第五章+几何基础与非欧几何简介

1、 初等几何与几何教学研究之初等几何与几何教学研究之云南师范大学云南师范大学 “国培计划国培计划中西部初中数学骨干教师培训中西部初中数学骨干教师培训”第五章第五章 几何基础与非欧几何简介几何基础与非欧几何简介 几何基础是研究几何学的理论基几何基础是研究几何学的理论基础，以及相关问题的一门学科。础，以及相关问题的一门学科。 题题 记记提提 纲纲一、希尔伯特公理体系一、希尔伯特公理体系 二、非欧几何二、非欧几何 在人类认识的长河中，无论怎在人类认识的长河中，无论怎样高明的前辈和名家，都不可样高明的前辈和名家，都不可能把问题全部解决。欧几里得能把问题全部解决。欧几里得的的“几何公理体系几何公理体系”也

2、并不另也并不另外。有人就曾经列举过外。有人就曾经列举过几何几何原本原本至少存在的以下五个方至少存在的以下五个方面的不足：面的不足：一、希尔伯特一、希尔伯特(Hilbert，David)公理体系公理体系 第一，定义含糊不清，有时无法理解，第一，定义含糊不清，有时无法理解，所用所用的都是一些日常用语，而不是精准的数学的都是一些日常用语，而不是精准的数学语言，如语言，如“点是没有部分的点是没有部分的”，“线是有线是有长度但是没有宽度的长度但是没有宽度的”等等。等等。第二，证明过程常常依赖直观，第二，证明过程常常依赖直观，这样可能由这样可能由于作图的不精准或直观错觉，导致得出不于作图的不精准或直观错觉

3、，导致得出不正确的结论。正确的结论。第三，公理系不完备，第三，公理系不完备，缺少顺序公理、合同缺少顺序公理、合同公理和连续公理（公理和连续公理（事实上欧几里得在逻辑事实上欧几里得在逻辑推理中曾经使用了推理中曾经使用了“连续连续”的概念，但是的概念，但是在在几何原本几何原本中从未提到过这个概念中从未提到过这个概念）。）。第四，有些公理不独立第四，有些公理不独立，例如第四公设，例如第四公设“所所有直角都相等有直角都相等”，很容易从其它公理推导，很容易从其它公理推导出来。出来。 第五，利用图形移动不变性，第五，利用图形移动不变性，用重合来证明用重合来证明全等，此法至少有两点不足：全等，此法至少有两点

4、不足：一是移动、重合概念没有逻辑依据，一是移动、重合概念没有逻辑依据，二是为什么会有图形的移动不变性？二是为什么会有图形的移动不变性？ 哪些几何性质在图形移动中不变都没有交哪些几何性质在图形移动中不变都没有交代清楚，也不可能交代清楚等。代清楚，也不可能交代清楚等。 为了克服以上缺陷，后来者，从多方面展为了克服以上缺陷，后来者，从多方面展开了研究。从公元三世纪的开了研究。从公元三世纪的帕善朗帕善朗到后来到后来的法国数学家的法国数学家达朗贝尔达朗贝尔于于1757年首次对年首次对几何原本几何原本提出批判意见、提出批判意见、勒让德勒让德于于1794年编写新几何教材对年编写新几何教材对几何原本几何原本也

5、也提出了的批判。最后，集大成者应该是德提出了的批判。最后，集大成者应该是德国数学家国数学家希尔伯特希尔伯特。 希尔伯特于希尔伯特于1899年出版了年出版了几何基础几何基础这这一世界公认的公理化方法的经典不朽之作，一世界公认的公理化方法的经典不朽之作，在前人研究成果的基础上建立起了一个相在前人研究成果的基础上建立起了一个相对更加和谐、独立和完备的新的几何公理对更加和谐、独立和完备的新的几何公理体系体系希尔伯特公理体系。它是欧几里希尔伯特公理体系。它是欧几里得得“公理体系公理体系”的继承发展和升华。的继承发展和升华。 希尔伯特公理体系包括三个原始概念：希尔伯特公理体系包括三个原始概念：点、点、线、

6、面；线、面；三个不定义关系：三个不定义关系：在在之间、之间、在在之上、合同于；之上、合同于；五个基本关系五个基本关系：两两个结合关系个结合关系（点与直线结合、点与平面结点与直线结合、点与平面结合合）；）；一个顺序关系一个顺序关系（一点在另两点之一点在另两点之间间）；）；一个合同关系一个合同关系（线段与线段合同、线段与线段合同、角与角合同角与角合同）；以及以下五类（）；以及以下五类（结合公理、结合公理、顺序公理、合同公理、平行公理、连续公顺序公理、合同公理、平行公理、连续公理理）共二十条公理的公理体系。）共二十条公理的公理体系。 第一类公理第一类公理 结合公理（也称为关联公理或从属结合公理（也称

