第1章-质点运动学

1、 一个物体相对于另一个物体的空间位置一个物体相对于另一个物体的空间位置随时间发生变化；或一个物体的某一部分相随时间发生变化；或一个物体的某一部分相对于其另一部分的位置随时间而发生变化的对于其另一部分的位置随时间而发生变化的运动。运动。机械运动机械运动 mechanical motion力学力学 mechanics研究物体机械运动及其规律的学科。研究物体机械运动及其规律的学科。 运动学运动学 kinematics动力学动力学 dynamics 以牛顿运动定律为基础，研究物体运动以牛顿运动定律为基础，研究物体运动状态发生变化时所遵循规律的学科。状态发生变化时所遵循规律的学科。 研究物体在空间的位置

2、随时间的变化规研究物体在空间的位置随时间的变化规律以及运动的轨道问题，而并不涉及物体发律以及运动的轨道问题，而并不涉及物体发生机械运动的变化原因。生机械运动的变化原因。静力学静力学 statics1-1-1 质点质点质点 particle具有一定质量的几何点。具有一定质量的几何点。太阳太阳行星行星例如行星绕太阳的运例如行星绕太阳的运动可视为质点的运动。动可视为质点的运动。1-1-2参考系和坐标系 描述物质运动具有相对性描述物质运动具有相对性用以标定物体的空间位置而设置的坐标系统。用以标定物体的空间位置而设置的坐标系统。 物质的运动具有绝对性物质的运动具有绝对性为描述物体的运动而选取的参考物体。

3、为描述物体的运动而选取的参考物体。坐标系坐标系 coordinate system参考系参考系 reference systemoxyz1-2-1 位置矢量与运动方程热带风暴热带风暴位置矢量位置矢量 （位矢）（位矢）position vector即从坐标原点即从坐标原点o o出发，指向质出发，指向质点所在位置点所在位置P P的一的一有向线段有向线段。位矢用坐标值表示为位矢用坐标值表示为：k zj yi xr位矢的大小为：位矢的大小为：222zyxr位矢的方向：位矢的方向：rzryrxcoscoscosP(x,y,z)rzyxox、y、z为矢量为矢量 r 在三个直角坐标方向上的分量。在三个直角坐

4、标方向上的分量。ktzjtyitxr)()()(运动方程运动方程 equation of motion)(trr矢量形式矢量形式参数形式参数形式（分量形式）（分量形式）)()()(tzztyytxx0),(zyxFxozyAB轨道方程轨道方程 orbital equation轨道即运动物体所经各点的连线。轨道即运动物体所经各点的连线。设质点作曲线运动设质点作曲线运动t时刻位于时刻位于A点，位矢点，位矢t+ t时刻位于时刻位于B点，位矢点，位矢ArBr 位移矢量位移矢量 displacement vector 在在 t 时间内，位矢的变化量（即时间内，位矢的变化量（即A到到B的有向的有向线段）为

5、位移矢量，简称线段）为位移矢量，简称位移位移。zyxoBA在直角坐标系中在直角坐标系中kzj yi xr222zyxrzyxoBASpath)即质点在轨道上所经过的曲线长度即质点在轨道上所经过的曲线长度SS。r00ttslimlimrsddrSABrrrAB注意：位移是矢量，路程是标量。位移的大小是直线距离，路程是弧长。注意：位移是矢量，路程是标量。位移的大小是直线距离，路程是弧长。即即但但1-2-3 1-2-3 速度速度速度是反映质点运动的快慢和方向的物理量。速度是反映质点运动的快慢和方向的物理量。速度速度 velocity：单位时间内质点所发生的位移。单位时间内质点所发生的位移。 平均速度

6、 average velocitytB时刻位于时刻位于B点点在在 t 时间内发生的位移为时间内发生的位移为ABrrrBAozyx设质点作一般曲线运动设质点作一般曲线运动tA时刻位于时刻位于A点点平均速度：平均速度的方向与平均速度的方向与 t 时间内位移的方向一致。时间内位移的方向一致。 瞬时速度瞬时速度 instantaneous velocity即质点在某一时刻所具有的速度。即质点在某一时刻所具有的速度。ABozyxvtrvtrtrdd0tlimv速度的方向为轨道上质点所在处的切线方向。速度的方向为轨道上质点所在处的切线方向。速度的矢量式：速度的矢量式：速度的三个坐标分量：速度的三个坐标分量

7、：kyxzvjvivvtztytxzyxdd,dd,ddvvv速度的大小：速度的大小：222zyxvvvvv在在 t时间内，质点所经过路程时间内，质点所经过路程 s 对时间的变化率。对时间的变化率。tsvtststddlim0v一般情况：一般情况：当当 t0时：时： srBA（即平均速度的大小一般不等于平均速率）（即平均速度的大小一般不等于平均速率）（即瞬时速度的大小等于速率）（即瞬时速度的大小等于速率）1-2-4 加速度 acceleration加速度是反映速度变化的物理量。加速度是反映速度变化的物理量。 t 时间内，速度的增量为：时间内，速度的增量为：12vvv平均加速度的方向与速度增量的

