第二章：逻辑代数基础

1、第第 2 章章 逻辑代数基础逻辑代数基础 第第 2 章逻辑代数基础章逻辑代数基础 u概述概述u逻辑代数中的常用运算逻辑代数中的常用运算u逻辑代数中的基本定律和常用公式逻辑代数中的基本定律和常用公式u逻辑函数及其表示方法逻辑函数及其表示方法u逻辑函数的公式化简法逻辑函数的公式化简法u逻辑函数的卡诺图化简法逻辑函数的卡诺图化简法第第 2 章章 逻辑代数基础逻辑代数基础2.1 概概 述述主要要求：主要要求： 理解逻辑值理解逻辑值 1 1和和 0 0 的含义。的含义。理解逻辑体制的含义。理解逻辑体制的含义。第第 2 章章 逻辑代数基础逻辑代数基础 用于描述客观事物逻辑关系的数学工具，又称布尔代数用于描

2、述客观事物逻辑关系的数学工具，又称布尔代数 ( (Boole Algebra) )或开关代数。或开关代数。逻辑指事物因果关系的规律。逻辑指事物因果关系的规律。 逻辑代数描述客观事物间的逻辑关系，相应的函数逻辑代数描述客观事物间的逻辑关系，相应的函数称逻辑函数，变量称逻辑变量。称逻辑函数，变量称逻辑变量。逻辑变量和逻辑函数的取值都只有两个，逻辑变量和逻辑函数的取值都只有两个，通常用通常用 1 1和和 0 0 表示。表示。 与普通代数比较与普通代数比较用字母表示变量，用代数式描述客观事物间的关系。用字母表示变量，用代数式描述客观事物间的关系。 相似处相似处 相异处相异处运算规律有很多不同。运算规律

3、有很多不同。 一、一、逻辑代数逻辑代数第第 2 章章 逻辑代数基础逻辑代数基础逻辑代数中的逻辑代数中的 1 1 和和 0 0 不表示数量大小，不表示数量大小，仅表示两种相反的状态。仅表示两种相反的状态。 注意注意例如：开关闭合为例如：开关闭合为 1 1 晶体管导通为晶体管导通为 0 电位高为电位高为 1 1 断开为断开为 0 0 截止为截止为 1 低为低为 0 0二、逻辑体制二、逻辑体制 正逻辑体制正逻辑体制 负逻辑体制负逻辑体制 规定高电平为逻辑规定高电平为逻辑 1 1、低电平为逻辑、低电平为逻辑 0 0 规定低电平为逻辑规定低电平为逻辑 1 1、高电平为逻辑、高电平为逻辑 0 0 通常未加

4、说明，则为正逻辑体制通常未加说明，则为正逻辑体制第第 2 章章 逻辑代数基础逻辑代数基础2.2 逻辑代数中的常用运算逻辑代数中的常用运算 主要要求：主要要求： 掌握逻辑代数的常用运算。掌握逻辑代数的常用运算。掌握逻辑代数的常用复合逻辑运算。掌握逻辑代数的常用复合逻辑运算。掌握常用逻辑符号（国家标准）。掌握常用逻辑符号（国家标准）。 第第 2 章章 逻辑代数基础逻辑代数基础2.2.1 基本逻辑运算基本逻辑运算一、一、与与运算运算 决定某一事件的所有条件都具备决定某一事件的所有条件都具备时，该事件才发生。时，该事件才发生。1 11 11 1YA B0 00 00 00 00 10 10 01 01

5、 0逻辑表达式逻辑表达式 Y = A B 或或 Y = AB 与与门门 ( (AND gate) )入有入有 0 0 出出 0 0入全入全 1 1 出出 1 1灭灭断断断断亮亮合合合合灭灭断断合合灭灭合合断断灯灯 Y开关开关 B开关开关 A开关开关 A、B 都闭合时，都闭合时，灯灯 Y 才亮。才亮。 第第 2 章章 逻辑代数基础逻辑代数基础三、三、非非运算运算决定某一事件的条件满足时，决定某一事件的条件满足时，事件不发生；反之事件发生事件不发生；反之事件发生。 开关闭合时灯灭，开关闭合时灯灭， 开关断开时灯亮。开关断开时灯亮。 0 01 11 10 0YA逻辑表达式逻辑表达式 Y = A 1