7、为关联公理或从属公理）公理）1 1 对于两个不同的点，必有一条直线通过这两对于两个不同的点，必有一条直线通过这两点。点。2 2 对于两个不同的点，至多有一条直线通过这两对于两个不同的点，至多有一条直线通过这两个点。个点。3 3 每条直线上至少有两个不同的点，至少有三个每条直线上至少有两个不同的点，至少有三个点不在同一直线上。点不在同一直线上。4 4 对于不在一条直线上的三个点，恒有一个平面对于不在一条直线上的三个点，恒有一个平面通过其中每一个点，每个平面上至少有一个点。通过其中每一个点，每个平面上至少有一个点。5 5 对于不在同一直线上的三个点，至多有一个平对于不在同一直线上的三个点，至多有一

8、个平面通过其中每一个点。面通过其中每一个点。6 6 如果一直线有不同两点在某一平面上，如果一直线有不同两点在某一平面上，那么直线全在平面上。那么直线全在平面上。7 7 如果两个平面有一个公共点，那么至少如果两个平面有一个公共点，那么至少还有另一个公共点。还有另一个公共点。8 8 至少有四个点不在同一平面上。至少有四个点不在同一平面上。 显然，由显然，由1 1 、2 2 可以得到我们熟悉的可以得到我们熟悉的两个推理：两个推理：推论推论1：任意不同的两个点确定唯一通过它们：任意不同的两个点确定唯一通过它们的直线。（的直线。（“不同两点确定唯一直线不同两点确定唯一直线”）推论推论2：不同两条直线至多

9、有一公共点。：不同两条直线至多有一公共点。 由由4 、5 也可得到如下我们熟悉的一个也可得到如下我们熟悉的一个推论：推论：推论推论3：任意不在同一直线上的三个点确定唯：任意不在同一直线上的三个点确定唯一的通过它们的平面。（一的通过它们的平面。（“不在同一直线不在同一直线的三点确定唯一平面的三点确定唯一平面”） 另外，如果只是建立平面几何学体系，可另外，如果只是建立平面几何学体系，可以去掉后五个公理。当然，在以去掉后五个公理。当然，在标准标准意意义下，我们主张作为教师还是要全面理解义下，我们主张作为教师还是要全面理解整个体系并能与现行中小学教材中所采用整个体系并能与现行中小学教材中所采用的的“局

10、部公理化体系局部公理化体系”意义下的几何发生意义下的几何发生关联。关联。 第二类公理第二类公理 顺序公理（也称为介于公理）顺序公理（也称为介于公理） 设有同在一直线上的三点，则我们由经验设有同在一直线上的三点，则我们由经验上知道有一个点介于两点之间。上知道有一个点介于两点之间。“介介于于之间之间”或或“在在之间之间”这个概念这个概念乃表示三点的乃表示三点的“顺序关系顺序关系”，希尔伯特采，希尔伯特采用它作为原始概念或称元谊。用它作为原始概念或称元谊。 本组公理有四条：本组公理有四条：1 1 如果点如果点B B在点在点A A和点和点C C之间，那么之间，那么A A，B B，C C是同一直线上的不

11、同的三个点，而且点是同一直线上的不同的三个点，而且点B B也也在点在点A A和点和点C C之间。之间。2 2 对于任意不同的两个点对于任意不同的两个点A A和点和点B B，至少有，至少有一点一点C C，使得点，使得点B B在点在点A A与点与点C C之间。之间。 无序两点无序两点A和和B的集合叫做的集合叫做线段线段，记为，记为AB或或BAA和和B之间的点叫线段之间的点叫线段AB内部的点或内部的点或内点内点或线或线段段AB上的点点上的点点A和和B都称为线段都称为线段AB的的端点端点在直在直线线AB上上, 除去点除去点A、B和线段和线段AB的内点外的内点外, 其它的点其它的点叫做线段叫做线段AB外

12、部的点或外部的点或外点外点 点点A和和B之间的一切之间的一切点的集叫做线段点的集叫做线段AB的的内部内部或或开线段开线段，记为，记为(AB) 3 3 在同一条直线上任意三个不同的点中，在同一条直线上任意三个不同的点中，至多有一个点在其它两个点之间。至多有一个点在其它两个点之间。4 4 （帕须公理）设（帕须公理）设A A，B B，C C三点不在同一三点不在同一条直线上，而直线在平面条直线上，而直线在平面ABCABC上，但不通过上，但不通过A A，B B，C C中任何一点，如果上有一点在中任何一点，如果上有一点在A A和和B B之间，则必还有一点在之间，则必还有一点在A A和和C C或或B B和和

13、C C之间。之间。 最后一个公理是德国数学家最后一个公理是德国数学家帕须帕须（Pasch,1843-1930年）首先提出来的，年）首先提出来的，也叫也叫截割公理截割公理。 同样，如果只是建立平面几何学体系，可同样，如果只是建立平面几何学体系，可以去掉最后一个公理。以去掉最后一个公理。 第三类公理第三类公理 合同公理合同公理 有了有了“在在之间之间”的概念和顺序公理，的概念和顺序公理，就可以得出以下定义：就可以得出以下定义： 线段：介于线段：介于A、B两点之间，有无限多个两点之间，有无限多个点。这些点的全体叫做点。这些点的全体叫做线段线段。 射线：射线：设设O和和A是直线上两点。则除这两点是直线

