多自由度的耦合振动ppt课件

1、1.4.3 多自在度的耦合振动一、弱耦合的二振子系统 (两个自在度)设：两个振子： ； 。两个振子之间：用软弹簧 衔接实现两个振子的耦合 ：弱耦合又设：滑块1、滑块2的平衡位置为坐标原点，作两轴 ，那么：势能为km,km,k2211,xoxo222121212111( ,)()222U x xkxkxxx拉格朗日函数：由拉格朗日方程得到运动方程：设：解的方式为 两个滑块以同一频率振动2222212121211111()22222LTUmxmxkxkxxx221012022021()xxxkmmxxx1122ReRei ti txC exC e 关于 的齐次方程组非零解条件： 的两组解： (详细

2、值由初始条件定) 12,C C220220()0()2201222102()0()0CCCC22102012,C C(1)(1)(2)(2)1212CCCC 矩阵方式的解：显然，它们是相互正交的，即归一化：令 ，有12,C C(1)(2)11(1)(1)(2)(2)11(1)(2)221111CCCCCC uu(1)1(1)(2)(2)(2)11(1)1(,)0CCCCTuu(1)(2)1112CC(1)(2)11111122 uu满足正交归一条件： 耦合振子系统有两个振动频率： ，与 对应有两种确定的集体振动方式普通情况下，振动是以上两种振动方式的叠加：( )( )ababuuT21,21,

3、1211221111ReRe1122ititxxeexx 12121111ReRe1122ititxAeBex 选新的广义坐标： ，令那么 分别表示两种独立的集体振动方式。这样：从而得到新旧坐标之间的变换关系：21, QQ1212ReReititQAeQBe21, QQ112211111122xQQx 11221211()()22xQQxQQ新坐标系下的拉格朗日函数： 耦合项消逝(退耦)，此时相互耦合 的二振子系统变成两个独立的振子系统。定义： 为耦合振子系统的简正坐标。 21, QQ222212121111(2 )2222LmQmQkQkQ二、对称矩阵的本征值与本征矢 为将二耦合振子系统推行

4、到恣意s个耦合振子系统，将前面关于 的方程改写成矩阵方式：令那么12,C C201122220CCCC2012220CCSUSUU 一列二行矩阵U可看成一个二维空间中的矢量。普通： 对称矩阵S作用在一个恣意二维空间矢量 上，会改动它的大小和方向，即 SU和U普通 不平行。但： 阐明此式中的矢量U遭到S的作用后， 不改动方向，而只是乘上一个常数 。定义： U矩阵S的本征矢， 与本征矢U对应 的本征值， 对称矩阵S的本征方程。2 2SUUSUU 这样，求耦合二振子系统的集体振动方式归结为求解矩阵S的本征值方程。 将以上方法推行到三维空间，对此空间中的矢量 写成矩阵方式：于是 的矩阵S的本征值方程为

5、：1 1223 3uuuueee123uuuU3 3111213112122232233313233uuuuuu或写为 假设 ，那么称矩阵S为对称矩阵。对于对称矩阵有如下定理。定理一 的对称矩阵S有3个独立的本征矢。与本 征矢对应的本征值为实数。SUU( ,1,2,3)ijjii j3 3证： 可写为其中I为单位矩阵将 写成矩阵方式SUU()0SUUSI U100010001I()0SUUSI U1112131212223233132330uuu上式是关于3个未知数 的齐次方程组。非零解条件：由以上条件，可得 的3个根 。与每个根相对应，可得到一个解 ，这就是和本征值 对应的本征矢。假定：S为

6、实对称矩阵，即123,u u u1112132122233132330(1,2,3)aa( )( )( )123,aaauuua*ijjiijji本征值方程又可写成取其复共轭将 ，并利用 ，得到：将上式左右两边同时乘以 ，并对j求和31(1,2,3)ijjijuui3*1(1,2,3)ijiijuuiij*ijjiijji3*1(1,2,3)ijijiuujju333*111iijjjjijjuuu u将本征值方程的左右两边同时乘以 ，并对i求和因此 ，即 为实数。 另外的例子见p69-70。333*111iijjiiijiuuu u*iu3333*1111iijjiijjijijuuu uu

7、 u*留意：本征值方程是齐次方程，它的解可以乘上恣意 常数。因此，和本征值对应的只是本征矢的方 向，而相应的本征矢的长度不确定。此时可以 将本征矢“归一化成单位长度，即经过乘上 一个常数使得 满足上式的矩阵方式 其中 是 的转置矩阵。(1,2,3)iu i 3211iiu1UUUU定理二 对称矩阵对应于不同本征值的本征矢相互正交。证：和 、 对应的本征值方程分别为将上两式分别乘上 和 并对i 求和：a()bab33( )( )( )( )11,aabbijjaiijjbijjuuuu( )biu( )aiu333( )( )( )( )111babaiijjaiiijiuuuu333( )(

8、)( )( )111ababiijjbiiijiuuuu对上两式的第一式的左边交换求和目的 ，有又 ，所以即因 ，所以 ，即 。ij333( )( )( )( )111babajjiiaiiijiuuuu*ijjiijji33( )( )( )( )11baabaiibiiiiuuuu3( )( )1()0ababiiiuuab3( )( )10abiiiuu( )( )abuu 从定理一和定理二可知， 的对称矩阵有三个独立本征矢，对应于三个本征值。假设这三个本征值互不相等，那么对应的三个本征矢相互垂直。 几何上，可画出三个本征矢，其长度分别为对应的本征值，用它们为主轴作一个椭球。这一椭球就是