6、非非门门( (NOT gate) ) 又称又称“反相器反相器” 入入 0 0 出出 1 1入入 1 1 出出 0 0 第第 2 章章 逻辑代数基础逻辑代数基础二、二、 或或运算运算 决定某一事件的诸条件中，只要有一决定某一事件的诸条件中，只要有一个或一个以上具备时，该事件就发生。个或一个以上具备时，该事件就发生。入有入有 1 1 出出 1 1入全入全 0 0 出出 0 0 0 00 00 01 11 11 1YA B1 10 10 11 11 01 0逻辑表达式逻辑表达式 Y = A + B 或或门门 ( (OR gate) ) 1 开关开关 A 或或 B 闭合或两者都闭合时，灯闭合或两者都闭

7、合时，灯 Y 才亮。才亮。灭灭断断断断亮亮合合合合亮亮断断合合亮亮合合断断灯灯 Y开关开关 B开关开关 A第第 2 章章 逻辑代数基础逻辑代数基础2.2.2 复合逻辑运算复合逻辑运算 与非与非运算运算( (NAND) )先先与与后后非非入有入有 0 0 出出1 1入全入全 1 1 出出 0 01 10 00 00 01 11 1YA B1 10 10 11 11 01 00 01 1 1 1或非或非运算运算 ( NOR )先先或或后后非非入有入有 1 1 出出 0 0入全入全 0 0 出出1 11 10 0 0 0YA B0 00 0 1 10 01 1 0 0与与或或非非 运算运算 ( (A

8、ND OR INVERT) )先先与与后后或或再再非非由基本逻辑运算组合而成由基本逻辑运算组合而成第第 2 章章 逻辑代数基础逻辑代数基础异或异或运算运算 ( (XOR) )入相异出入相异出1 1入相同出入相同出0 0同或同或运算运算 ( (XNOR，即，即异或非异或非) )入相同出入相同出 1 1入相异出入相异出 0 00 00 00 00 01 11 1YA B1 10 10 11 11 01 01 10 00 01 11 11 1YA B0 00 10 10 01 01 0注意注意：异或异或和和同或同或互为反函数，即互为反函数，即第第 2 章章 逻辑代数基础逻辑代数基础国标符号国标符号曾

9、用符号曾用符号美国符号美国符号逻辑符号对照逻辑符号对照 第第 2 章章 逻辑代数基础逻辑代数基础2.3 逻辑代数中的基本定律和常用公式逻辑代数中的基本定律和常用公式主要要求：主要要求： 掌握逻辑代数的掌握逻辑代数的基本定律和常用公式。基本定律和常用公式。掌握逻辑代数的掌握逻辑代数的重要规则。重要规则。第第 2 章章 逻辑代数基础逻辑代数基础2.3.1 逻辑代数中的基本定律逻辑代数中的基本定律 常量间的运算常量间的运算 逻辑变量与常量的运算逻辑变量与常量的运算0 0 0 0 = 0 00 0 1 1 = 0 01 1 0 0 = 0 01 1 1 1 = 1 10 0+ 0 0 = 0 00 0

10、+ 1 1 = 1 11 1 + 0 0 = 1 11 1 + 1 1 = 1 11 1 = 0 00 0 = 1 10 1 律律重迭律重迭律 互补律互补律 还原律还原律 0 0 + A = A1 1 + A = 1 1 1 1 A = A0 0 A = 0 0A + A = A A A = A A+A = 1 1 A A =0 A = A第第 2 章章 逻辑代数基础逻辑代数基础交换律交换律 A + B = B + A A B = B A结合律结合律 (A + B) + C = A + (B + C) (A B) C = A (B C)分配律分配律 A (B + C) = AB + AC A

11、+ BC = (A + B) (A + C) 普通代数没有！普通代数没有！ 与普通代数相似的定律与普通代数相似的定律 推广公式：推广公式：摩根定律摩根定律 ( (又称反演律又称反演律) ) 2.3.1 逻辑代数中的基本定律逻辑代数中的基本定律 第第 2 章章 逻辑代数基础逻辑代数基础A B C A + BC (A + B) (A + C)0 0 00 0 00 0 10 0 10 1 00 1 00 1 10 1 11 0 01 0 01 0 11 0 11 1 01 1 01 1 11 1 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 10 00 0 例例 证明等式证明等式 A