14、上两点。则除这两点外，在直线上还有无限个点外，在直线上还有无限个点X，使得，使得O不介不介于于A和和X之间，又有无限个点之间，又有无限个点Y，使得，使得O不介不介于于A和和Y之间。所有一切之间。所有一切X点连同点连同A点组成的点组成的总体，以及一切总体，以及一切Y点合成的全体，各叫做一点合成的全体，各叫做一条半线或射线。记着射线条半线或射线。记着射线OX及及0Y.点点0叫端叫端点或原点。点或原点。 角：一点角：一点0及由这点发出的两条射线及由这点发出的两条射线0X与与0Y合起来叫做一个合起来叫做一个角角。 现在我们认定线段与线段之间、角与角之现在我们认定线段与线段之间、角与角之间具有一种相互关

15、系，这个关系我们用间具有一种相互关系，这个关系我们用“合同合同”或或“相等相等”一词表示。有时也用一词表示。有时也用“”来标记。来标记。 这组公理有这组公理有5个：个：1 设设A，B是直线是直线a上两个不同的点，上两个不同的点，A是是同一或另一直线上同一或另一直线上a的点，那么在的点，那么在a和和A的的指定一侧恒有点指定一侧恒有点B，使线段，使线段AB和线段和线段AB合同合同(相等或全合相等或全合),记记为为AB= AB 。2 如果两个线段（相同或是不同的）都与如果两个线段（相同或是不同的）都与第三个线段合同，那么这两个线段合同第三个线段合同，那么这两个线段合同（相等）。简言之，若（相等）。简

16、言之，若AB= AB ， 则则 ABA BA BA B3 设设AB和和BC是直线是直线a上两个没有公共内点上两个没有公共内点的线段，的线段， AB和和BC是同一或另一直线上是同一或另一直线上两个没有公共内点的线段，如果合同，合两个没有公共内点的线段，如果合同，合同，那么同，那么AC和和AC合同。合同。简言之，若简言之，若 AB=AB而且而且BC=BC 那么那么AC=AC （线（线段可加性）。段可加性）。4 已知平面已知平面上的一个角上的一个角(h,k)，同一或，同一或另一平面另一平面上的一条直线上的一条直线a和和a上以上以O为为顶点的射线顶点的射线h，那么，那么上上a的指定一侧恰的指定一侧恰有

17、一条射线有一条射线k，使，使(h,k)与与(h,k)合同；合同； (h,k)与自身合同。与自身合同。5 对于两个三角形对于两个三角形ABC和和ABC ，如果线，如果线段段AB与与AB合同，线段合同，线段AC与与AC合同，合同，BAC与与BAC合同，那么合同，那么ABC与与AB C 合同。合同。 由这些公理可以推证线段与线段或角与角由这些公理可以推证线段与线段或角与角的相等关系并具有的相等关系并具有“反身性反身性”、“对称对称性性”、“传递性传递性”，又可建立关于线段或又可建立关于线段或角的角的“大于大于”、“小于小于”、“加法加法”以及以及“图形的变换图形的变换”等等概念。等等概念。 第四类公

18、理第四类公理 平行公理平行公理 同在一个平面上而且没有公共点的两直同在一个平面上而且没有公共点的两直线叫做平行线，或称两直线相互平行。线叫做平行线，或称两直线相互平行。 以下公理首先由德国数学家普雷费尔以下公理首先由德国数学家普雷费尔（Playfair,17481819rh ）替代）替代“第五公第五公设设”，所以普遍把它叫做，所以普遍把它叫做“普雷费尔公普雷费尔公理理”。 设设a是任意一条直线，是任意一条直线，A是是a外的任意一点，外的任意一点，在在a与与A所确定的平面上，至多有一条直线所确定的平面上，至多有一条直线通过通过A且与且与a不相交。不相交。 第五类公理第五类公理 连续公理连续公理

19、连续公理（戴得金连续公理（戴得金(Dedekind)公理）公理） 若线段若线段AB及及其内部的所有的点能被分为两类，有性质其内部的所有的点能被分为两类，有性质(1) 每点恰属于一类；每点恰属于一类；A属于第一类，属于第一类，B属于第二类；属于第二类；(2) 第一类中异于第一类中异于A的每个点在的每个点在A和每个第二类点之和每个第二类点之间，则存在点间，则存在点C，使，使A和和C之间的点均属于第一类，之间的点均属于第一类，C和和B之间的点均属于第二类点之间的点均属于第二类点C称为戴得金点称为戴得金点或界点（或界点（C可能属于第一类，也可能属于第二类），可能属于第一类，也可能属于第二类），由它决定