9、对称矩阵的几何表示，称之为对称矩阵的本征椭球。 用本征椭球的三个主轴(对称矩阵的三个本征矢)作为标架基矢作一个笛卡尔坐标系，那么在此坐标系中，对称矩阵有对角方式3 30000000abcS 当坐标系转动时，矢量 变成 ，它的三个分量 是 的三个分量 的线性组合上式的矩阵方式其中矩阵 应满足一定的条件，以保证归一化的矢量在转动以后依然归一化，即有由 的恣意性，有 或UU( 1,2,3)iui U(1,2,3)iu i 31iiiiiua uUAUAIU UUAAUUUAAAI1AA满足以上条件的矩阵称为正交矩阵。留意，代表物理量的矩阵 是对称矩阵，即 ；而坐标转动矩阵 那么是正交矩阵，即 。 由

10、于坐标系的转动，使得表示物理量的矩阵也发生变化。变化后的矩阵 与 的关系的推导：在原坐标系中，将S 作用到另一矢量V，有：SU=V；坐标系转动后，这一关系依然应成立，即：由U的恣意性，有 。SSSA1AASSSS UVS AUAVASUS AAS而 ，所以 。可以证明：在坐标转动下，代表物理量的矩阵S的本 征值和本征矢不变。注：当坐标系变换到另一坐标系时，对称矩阵的各个 分量都要发生变化，矩阵不再是对角的了，但是 物理量的本征值和本征矢不因坐标系的变换而变 化，因此相应的椭球在空间中的位置和外形不变。1AASASA定理三 假设对称矩阵S的两个本征值相等 ， 那么和它们对应的本征矢 和 的线性组

11、合 也是S的对应于同一个本征值 的本 征矢。证：本征值方程为将两式分别乘上 和 并相加，得abaubuabuu33( )( )( )( )11,aabbijjiijjijjuuuu3( )( )( )( )1()()ababijjjiijuuuu 上式阐明： 也是S的对应于同一个本征值 的 本征矢。 两个独立矢量 和 的线性组合构成一个平面。因此定理三阐明，和两个相等本征值对应的不是两个特定的本征矢量，而是一个平面，在这一平面中的任意矢量都是和这一本征值对应的本征矢。此时，对应的椭球有两个主轴长度一样，是一个旋转椭球。沿这两个主轴作的椭球的截面是一个圆。这一截面上的任意矢量都可以看成椭球的主轴

12、。可以从中选两个相互abuuaubu垂直的矢量作为椭球的主轴。所以，对于恣意一个 对称矩阵S，总可以找到三个相互垂直的方向，当矢量 沿这三个方向时，S作用到矢量 上不改动它的方向。推行：s 维矢量的定义。定义一 一组s个实数 称为s 维空间中的矢 量。每个 称为这一矢量的分量。定义二 两个矢量的对应分量相乘并求和 称为它 们的标积。3 3uu(1,2,)iuisiu1siiiu v定义三 假设两个矢量的对应分量成正比 就称它 们相互平行。定义四 假设两个矢量的标积 等于零就称它们相 互正交。矩阵的本征值方程成为或者iiucv1siiiu v111111ssssssuuuu1(1,2,)sijj

13、ijuuis定理四 的对称矩阵S有s 个独立的本征矢。对应的本征值为实数。当这s个本征值各不相等时，对应的s 个本征矢相互正交。可以将它们归一化成为一组s 个正交归一的s 维矢量 。当在s 个本征值中有m个本征值相等时，对应的m个独立本征矢的线性组合构成一个m维线性子空间(m 维 “平面)，其中的恣意矢量都是对称矩阵S对应于这一本征值的本征矢。可以从中选出m个相互正交的矢量并加以归一化，成为这个m 维线性子空间中的正交归一完备基。对于一切有相等ss( ),1,2,(1,2,)aiuis as本征值的本征矢都这样处置以后，得到一组s 个矢量 ，满足正交归一条件( ),1,2,(1,2,)aiui

14、s as( )( )1sabiiabiuu三、多自在度耦合振子的集体振动方式对两个自在度的二振子耦合振动系统，势能改写为： 222212121211211221221,1111( ,)()()2221(,)2U x xkxkxx xkx xkx xkkkkk 22 1 122 1 11()212xxUkxkxxxxkxkx 2222 1 1112111112222()kxkxkxkxkxkk 推行到有s个自在度的普通情况，有因此对于有s个自在度的振动系统，拉格朗日函数为：2111122ssLm xkx x112sUkx x拉格朗日方程：又： 运动方程： 为了得到s个质点的集体振动方式，下面来求

15、一切的 以同一频率振动的解。1sLLUm xkxxxx 10(1,2,)sm xkxs0dLLdtxx(1,2,)ix is解的方式：代入运动方程得： 关于 的s个线性齐次方程组Re(1,2,)i txC es210(1,2,)smCk Cs2,11()0(1,2,)ssmCk Cs 2,1()0(1,2,)skmCs C非零解的条件： 关于 的s次代数方程：s个正实数 s个自在度的耦合振子系统有s个本征频率 2,0()kmss 行列式 2(1,2,)iis另一种做法：将乘以 ，并令得到 对称矩阵 的本征值方程 有s个正的本征值 210(1,2,)smCk Cs1m1vm Ckkm m21(1,2,)sk vvsK2(1,2,) s与 相应的本征矢为 。又因此 一切s个自在度 以同一 频率 按特定的方式的协调振动，是 一个集体振动方式，称为简正振动。()()(,1,2,)vsVRei txC evm C()()Re(/)itxvme(1,2,)xs实践的振动是这s个简正振动的线性叠加： 用 表示第 个集体振动方式的广义坐标，称为简正坐标。坐标变换为()1ResitvxAem()ReitQA e()()1svxQm不同的本征矢 有正交性，令 ，有将 乘以