12、 + BC = (A + B) (A + C)。解：解： 真值表法真值表法公式法公式法右式右式 = (A + B) (A + C) 用分配律展开用分配律展开 = AA + AC + BA+ BC= A + AC + AB + BC= A (1 1 + C + B) + BC= A 1 1 +BC= A + BC0 00 00 00 0第第 2 章章 逻辑代数基础逻辑代数基础 A + AB = A (1 + B) = A2.3.2 逻辑代数中的常用公式逻辑代数中的常用公式 AB+AB = A (B+B) =A A+AB= (A+A)(A+B) = A+BAB+AB = A公式公式1：A + AB

13、 = A 公式公式2：A+AB = A+B公式公式3：推广公式：推广公式：A+ABC = A如果两个乘积项中有一个因子是互补的，其它因子都相同，则互补因子是多余的。在两个乘积项中，如果一个乘积项是另一个乘积项的因子时，另一乘积项是多余的。在两个乘积项中，如果一个乘积项的反是另一个乘积项的因子时，则该因子是多余的。第第 2 章章 逻辑代数基础逻辑代数基础 AB+AC+BC= AB+AC+BC(A+A)= AB+AC+ABC+ABC2.3.2 逻辑代数中的常用公式逻辑代数中的常用公式= AB(1 1+C)= AB+AC+AC (1 1+B)AB+AC+BC=AB+AC公式公式4：推广公式：推广公式

14、：AB+AC+BCD =AB+AC 当一个与项中含有原变量当一个与项中含有原变量 A ，另一个与项中含有，另一个与项中含有反变量反变量 A ，而这两个与项中的其余因子都包含在第，而这两个与项中的其余因子都包含在第3个个与项中时，则第与项中时，则第3个与项是冗余项，可以消去。个与项是冗余项，可以消去。第第 2 章章 逻辑代数基础逻辑代数基础 A B + A B = A B A B2.3.2 逻辑代数中的常用公式逻辑代数中的常用公式= (A+B)(A+B)= AA+A B+AB+BB= A B+ABA B + A B = A B + A B 公式公式5：公式含义：将公式含义：将异或异或运算求反便为

15、运算求反便为同或同或 运算。运算。 将将同或同或运算求反时，则为运算求反时，则为异或异或运算。运算。摩根定律摩根定律第第 2 章章 逻辑代数基础逻辑代数基础例例 A+AB=A+B2.3.3 逻辑代数中的三个基本规则逻辑代数中的三个基本规则 一、一、 代入规则代入规则 B均用均用C代替代替 代人规则的成立，其本质是逻辑变量的二值性。即无论在自代人规则的成立，其本质是逻辑变量的二值性。即无论在自变量的定义域还是函数的值域都只能是变量的定义域还是函数的值域都只能是 0 0 或或 1 1 这两个值。因此，这两个值。因此，等式两边的同一个变量被另一个函数取代后，原等式仍然成立。等式两边的同一个变量被另一

16、个函数取代后，原等式仍然成立。利用代入规则能扩展基本定律的应用。利用代入规则能扩展基本定律的应用。 将逻辑等式两边的某一变量均用同一将逻辑等式两边的某一变量均用同一个逻辑函数替代，等式仍然成立。个逻辑函数替代，等式仍然成立。 A A A A均用均用 代替代替A均用均用A代替代替= A+AB=A+B第第 2 章章 逻辑代数基础逻辑代数基础解：解：所以左式所以左式=右式右式 例例 已知已知 A B = A + B，试证明等式中所有出现，试证明等式中所有出现 A 的地的地方用方用 Y = BCD 代入后，等式仍然成立。代入后，等式仍然成立。左式左式 = A B= BCD B= BCD= B + C

17、+ D右式右式 = A + B= BCD + B= B + C + D + B= B + C + D 这个例子证明了这个例子证明了摩根定律的第一种推摩根定律的第一种推广式，用同样的方法广式，用同样的方法可以证明摩根定律的可以证明摩根定律的第二种推广式。第二种推广式。第第 2 章章 逻辑代数基础逻辑代数基础变换时注意：变换时注意：( (1) ) 不能改变原来的运算顺序，必要时用括号加以限定。不能改变原来的运算顺序，必要时用括号加以限定。( (2) ) 原变量变成反变量，反变量换成原变量只对单原变量变成反变量，反变量换成原变量只对单 个变量有效，而对长非号保持不变。个变量有效，而对长非号保持不变。