20、的分类叫做一个戴得金分割（分由它决定的分类叫做一个戴得金分割（分划）戴得金点是唯一的划）戴得金点是唯一的. 第五类公理第五类公理 连续公理连续公理1 （阿基米德公理或称度量公理）（阿基米德公理或称度量公理）对于任对于任何线段何线段AB与与CD，在以点，在以点A为顶点，通过点为顶点，通过点B的射线上，存在有限点的射线上，存在有限点 ，使，使得线段得线段 都与都与CD合同，而且合同，而且点点B在在A与与An之间之间.12,nA AA1121,nnAA A AAA2 康托公理（或称完备性公理）康托公理（或称完备性公理）设在直线设在直线上给了无限个线段上给了无限个线段AiBi（i=1,2,3,n,）,

21、其中其中Ai+1Bi+1线段的点全属于线段的点全属于 AiBi 。假如无。假如无论给出多么小的线段论给出多么小的线段PQ都能在该串线段中都能在该串线段中总有线段总有线段AiBi小于小于PQ,那么在直线上有且仅那么在直线上有且仅有一占有一占C属于该串线段的每个线段或是其中属于该串线段的每个线段或是其中某些线段的端点。某些线段的端点。 有了有了“度量公理度量公理”，就可以度量任意线段，就可以度量任意线段的的“长度长度”；“康托公理康托公理”能解决相反问能解决相反问题，即保证已知长度的线段必然存在。这题，即保证已知长度的线段必然存在。这两个公理奠定了线段长度的度量理论的基两个公理奠定了线段长度的度量

22、理论的基础。础。 以上介绍的希尔伯特公理体系是一个完备以上介绍的希尔伯特公理体系是一个完备的体系，利用它足以建立系统严密的欧几的体系，利用它足以建立系统严密的欧几里得几何学。或者说，从这一公理体系就里得几何学。或者说，从这一公理体系就能够演绎出全部中小学几何的内容，并且能够演绎出全部中小学几何的内容，并且可以无限发展下去并产生出丰富灿烂的成可以无限发展下去并产生出丰富灿烂的成果。果。 当然，值得说明的是，希尔伯特公理体系当然，值得说明的是，希尔伯特公理体系不是世界上独一无二的完备的公理体系。不是世界上独一无二的完备的公理体系。事实上，人们应用公理化思想构造出了许事实上，人们应用公理化思想构造出

23、了许许多多几何公理体系，如许多多几何公理体系，如外尔的现代欧氏外尔的现代欧氏公理体系（向量基础上），罗巴切夫斯基公理体系（向量基础上），罗巴切夫斯基的非欧几何公理体系等。的非欧几何公理体系等。 特别值得一提的是，我国在特别值得一提的是，我国在大纲大纲意义意义下组织的中小学下组织的中小学数学数学教材，特别是中教材，特别是中学学数学数学教材的内容，原则上都是按公教材的内容，原则上都是按公理化思想指导下按公理化方法组织展开的。理化思想指导下按公理化方法组织展开的。它的体系事实上不是一个严格的公理化体它的体系事实上不是一个严格的公理化体系，而只是一个系，而只是一个“局部公理化体系局部公理化体系”。特。

24、特别是平面几何、立体几何内容的组织，一别是平面几何、立体几何内容的组织，一般地按以下逻辑方式展开的：般地按以下逻辑方式展开的： 各章节教材在具体展开时，为了便于学生各章节教材在具体展开时，为了便于学生接受，一般都增添了便于理解教材内容的接受，一般都增添了便于理解教材内容的实例，采用如下的块状结构：实例，采用如下的块状结构：公式法则定理推理命题公设公理原始概念感性材料、感性材料、实 例 、 背实 例 、 背景景设置公理、设置公理、定 义 、 概定 义 、 概念念引 进 并 证引 进 并 证明 定 理 、明 定 理 、公式公式应 用应 用举举 例例 从全部教材的逻辑结构和具体内容来看，从全部教材的

25、逻辑结构和具体内容来看，总体上体现了公理化的基本思想。但就其总体上体现了公理化的基本思想。但就其公理系统而论，由于考虑到中学生接受能公理系统而论，由于考虑到中学生接受能力和教材的精简，因而对公理独立性的要力和教材的精简，因而对公理独立性的要求不是很严格，而且公理系统也不完备，求不是很严格，而且公理系统也不完备，有时还要借助于直观。例如：有时还要借助于直观。例如：平面几何教平面几何教材，从它的逻辑结构和具体内容看，基本材，从它的逻辑结构和具体内容看，基本上沿用了欧氏几何的不完善的公理系统。上沿用了欧氏几何的不完善的公理系统。 20世纪世纪80年代以来我国的平面几何教材年代以来我国的平面几何教材中

26、一共引进中一共引进几何公理几何公理1616条，等量公理条，等量公理5 5条，条，不等量公理不等量公理6 6条。条。在在16条几何公理中，有条几何公理中，有11条新增公理，条新增公理，5条强化了的公理。条强化了的公理。“两两点之间，线段最短点之间，线段最短”，“同位角相等，同位角相等，则两直线平行则两直线平行”等都是新增的公理；而等都是新增的公理；而“经过直线外一点，有且仅有一条直线经过直线外一点，有且仅有一条直线和这条直线平行和这条直线平行”是强化了的公理。是强化了的公理。 教材的这种处理方案，虽然从公理系统来教材的这种处理方案，虽然从公理系统来说是不够严格的，有悖于公理体系的完备说是不够严格