8、方向一致。平均加速度的方向与速度增量的方向一致。v2v1vt1时刻，质点速为时刻，质点速为t2时刻，质点速度为时刻，质点速度为1v2vxozy1v2v2r1rtavaverage acceleration当当 t0时，平均加速度的极限即为瞬时加速度。时，平均加速度的极限即为瞬时加速度。220ddddlimtrttatvvkajaiaazyx222222ddddddddddtztatytatxdtdazzyyxxvvv222zyxaaaa加速度的方向在加速度的方向在 当当 t趋向零时的极限方向。趋向零时的极限方向。vinstantaneous acceleration作曲线运动时，加速度指向轨道

9、曲线的凹侧。作曲线运动时，加速度指向轨道曲线的凹侧。运动方程是关键1、已知运动方程，用求导方法求解质点任意时刻、已知运动方程，用求导方法求解质点任意时刻的位置、速度以及加速度。的位置、速度以及加速度。 22ddddddtrtatrtrrvv2、已知运动质点的加速度（或速度）函数，根据、已知运动质点的加速度（或速度）函数，根据初始条件，用积分方法求解质点的运动方程。初始条件，用积分方法求解质点的运动方程。tttata00dd ddvvvvttrrtrtr00dd ddvv运动学的两类基本问题例例1 已知质点的运动方程为已知质点的运动方程为jti tr22192求：求： （1）轨道方程；（）轨道方

10、程；（2）t =2秒时质点的位置、速度秒时质点的位置、速度以及加速度；（以及加速度；（3）什么时候位矢恰好与速度矢垂直？）什么时候位矢恰好与速度矢垂直？(1)消去时间参数消去时间参数（2）j titr42ddv12sm82jiv1222sm25. 882v8575281tgj titr42ddvjta4ddv2sm4a其方向沿其方向沿 y 轴的负方向轴的负方向（3）（4）j tijti tr4221922v)182(4)219(4422ttttt0)3)(3(8ttt)(3)(021stst或或 时两矢量垂直时两矢量垂直例例2 设某一质点以初速度设某一质点以初速度 作直线作直线运动，其加速度为

11、运动，其加速度为 。问：质点在停止前运动的路程有多长？问：质点在停止前运动的路程有多长？vv10ddtadt10dvvtdtt10ln,10d000vvvvvvte100 vvtetxtxtddd,dd100vvv两边积分：两边积分：texttxdd01000 v)1 (1010texm10)01 (10)1 (100) 11 (10)1 (10100100exexm100 xxx例例3 路灯距地面高度为路灯距地面高度为h，身高为，身高为l的人以速度的人以速度v0在路在路上匀速行走。求：（上匀速行走。求：（1）人影头部的移动速度）人影头部的移动速度v； （2）影长增长的速率）影长增长的速率v。

12、 （1）hxlxx21212)(hxxlh两边求导：两边求导：dtdxhdtdxlh12)(012,vvdtdxdtdx其中：lhh0vv， 所以所以ox2xx1hl（2）令令 为影长为影长12xxb2xhlb dtdxhldtdb2 v以以 代入代入得：得：lhl0vv1-2-5 自然坐标系下的速度和加速度 自然坐标系自然坐标系 natural coordinates一种把坐标轴取在轨道的切线和法线方向上的坐标系统。一种把坐标轴取在轨道的切线和法线方向上的坐标系统。规定规定 切向坐标轴取质点前进方向的切向为正，单位矢量为te 法向坐标轴取轨迹的法向凹侧为正，单位矢量为netenesoPQ s

13、nete 坐标原点可根据具体问题取轨道上任意一点 tss ttttetsetseddlim0vvsoPnetetene svQttddddtteevv即速度大小的变化率，其方向指向曲线的切线方向。即速度大小的变化率，其方向指向曲线的切线方向。 tttedtsdedtda22vtangential accelerationttd)(dddteavvtt te2P1P ttesO)()(ttttettee-0,0t当ttee有ttee，在轨道法线即 的方向。nttttettete00limlimddtt te ttetetetettt0limdd所以nettte2P1P ttesOsnnnteee