18、 原运算次序为原运算次序为 二、反演规则二、反演规则 对任一个逻辑函数式对任一个逻辑函数式 Y，将，将“”换成换成“+”，“+”换成换成“”，“0 0”换成换成“1 1”，“1 1”换成换成“0 0”，原变量换成反变量，反变量，原变量换成反变量，反变量换成原变量，则得到原逻辑函数的反函数换成原变量，则得到原逻辑函数的反函数Y 。例例 A B+C + CDY= 求逻辑函数的反函数有两种方法：利用反演规则或摩根求逻辑函数的反函数有两种方法：利用反演规则或摩根定律均可。定律均可。 对逻辑等式两边同时进行反演变换后，等式仍然成立。对逻辑等式两边同时进行反演变换后，等式仍然成立。 如如 两边同时反演变换

19、为两边同时反演变换为 。 BABA BABA BC (A+ ) (C+D)第第 2 章章 逻辑代数基础逻辑代数基础解：解：= A B + A B 例例 已知逻辑函数已知逻辑函数 Y = A B + A B，试用反演规则求，试用反演规则求 Y 。由反演规则可得由反演规则可得Y = ( A + B ) ( A + B )Y 式的反函数也可利用摩根定律求得，这时需要对式的反函数也可利用摩根定律求得，这时需要对等式两边同时求反，再用摩根定律进行变换。等式两边同时求反，再用摩根定律进行变换。Y = A B + A B= A B A B= A B + A B = ( A + B ) ( A + B )注意

20、运算符号的先后顺注意运算符号的先后顺序：先算括号内的，再算逻序：先算括号内的，再算逻辑乘，最后算逻辑加。辑乘，最后算逻辑加。第第 2 章章 逻辑代数基础逻辑代数基础解：解：由反演规则可得由反演规则可得注意：原变量变成反变量，注意：原变量变成反变量，反变量变成原变量只对单个变量反变量变成原变量只对单个变量有效，而对于有效，而对于与非与非、或非或非等长非等长非号则保持不变。号则保持不变。 例例 已知逻辑函数已知逻辑函数 Y = A + B C + D + E，试用反演规则，试用反演规则 求求 Y 。Y = A ( B+C ) D E第第 2 章章 逻辑代数基础逻辑代数基础 三、对偶规则三、对偶规则

21、 对任一个逻辑函数式对任一个逻辑函数式 Y，将，将“”换成换成“+”+”，“+”+”换成换成“”，“0 0”换成换成“1 1”，“1 1”换成换成“0 0”，则得到原逻，则得到原逻辑函数式的对偶式辑函数式的对偶式 Y 。 对偶规则：两个函数式相等，则它们的对偶式也相等。对偶规则：两个函数式相等，则它们的对偶式也相等。 1、应用对偶规则可将基本公式和定律扩展一倍。、应用对偶规则可将基本公式和定律扩展一倍。2、可用于证明逻辑恒等式。如果两个逻辑函数的对偶式、可用于证明逻辑恒等式。如果两个逻辑函数的对偶式相等，则这两个逻辑函数也相等。相等，则这两个逻辑函数也相等。 变换时注意：变换时注意：( (1)

22、 ) 变量上的变量上的非非号不改变。号不改变。 ( (2) ) 不能改变原来的运算顺序。不能改变原来的运算顺序。A + AB = A A (A + B) = A 例例例例第第 2 章章 逻辑代数基础逻辑代数基础2.4 逻辑函数及其表示方法逻辑函数及其表示方法 主要要求：主要要求： 理解并初步掌握理解并初步掌握逻辑函数的建立和表示的方法。逻辑函数的建立和表示的方法。 掌握真值表、逻辑式和逻辑图的特点及其掌握真值表、逻辑式和逻辑图的特点及其相互转相互转换的方法换的方法。 理解理解最小项的概念与编号最小项的概念与编号方法，了解其主要性质方法，了解其主要性质 理解理解最大项的概念与性质最大项的概念与性