27、的，有悖于公理体系的完备性和独立性。但是这样做能减少初学者的性和独立性。但是这样做能减少初学者的困难，便于学生接受，从教学论的角度看困难，便于学生接受，从教学论的角度看是有积极作用的。是有积极作用的。 对此，学术界、教育界历来存在不同观点。对此，学术界、教育界历来存在不同观点。其中，我国著名数学教育家张景中院士就其中，我国著名数学教育家张景中院士就曾指出：曾指出：“引进了公理系统，是不是在课引进了公理系统，是不是在课堂上就要把这个公理系统作为平面几何学堂上就要把这个公理系统作为平面几何学习的开端呢？习的开端呢？大可不必。从公理系统大可不必。从公理系统入手讲几何，就像学骑自行车先学上车一入手讲几

28、何，就像学骑自行车先学上车一样，骑自行车本来先要上车，但学骑时可样，骑自行车本来先要上车，但学骑时可以先请别人扶着，爬上车学前进，学会了以先请别人扶着，爬上车学前进，学会了蹬车前进，回过头来学上车是容易的。蹬车前进，回过头来学上车是容易的。” 于是，在于是，在标准标准意义下的意义下的数学数学新教新教材对此作了重大的改革。删去了大部分的材对此作了重大的改革。删去了大部分的公理和定理，弱化了严格的逻辑证明的要公理和定理，弱化了严格的逻辑证明的要求，呈现方式也与原来顺序大不相同，有求，呈现方式也与原来顺序大不相同，有的版本则完全不同。例如，西师版教材就的版本则完全不同。例如，西师版教材就以以“体、面

29、、线、点体、面、线、点”的顺序展开呈现的。的顺序展开呈现的。整个体系也估且算得上是一个整个体系也估且算得上是一个“局部的公局部的公理体系理体系”，谈不上什么，谈不上什么“相容性相容性”、“独独立性立性”和和“完备性完备性”。 但是，实践说明，这样也没有对但是，实践说明，这样也没有对“学生形成学生形成空间观念，形成推理能力空间观念，形成推理能力”产生太大的影响。产生太大的影响。当然，当然，在局部环节上出现了学生演绎推理能在局部环节上出现了学生演绎推理能力下降等现象。然而也没有研究表明这跟教力下降等现象。然而也没有研究表明这跟教材体系有直接的关联。材体系有直接的关联。所有这些还有待我们所有这些还有

30、待我们去认真的研究和讨论。去认真的研究和讨论。 如何用希尔伯特公理体系去推导欧氏几何的如何用希尔伯特公理体系去推导欧氏几何的全部定理全部定理,可参看傅章秀编可参看傅章秀编几何基础几何基础（北京师范大学出版社（北京师范大学出版社,1984年）或希尔伯年）或希尔伯特著特著,江泽涵译江泽涵译几何基础几何基础,科学出版社。科学出版社。二、非欧几何学二、非欧几何学 欧几里得几何学的第五公设，由欧几里得几何学的第五公设，由于并不于并不“自明自明”，引起了历代数，引起了历代数学家的关注。最终，由罗巴切夫学家的关注。最终，由罗巴切夫斯基和黎曼建立起了两种非欧几斯基和黎曼建立起了两种非欧几何学体系。这不仅对数学

31、产生了何学体系。这不仅对数学产生了巨大影响，而且对于人类文化都巨大影响，而且对于人类文化都产生了深刻影响。可以说是人类产生了深刻影响。可以说是人类思想史上的一个奇迹。思想史上的一个奇迹。 1.1.罗巴切夫斯基几何罗巴切夫斯基几何 罗巴切夫斯基罗巴切夫斯基（1792.12.11792.12.11856.2.241856.2.24）几何几何：俄罗斯数学家罗巴切夫斯基在尝试俄罗斯数学家罗巴切夫斯基在尝试解决欧氏第五公设问题的过程中，从失败解决欧氏第五公设问题的过程中，从失败走上他的发现之路的。走上他的发现之路的。 他从他从1815年着手研究平行线理论的。开始年着手研究平行线理论的。开始他也是循着前人

32、的思路，试图给出第五公他也是循着前人的思路，试图给出第五公设的证明。在保存下来的他的学生听课笔设的证明。在保存下来的他的学生听课笔记中，就记有他在记中，就记有他在18161817学年度在几学年度在几何教学中给出的一些证明。可是，很快他何教学中给出的一些证明。可是，很快他便意识到自己的证明是错误的。便意识到自己的证明是错误的。 罗巴切夫斯基从前人和自己的失败的反面罗巴切夫斯基从前人和自己的失败的反面启迪了他，使他大胆思索问题的相反提法：启迪了他，使他大胆思索问题的相反提法：可能根本就不存在第五公设的证明可能根本就不存在第五公设的证明。于是，。于是，他便调转思路，着手寻求第五公设不可证他便调转思路