14、etststtvdd1limdd0nteet2ddvv沿法线方向沿法线方向nteeta2ddvvnnormal acceleration速度的大小：速度的大小：22tnaaa速度的方向（以与切线方向的夹角表示）：速度的方向（以与切线方向的夹角表示）：tnaaarctan例如抛体运动为曲线运动，例如抛体运动为曲线运动，其切向加速度和法向加速度来自重力加速度的分解。其切向加速度和法向加速度来自重力加速度的分解。ntnteetaaa2ddvvnata g1-2-6 圆周运动及其角量描述ABsRxyO质点所在位置的矢径与坐标质点所在位置的矢径与坐标 轴的夹角。轴的夹角。 质点从质点从A转到转到B，矢矢

15、径径转过的角度转过的角度 。规定逆时针转向规定逆时针转向 为正，顺时针转向为正，顺时针转向 为负。为负。tttddlim0tttddlim0圆周运动圆周运动 circular motion ： 即曲率中心和曲率半径保持不变的曲线运动。即曲率中心和曲率半径保持不变的曲线运动。angular velocityangular acceleration直线运动与圆周运动公式的对比：直线运动与圆周运动公式的对比：020220000202200022222 21 2 21 tttxxavvtatvxxtaxxdtddtddtddtxddtdvadtdxvx角量和线量的关系：角量和线量的关系：Rs tRts

16、dddd22RRanvtRtddddvRatRv 2RanRs 可估算人的向心加速度的大小。可估算人的向心加速度的大小。vRzryOx角速度可定义为矢量：角速度可定义为矢量：的方向由右手螺旋法则确定的方向由右手螺旋法则确定:右手的四指循质点的转动方向弯曲，右手的四指循质点的转动方向弯曲，拇指的指向即为角速度矢量的方向。拇指的指向即为角速度矢量的方向。 圆周运动速度和加速度的矢量表示：圆周运动速度和加速度的矢量表示： rvtrrttaddddddvvra即即 Rrr 为切向加速度为切向加速度方向沿着运动的切线方向。方向沿着运动的切线方向。 R2vvvv方向指向圆心方向指向圆心v为法向加速度为法向

17、加速度vra分析分析 中两项的意义中两项的意义 ：vRzryOx例例4 半径为半径为r = 0.2 m的飞轮，可绕的飞轮，可绕 o 轴转动。已知轴转动。已知轮缘上一点轮缘上一点M的运动方程为的运动方程为 = -t2+4t ，求在，求在1秒时刻秒时刻M点的速度和加速度。点的速度和加速度。42 tdtd2dtd1sm4 . 0)412(2 . 0)42(trrv2sm4 . 02 . 0)2(rat222sm8 . 0)412(2 . 0ran222sm89. 0ntaaa4 .634 . 08 . 0tantan11tnaanataaoxv例例5 一质点沿半径为一质点沿半径为R的圆周运动，其路程

18、的圆周运动，其路程s随时间随时间t 的变化规律为的变化规律为 ，式中，式中b、c为大于零为大于零的常数，且的常数，且 。求（。求（1）质点的切向加速度）质点的切向加速度和法向加速度。（和法向加速度。（2）经过多长时间，切向加速度）经过多长时间，切向加速度等于法向加速度。等于法向加速度。221ctbtsRcb 2ctbtsddvctatddvRctbRan22)( vntaa cRcbt解得解得(b) 车作匀速直线运动时，车作匀速直线运动时，地面上的人观察到鸡蛋作地面上的人观察到鸡蛋作抛物线运动。抛物线运动。vv(a) 车作匀速直线运动时车作匀速直线运动时车上的人观察到鸡蛋作车上的人观察到鸡蛋作

19、直线运动。直线运动。vvuyxxySSr0rrrrr0trtrtrdddddd0两边对时间求导两边对时间求导根据矢量相加关系根据矢量相加关系trddv物体相对与物体相对与 系的速度系的速度Strdd0u 系相对与系相对与 系的速度系的速度SStrdd v相对速度相对速度物体相对与物体相对与 系的速度系的速度Svuvaaaaaddtud0dtvdtvdvuv在相对作匀速直线运动的不同参考在相对作匀速直线运动的不同参考系中测量同一质点的加速度相同。系中测量同一质点的加速度相同。当 时：00a牛顿力学的绝对时空观：牛顿力学的绝对时空观：长度测量的绝对性长度测量的绝对性时间测量的绝对性时间测量的绝对性伽利略变换的适用范围：伽利略变换的适用范围：例例6 一观察者坐在平板车上，车以一观察者坐在平板车上，车以10m/s的速率沿的速率沿水平轨道前进。他以与车前进的反方向呈水平轨道前进。他以与车前进的反方向呈 60o角向角向上斜抛出一石块，此时站在地面上的观察者看到石上斜抛出一石块，此时站在地面上的观察者看到石块沿铅垂向上运动。求石块上升的高度。块沿铅垂向上运动。求石块上升的高度。首先需确定石块相对首先需确定石块相对于地面的上升速度。于地面的上升速度。据题意可作矢量图：据题意可作矢量图：1sm3 .1760ta