23、质，了解逻辑函数最小项，了解逻辑函数最小项和最大项的转换关系。和最大项的转换关系。第第 2 章章 逻辑代数基础逻辑代数基础 例例 图示为控制楼道照明的开关电路。图示为控制楼道照明的开关电路。两个单刀双掷开关两个单刀双掷开关 A 和和 B 分别安装在楼上分别安装在楼上和楼下。上楼之前，在楼下开灯，上楼后和楼下。上楼之前，在楼下开灯，上楼后关灯；反之，下楼之前，在楼上开灯，下关灯；反之，下楼之前，在楼上开灯，下楼后关灯。试画出控制功能与之相同的逻楼后关灯。试画出控制功能与之相同的逻辑电路。辑电路。 ( (1) ) 分析逻辑问题，建立逻辑函数的真值表分析逻辑问题，建立逻辑函数的真值表1 11 1YA

24、 B0 00 00 00 01 11 10 10 11 01 0解：解：方法：找出输入变量和输出函数，对它们的取值方法：找出输入变量和输出函数，对它们的取值作出逻辑规定，然后根据逻辑关系列出真值表。作出逻辑规定，然后根据逻辑关系列出真值表。 设开关设开关 A、B合向左侧时为合向左侧时为 0 0 状态，合向右状态，合向右侧时为侧时为 1 1 状态；状态；Y 表示灯，灯亮时为表示灯，灯亮时为 1 1 状态，灯状态，灯灭时为灭时为 0 0 状态。则可列出真值表为状态。则可列出真值表为 一、逻辑函数的建立一、逻辑函数的建立2.4.1 逻辑函数的建立逻辑函数的建立第第 2 章章 逻辑代数基础逻辑代数基础

25、( (3) ) 画逻辑图画逻辑图 与或与或表达式表达式( (可用可用 2 个个非非门、门、 2 个个与与门和门和 1 个个或门或门实现实现) )异或非异或非表达式表达式( (可用可用 1 个个异异或或门和门和 1 个个非非门实现门实现) ) 设计逻辑设计逻辑电路的基电路的基本原则是本原则是使电路最使电路最简。简。( (2) ) 根据真值表可知，这就是前面讲过的根据真值表可知，这就是前面讲过的同或同或逻辑关系，逻辑关系，写出逻辑式为：写出逻辑式为：BA = A BBAABY 若楼上开关左右两根线互换了，控制是否若楼上开关左右两根线互换了，控制是否仍然有效？此时对应的是什么逻辑关系？仍然有效？此时

26、对应的是什么逻辑关系？第第 2 章章 逻辑代数基础逻辑代数基础 逻辑函数是用以描述数字逻辑系统输出与输入变量逻辑函数是用以描述数字逻辑系统输出与输入变量之间逻辑关系的表达式。之间逻辑关系的表达式。 常采用真值表、逻辑函数式、卡诺图和逻辑图等表示。常采用真值表、逻辑函数式、卡诺图和逻辑图等表示。1. 真值表真值表 描述逻辑函数输入变量的所有取值组合和对应输描述逻辑函数输入变量的所有取值组合和对应输出逻辑函数值排列成的表格称为真值表。出逻辑函数值排列成的表格称为真值表。列列真真值值表表方方法法 ( (1) )按按 n 位二进制数递增的方式列位二进制数递增的方式列 出输入变量的各种取值组合。出输入变

27、量的各种取值组合。( (2) ) 分别求出各种组合对应的输出分别求出各种组合对应的输出 逻辑值填入表格逻辑值填入表格。2.4.1 逻辑函数的建立逻辑函数的建立 二、逻辑函数的表示二、逻辑函数的表示第第 2 章章 逻辑代数基础逻辑代数基础YDCBA输出变量输出变量 输输 入入 变变 量量 的的真真值值表表。求求函函数数例例 CDABY 0 00 00 00 00 01 11 11 10 01 11 11 10 01 11 11 11 11 11 11 10 01 11 11 11 10 01 11 10 00 01 11 11 11 10 01 10 01 10 01 11 10 00 01 1

28、0 00 00 01 11 11 11 10 00 01 11 10 01 10 01 10 00 00 01 10 01 11 10 00 00 01 10 00 01 10 00 00 00 00 00 00 04 个输入个输入变量有变量有 24 = 16 种取种取值组合。值组合。第第 2 章章 逻辑代数基础逻辑代数基础( (1) )找出函数值为找出函数值为 1 1 的项。的项。( (2) )将这些项中输入变量取值为将这些项中输入变量取值为 1 1的用原变量代替，的用原变量代替， 取值为取值为 0 0 的用反变量代替，则得到一系列与项。的用反变量代替，则得到一系列与项。( (3) )将这些