33、，着手寻求第五公设不可证的解答。这是一个全新的，也是与传统思的解答。这是一个全新的，也是与传统思路完全相反的探索途径。罗巴切夫斯基正路完全相反的探索途径。罗巴切夫斯基正是沿着这个途径，在试证第五公设不可证是沿着这个途径，在试证第五公设不可证的过程中发现了一个崭新的几何世界。的过程中发现了一个崭新的几何世界。 那么，罗巴切夫斯基是怎样证得第五公设那么，罗巴切夫斯基是怎样证得第五公设不可证的呢？又是怎样从中发现新几何世不可证的呢？又是怎样从中发现新几何世界的呢？原来他创造性地运用了处理复杂界的呢？原来他创造性地运用了处理复杂数学问题常用的一种逻辑方法数学问题常用的一种逻辑方法反证法。反证法。 这种

34、反证法的基本思想是，为证这种反证法的基本思想是，为证“第五公第五公设不可证设不可证”，首先对第五公设加以否定，首先对第五公设加以否定，然后用这个否定命题和其它公理公设组成然后用这个否定命题和其它公理公设组成新的公理系统，并由此展开逻辑推演。新的公理系统，并由此展开逻辑推演。 首先假设第五公设是可证的，即第五公设首先假设第五公设是可证的，即第五公设可由其它公理公设推演出来。那么，在新可由其它公理公设推演出来。那么，在新公理系统的推演过程中一定会出现逻辑矛公理系统的推演过程中一定会出现逻辑矛盾，至少第五公设和它的否定命题就是一盾，至少第五公设和它的否定命题就是一对逻辑矛盾；对逻辑矛盾；反之，如果推

35、演不出矛盾，反之，如果推演不出矛盾，就反驳了就反驳了“第五公设可证第五公设可证”这一假设，从这一假设，从而也就间接证得而也就间接证得“第五公设不可证第五公设不可证”。 依照这个逻辑思路，罗巴切夫斯基对第五依照这个逻辑思路，罗巴切夫斯基对第五公设的等价命题公设的等价命题普雷菲尔公理普雷菲尔公理“过平过平面上直线外一点，只能引一条直线与已知面上直线外一点，只能引一条直线与已知直线不相交直线不相交”作以否定，得到否定命题作以否定，得到否定命题“过平面上直线外一点，至少可引两条直过平面上直线外一点，至少可引两条直线与已知直线不相交线与已知直线不相交”，并用这个否定命并用这个否定命题和其它公理公设组成新

36、的公理系统展开题和其它公理公设组成新的公理系统展开逻辑推演。逻辑推演。在推演过程中，他得到一连串在推演过程中，他得到一连串古怪、非常不合乎常理的命题。但是，经古怪、非常不合乎常理的命题。但是，经过仔细审查，却没有发现它们之间存在任过仔细审查，却没有发现它们之间存在任何逻辑矛盾。何逻辑矛盾。 于是，远见卓识的罗巴切夫斯基大胆断言，于是，远见卓识的罗巴切夫斯基大胆断言，这个这个“在结果中并不存在任何矛盾在结果中并不存在任何矛盾”的新的新公理系统可构成一种新的几何，它的逻辑公理系统可构成一种新的几何，它的逻辑完整性和严密性可以和欧几里得几何相媲完整性和严密性可以和欧几里得几何相媲美。而这个无矛盾的新

37、几何的存在，就是美。而这个无矛盾的新几何的存在，就是对第五公设可证性的反驳，也就是对第五对第五公设可证性的反驳，也就是对第五公设不可证性的逻辑证明。由于尚未找到公设不可证性的逻辑证明。由于尚未找到新几何在现实界的原型和类比物，罗巴切新几何在现实界的原型和类比物，罗巴切夫斯基慎重地把这个新几何称之为夫斯基慎重地把这个新几何称之为“想象想象几何几何”。 罗巴切夫斯基开创了数学的一个新领域，罗巴切夫斯基开创了数学的一个新领域，但他的创造性工作在生前始终没能得到学但他的创造性工作在生前始终没能得到学术界的重视和承认。就在他去世的前两年，术界的重视和承认。就在他去世的前两年，俄国著名数学家俄国著名数学家

38、布尼雅可夫斯基布尼雅可夫斯基还在其所还在其所著的著的平行线平行线一书中对罗巴切夫斯基发一书中对罗巴切夫斯基发难，难，他试图通过论述非欧几何与经验认识他试图通过论述非欧几何与经验认识的不一致性，来否定非欧几何的真实性。的不一致性，来否定非欧几何的真实性。 英国著名数学家英国著名数学家莫尔甘莫尔甘对非欧几何的抗拒对非欧几何的抗拒心里表现得就更加明显了，他甚至在没有心里表现得就更加明显了，他甚至在没有亲自研读非欧几何著作的情况下就武断地亲自研读非欧几何著作的情况下就武断地说：说：“我认为，任何时候也不会存在与欧我认为，任何时候也不会存在与欧几里得几何本质上不同的另外一种几何几里得几何本质上不同的另外

