)的互相关函数为 321nxnxnxxxxyRRRRR（3.41） 由于输入x(t)和噪声n1(t)、 n2(t)、 n3(t)是独立无关的，故互相关函数 321nxnxnxRRR和、 均为零。所以 xxxyRR )()(fSfHfSfSxxxxy)()()(21fHfHfH故（3.42） 由此可见，利用互谱进行分析可排除噪声的影响。这是这种分析方法的突出优点。 式中 第六节第六节 离散傅里叶变换离散傅里叶变换DFT 连续时间傅里叶变换CTFT不适宜于在数字计算机上进行计算。 其主要原因为：信号

32、覆盖了整个时间轴（时间受限信号除外）；信号是时间连续的；信号的频谱覆盖了整个频谱轴（频带受限信号除外）；信号是频谱连续的。 如果要在计算机上实现傅里叶变换，就必须要做到：把连续信号（包括时域、频域）改造为离散数据；把计算范围收缩到一个有限区间；实现正、逆傅里叶变换运算。 在这种条件下所构成的变换对称为离散傅里叶变换对。其特点是，在时域和频域中都只取有限个离散数据，这些数据分别构成周期性的离散时间函数和频率函数。 模拟信号的离散傅里叶变换包括时域采样、时域截断和频域采样等过程。 1.时域采样 如图3.18（a）、（b）、（c）所示，对时域连续信号x(t)进行采样，采样间隔为t，则采样信号 （3.

33、43）采样后的傅里叶变换 （3.44）采样信号的频谱 是一个周期性的连续函数,幅值是 谱的 倍。如图3.18(c)所示。谱图中有混淆现象，若减少t，即增大 时，该现象将会减少。2.时域截断 如图3.18（d）所示，用矩形函数 截断采样信号 ，使其仅有有限个样本点N，截断后得到经过采样和截断的函数为 （3.45）nstnttxtptxtx)()()()()(ntnttnx)()( nsssnffXffPfXfX)()()()()( fXs)( fXsfsf)(tw)(txs)()()()()(twtnttnxtwtxns1)()(Nntnttnx截断后采样信号的傅里叶变换 （3.46） 图3.18（e）表示采样截断后的波形和它的傅里