29、与项相加即得逻辑式。将这些与项相加即得逻辑式。2. 逻辑函数式逻辑函数式 用与、或、非等基本逻辑运算表示逻辑函数输用与、或、非等基本逻辑运算表示逻辑函数输入与输出之间的逻辑关系式称为逻辑函数式。入与输出之间的逻辑关系式称为逻辑函数式。逻辑逻辑函数式一般根据真值表、卡诺图或逻辑图写出。函数式一般根据真值表、卡诺图或逻辑图写出。真值表真值表逻辑式逻辑式 例例 ABC100011110 00 01 11 10 01 10 01 10 00 00 01 10 00 01 10 00 01 10 00 0YCBA0 01 11 10 01 10 00 00 01 11 11 11 1逻辑式为逻辑式为 A

30、 B C第第 2 章章 逻辑代数基础逻辑代数基础3. 逻辑图逻辑图 运算次序为先运算次序为先非非后后与与再再或或，因此用三，因此用三级门电路实现之。级门电路实现之。根据逻辑式画根据逻辑式画逻辑图的方法逻辑图的方法: :将各级逻辑运算用将各级逻辑运算用 相应逻辑门去实现。相应逻辑门去实现。 反变量用反变量用非非门实现门实现 与与项用项用与与门实现门实现 相加项用相加项用或或门实现门实现 由逻辑符号及相应连线构成的电路图。由逻辑符号及相应连线构成的电路图。第第 2 章章 逻辑代数基础逻辑代数基础. 波形图波形图 例例 已知输入变量为已知输入变量为A、B、C 和输出为和输出为 Y 的逻辑函数的逻辑函

31、数的真值表，试用波形图表示该逻辑函数。的真值表，试用波形图表示该逻辑函数。 将输入变量可能的取值组合和对应的将输入变量可能的取值组合和对应的输出值按时间顺序画出的波形称为逻辑函输出值按时间顺序画出的波形称为逻辑函数的波形图。数的波形图。100011110 00 01 11 10 01 10 01 11 10 00 01 10 00 01 10 01 11 10 00 0YCBA1 11 11 10 00 00 00 00 01 11 11 11 1输出输出入入输输第第 2 章章 逻辑代数基础逻辑代数基础. 卡诺图卡诺图 真值表的另一种表示形式。真值表的另一种表示形式。解：解：根据真值表给出根据

32、真值表给出 A、B、C 取值的顺序画出取值的顺序画出 A、B、C 的的波形，并在时间上对应画出波形，并在时间上对应画出 Y 波形波形000001010011100101110111第第 2 章章 逻辑代数基础逻辑代数基础在逻辑函数中，如果一个在逻辑函数中，如果一个与与项（乘积项）包含该逻辑函数的全部项（乘积项）包含该逻辑函数的全部变量，且每个变量或以原变量或以反变量只出现一次，则该变量，且每个变量或以原变量或以反变量只出现一次，则该与与项项称为最小项。对于称为最小项。对于 n 个变量的逻辑函数共有个变量的逻辑函数共有 2n 个最小项。个最小项。1. 最小项的定义最小项的定义 一、一、最小项的定

33、义和性质最小项的定义和性质2.4.2 逻辑函数的两种标准形式逻辑函数的两种标准形式1 10 00 00 00 00 00 00 00 01 10 00 00 00 00 00 00 00 01 10 00 00 00 00 00 00 00 01 10 00 00 00 00 00 00 00 01 100 00 00 00 00 00 00 01 10 00 00 00 00 00 00 00 01 10 00 00 00 00 00 00 00 01 1ABC最小项编号最小项编号最小项最小项最小项值最小项值m5m4m3m2m1m0CBACBACBABCACBACBACABCBA三三变变量量

34、最最小小项项表表1 1 11 1 11 1 01 1 01 0 11 0 11 0 01 0 00 1 10 1 10 1 00 1 00 0 10 0 10 0 00 0 0A B Cm7m6编号编号CBACBABCACBACBACABABC第第 2 章章 逻辑代数基础逻辑代数基础2. 最小项的基本性质最小项的基本性质 ( (1) ) 对于变量的任一组取值，只有一个最小项的值为对于变量的任一组取值，只有一个最小项的值为 1 1。( (2) ) 不同的最小项，使其值为不同的最小项，使其值为 1 1 的那组变量取值也不同。的那组变量取值也不同。( (3) ) 对于变量的同一组取值，任意两个最小项