39、一种几何。”莫尔甘的话代表了当时学术界对非欧几何莫尔甘的话代表了当时学术界对非欧几何的普遍态度。的普遍态度。 在创立和发展非欧几何的艰难历程上，罗在创立和发展非欧几何的艰难历程上，罗巴切夫斯基始终没能遇到他的公开支持者，巴切夫斯基始终没能遇到他的公开支持者，就连非欧几何的另一位发现者德国的高斯就连非欧几何的另一位发现者德国的高斯也不肯公开支持他的工作。也不肯公开支持他的工作。 高斯是当时数学界首屈一指的学学巨匠，高斯是当时数学界首屈一指的学学巨匠，负有负有“欧洲数学之王欧洲数学之王”的盛名，早在的盛名，早在1792年，也就是罗巴切夫斯基诞生的那一年，年，也就是罗巴切夫斯基诞生的那一年，他就已经

40、产生了非欧几何思想萌芽，到了他就已经产生了非欧几何思想萌芽，到了1817年已达成熟程度。他把这种新几何最年已达成熟程度。他把这种新几何最初初称之为称之为“反欧几何反欧几何”，后称，后称“星空几星空几何何”，最后称，最后称“非欧几何非欧几何”。但是，高斯。但是，高斯由于害怕新几何会激起学术界的不满和社由于害怕新几何会激起学术界的不满和社会的反对，会由此影响他的尊严和荣誉，会的反对，会由此影响他的尊严和荣誉，生前一直没敢把自己的这一重大发现公之生前一直没敢把自己的这一重大发现公之于世，只是谨慎地把部分成果写在日记和于世，只是谨慎地把部分成果写在日记和与朋友的往来书信中。与朋友的往来书信中。 当高斯

41、看到罗巴切夫斯基的德文非欧几何当高斯看到罗巴切夫斯基的德文非欧几何著作著作平行线理论的几何研究平行线理论的几何研究后，内心后，内心是矛盾的，他一方面私下在朋友面前高度是矛盾的，他一方面私下在朋友面前高度称赞罗巴切夫斯基是称赞罗巴切夫斯基是“俄国最卓越的数学俄国最卓越的数学家之一家之一”；另一方面，却又不准朋友向外；另一方面，却又不准朋友向外界泄露他对非欧几何的有关告白，也从不界泄露他对非欧几何的有关告白，也从不以任何形式对罗巴切夫斯基的非欧几何研以任何形式对罗巴切夫斯基的非欧几何研究工作加以公开评论；他积极推选罗巴切究工作加以公开评论；他积极推选罗巴切夫斯基为哥廷根皇家科学院通讯院士夫斯基为哥

42、廷根皇家科学院通讯院士,可是，可是，在评选会和他亲笔写给罗巴切夫斯基的推在评选会和他亲笔写给罗巴切夫斯基的推选通知书中选通知书中,对罗巴切夫斯基在数学上的最对罗巴切夫斯基在数学上的最卓越贡献创立非欧几何却避而不谈。卓越贡献创立非欧几何却避而不谈。罗氏几何的公理系统罗氏几何的公理系统 欧氏、罗氏两种几何的全部基本概念和前四欧氏、罗氏两种几何的全部基本概念和前四组公理组公理IIV均相同均相同,仅第五组公理不同仅第五组公理不同 V (欧几里得平行公理欧几里得平行公理, 简称欧氏平行公理简称欧氏平行公理) 对任何直线对任何直线a和不在其上的任何点和不在其上的任何点A，至多，至多有一直线过有一直线过A且

43、与且与a共面不交共面不交 平行公理的等价命题：平行公理的等价命题：第五公设第五公设 在一平面在一平面上，若一直线与两直线相交，且若同侧所交上，若一直线与两直线相交，且若同侧所交两内角之和小于两直角，则两直线无限延长两内角之和小于两直角，则两直线无限延长后必相交于该侧的一点后必相交于该侧的一点 V*（罗巴切夫斯基平行公理罗巴切夫斯基平行公理, 简称罗氏平行简称罗氏平行公理公理）有这样的直线）有这样的直线a和不在其上的点和不在其上的点A，过过A至少有两条直线与至少有两条直线与a共面不交共面不交 罗氏几何就是公理罗氏几何就是公理I-IV和和V*的一切可能的的一切可能的逻辑推论系统逻辑推论系统. 绝对