35、逻辑对于变量的同一组取值，任意两个最小项逻辑与与的结的结 果为果为 0 0。( (4) ) 对于变量的同一组取值，全部最小项逻辑对于变量的同一组取值，全部最小项逻辑或或的结果为的结果为 1 1。 1 10 00 00 00 00 00 00 00 01 10 00 00 00 00 00 00 00 01 10 00 00 00 00 00 00 00 01 10 00 00 00 00 00 00 00 01 100 00 00 00 00 00 00 01 10 00 00 00 00 00 00 00 01 10 00 00 00 00 00 00 00 01 1ABC最小项编号最小项编

36、号最小项最小项最小项值最小项值m5m4m3m2m1m0CBACBACBABCACBACBACABCBA三三变变量量最最小小项项表表1 1 11 1 11 1 01 1 01 0 11 0 11 0 01 0 00 1 10 1 10 1 00 1 00 0 10 0 10 0 00 0 0A B Cm7m6编号编号CBACBABCACBACBACABABC第第 2 章章 逻辑代数基础逻辑代数基础3.最小项编号最小项编号 最小项用最小项用 m 表示表示,通常用十进制数作为最小项的下标编号。通常用十进制数作为最小项的下标编号。编号方法是：将最小项中的原变量当作编号方法是：将最小项中的原变量当作1

37、1，反变量当作，反变量当作 0 0 ，则得，则得一组二进制数，其对应的十进制数便为最小项的编号。一组二进制数，其对应的十进制数便为最小项的编号。例如例如 BCA0110113m3m44100100CBA4. 最小项表达式最小项表达式 标准标准与与- -或或表达式表达式 在在与或与或逻辑函数表达式中，有时逻辑函数表达式中，有时与与项并不是最小项，这项并不是最小项，这时可利用时可利用 A + A = 1 1的形式补充缺少的变量，将逻辑函数变化的形式补充缺少的变量，将逻辑函数变化成最小项之和的最小项表达式，又称标准成最小项之和的最小项表达式，又称标准与与- -或或式。式。第第 2 章章 逻辑代数基础

38、逻辑代数基础 例例 将逻辑函数将逻辑函数 Y = AB + AC + BC 变换为最小项表变换为最小项表达式。达式。 解：解：(1) 利用利用 A + A = 1 的形式作配项，补充缺少的变量的形式作配项，补充缺少的变量Y = AB( C + C ) +AC( B + B ) +BC( A + A )= ABC + AB C + ABC + A B C + ABC + A BC(2) 利用利用 A + A = A 的形式合并相同的最小项的形式合并相同的最小项Y = A BC + A B C + AB C + ABC= m3 + m5 + m6 + m7= m ( 3,5,6,7 ) 第第 2

39、章章 逻辑代数基础逻辑代数基础解：解：(2) 利用利用 A + A = 1 的形式做配项，变换为标准的形式做配项，变换为标准与与或或表达式表达式(3) 利用利用 A + A = A 的形式合并相同的最小项的形式合并相同的最小项= m ( 4,5,8,12 ) (1) 利用摩根定律将逻辑函数式变换为利用摩根定律将逻辑函数式变换为与与或或表达式表达式 例例 将逻辑函数将逻辑函数 Y = ( A + C )( C + D )+ A B 变换为变换为标准标准与与或或表达式。表达式。 = ( A C + C D ) ( A + B )= A B C + A C D + B C DY = A B C (

40、D + D ) +AC D ( B + B ) +BC D ( A + A )= ABCD+ABC D+ABC D+A B C D+ABC D+A BC DY = A BC D+ A B C D + A B C D + AB C DY = ( A + C + C + D ) A B第第 2 章章 逻辑代数基础逻辑代数基础 在逻辑函数中，如果一个在逻辑函数中，如果一个或或项包含了该逻辑函数的全部变量，项包含了该逻辑函数的全部变量，且每个变量或以原变量或以反变量只出现一次，则称该且每个变量或以原变量或以反变量只出现一次，则称该或或项为最大项为最大项。对于项。对于 n 个变量的逻辑函数共有个变量的逻