44、几何绝对几何(公理系统公理系统)是是欧氏几何欧氏几何(公理系统公理系统)和和罗氏几何罗氏几何(公理系统公理系统)的公共部分的公共部分. 欧欧(罗罗)氏几何公理系统氏几何公理系统 = 绝对几何公理系统绝对几何公理系统 + 欧氏平行公理欧氏平行公理V(V*). 命题命题1*（P1）有两条共面直线有两条共面直线a，b和和截它们的第三条直线截它们的第三条直线c，a与与b被被c所截成的所截成的同侧二内角之和小于二直角，而同侧二内角之和小于二直角，而a和和b不相不相交交 命题命题2*（P2） 有两条共面不交的直线有两条共面不交的直线a和和b以及截它们的第三条直线以及截它们的第三条直线c，a与与b被被c所所

45、截成的同位角不合同截成的同位角不合同 命题命题3*（P3） 在同一平面上，有已知直在同一平面上，有已知直线的一垂线和一斜线不相交线的一垂线和一斜线不相交 命题命题4*（P4）有这样的三角形，它的三高）有这样的三角形，它的三高线不共点（即：有的三角形无垂心）线不共点（即：有的三角形无垂心） 命题命题5*（P5）有这样的不共线的三点，不有这样的不共线的三点，不存在通过它们的圆（即：有的三角形无外存在通过它们的圆（即：有的三角形无外接圆）接圆） 命题命题6*（P6）有这样的角及其内部一点，有这样的角及其内部一点，过此点不能引直线与角的两边都相交过此点不能引直线与角的两边都相交 命题命题7* P7 有

46、一个三角形的内角和小于有一个三角形的内角和小于 命题命题8*（P8）在任何平面上，对于任何）在任何平面上，对于任何锐角及其任一边，都有这样的直线，它垂锐角及其任一边，都有这样的直线，它垂直于该边而不与另一边相交直于该边而不与另一边相交 命题命题9*（P9）两三角形若有三对对应角）两三角形若有三对对应角合同，则此两个三角形合同（合同，则此两个三角形合同（罗氏几何中罗氏几何中特有的三角形合同的判定定理特有的三角形合同的判定定理-角角角定角角角定理理, 记作记作a.a.a.） 【注】【注】 据此据此, 在罗氏几何中不存在一般的相在罗氏几何中不存在一般的相似三角形似三角形. 命题命题10*（P10）对

47、任何直线）对任何直线l及其外任及其外任何点何点A，过，过A至少有两条直线与至少有两条直线与l共面不交共面不交 命题命题11* P11 任何三角形的内角和小于任何三角形的内角和小于 推论推论 凸四边形的内角和小于凸四边形的内角和小于2. 命题命题12*（P12）勾股定理不成立勾股定理不成立 定理定理 三角形的内角和不是常数三角形的内角和不是常数. 证明：证明： 设设ABC的内角和的内角和S()=k为常数为常数. 在在ABC的两边的两边AB和和AC上分别取点上分别取点B和和C, 使得使得AC*C且且AB*B 因为因为ABC和和ABC有公共内角有公共内角A, 于是由于是由S()=k为为常数常数, 可

48、知可知+=k-=+. 但但+=, +=, 从而从而+=+= 2. 即四边形即四边形BCCB的内角和等于的内角和等于2，得出矛，得出矛盾盾2.2.黎曼流形上的几何学：黎曼流形上的几何学： 德国数学家德国数学家G.F.B.黎曼黎曼19世纪世纪中期提出的几何学理论。中期提出的几何学理论。1854年黎曼在哥廷根大学发年黎曼在哥廷根大学发表的题为表的题为论作为几何学基础论作为几何学基础的假设的假设的就职演说，通常被的就职演说，通常被认为是黎曼几何学的源头。认为是黎曼几何学的源头。 在这篇演说中在这篇演说中，黎曼将曲面本身看成一个，黎曼将曲面本身看成一个独立的几何实体，而不是把它仅仅看作欧独立的几何实体，

49、而不是把它仅仅看作欧几里得空间中的一个几何实体几里得空间中的一个几何实体。他首先发。他首先发展了空间的概念，提出了几何学研究的对展了空间的概念，提出了几何学研究的对象应是一种多重广义量象应是一种多重广义量 ，空间中的点可用，空间中的点可用n个实数（个实数（ ）作为坐标来描）作为坐标来描述。这是现代述。这是现代n维微分流形的原始形式，为维微分流形的原始形式，为用抽象空间描述自然现象奠定了基础。用抽象空间描述自然现象奠定了基础。 12,nx xx 这是现代这是现代n维微分流形的原始形式，为用抽维微分流形的原始形式，为用抽象空间描述自然现象奠定了基础。象空间描述自然现象奠定了基础。这种空这种空间上的几何学应基于无限邻近两点间上的几何学应基于无限邻近两点 与与 之间的距离，用微分之间的距离，用微分弧长度平方所确定的正定二次型理解度量。弧长度平方所确定的正定二次型理解度量。这便是这便是黎曼度量黎曼度量。赋予黎曼度量的微分流。赋予黎曼度量的微分流形，就是黎曼流形。形，就是黎曼流形。 12,nx xx1122,nnxdx xdxxdx 黎曼几何以欧几里得几何和种种非欧几何黎曼几何以欧几里得几何和种