41、辑函数共有 2n 个最大项。个最大项。1. 最大项的定义最大项的定义 二、二、最大项的定义和性质最大项的定义和性质三变量最大项表三变量最大项表0 01 11 11 11 11 11 11 11 10 01 11 11 11 11 11 11 11 10 01 11 11 11 11 11 11 11 10 01 11 11 11 11 11 11 11 10 01 11 11 11 11 11 11 11 10 01 11 11 11 11 11 11 11 10 01 11 11 11 11 11 11 11 10 0A+B+C最大项编号最大项编号最大项最大项最最 大大 项项 值值M5M4M

42、3M2M1M0111111110110101101100100011011010010001001000000ABCM7M6编号编号A+B+CA+B+C A+B+C A+B+C A+B+C A+B+C A+B+C A+B+CA+B+CA+B+CA+B+CA+B+CA+B+CA+B+CA+B+C第第 2 章章 逻辑代数基础逻辑代数基础2. 最大项的基本性质最大项的基本性质 ( (1) ) 对于变量的任一组取值，只有一个最大项的值对于变量的任一组取值，只有一个最大项的值 为为 0 0。( (2) ) 不同的最大项，使其值为不同的最大项，使其值为 0 0 的那组变量取值也不同。的那组变量取值也不同。

43、( (3) ) 对于变量的同一组取值，任意两个最大项逻辑对于变量的同一组取值，任意两个最大项逻辑或或的结的结 果为果为 1 1。(4)(4) 对于变量的同一组取值，全部最大项逻辑对于变量的同一组取值，全部最大项逻辑与与的结果为的结果为 0 0。 3. 最大项编号最大项编号 最大项用最大项用 M 表示，通常用十进制数作最大项的下标编号。表示，通常用十进制数作最大项的下标编号。其编号方法正好和最小项相反。将最大项中的原变量当作其编号方法正好和最小项相反。将最大项中的原变量当作 0 0，反变量当作反变量当作 1 1 ，则得一组二进制数，其对应的十进制数便为，则得一组二进制数，其对应的十进制数便为最大

44、项的编号。最大项的编号。例如例如 CBA0100102M2M44100100CBA第第 2 章章 逻辑代数基础逻辑代数基础例如例如 44MCBACBACBAm 4. 最大项和最小项的关系最大项和最小项的关系 (1) 对于同一个逻辑函数，下标编号相同的最大项和最小对于同一个逻辑函数，下标编号相同的最大项和最小项应为互为反函数，即项应为互为反函数，即 Mi= mi mi = Mi 44mCBACBACBAM (2) 对于同一个逻辑函数，其最小项表达式和最大项表达对于同一个逻辑函数，其最小项表达式和最大项表达式的下标在下标集合中为互补关系，即没有出现在最小项表式的下标在下标集合中为互补关系，即没有出

45、现在最小项表达式中的下标，一定是最大项表达式的下标，反之亦然。达式中的下标，一定是最大项表达式的下标，反之亦然。例如例如 已知某逻辑函数最小项表达式为：已知某逻辑函数最小项表达式为： 则它的最大项表达式就是：则它的最大项表达式就是： )7 , 4 , 2 , 1(),(mCBAY)6 , 5 , 3 , 0(),(MCBAY 第第 2 章章 逻辑代数基础逻辑代数基础解：解：Y = ( A + C ) ( A + B ) = M0 M2 M4 M5= M ( 0,2,4,5 ) 例例 将逻辑函数将逻辑函数 Y = ( A + C ) ( A + B ) 变换为最大项变换为最大项表达式。表达式。

46、利用利用 A +B B = ( A + B )( A + B ) 补充缺少的变量，再写补充缺少的变量，再写出最大项表达式出最大项表达式= ( A+B+C ) ( A+B+C ) ( A+B+C ) ( A+B+C )= ( A + C + B B ) ( A + B + C C )A+BC=(A+B)(A+C)A+BC=(A+B)(A+C)第第 2 章章 逻辑代数基础逻辑代数基础 例例2.4.7 2.4.7 三三变量逻辑函数的真值表如图所示。试写变量逻辑函数的真值表如图所示。试写出它的最小项表达式和最大项表达式。出它的最小项表达式和最大项表达式。 100011111 10 01 11 11 1

47、1 10 01 10 00 00 01 10 00 01 10 00 01 10 00 0YCBA1 11 11 10 00 00 00 00 01 11 11 11 1输出输出入入输输解：解：写最小项表达式写最小项表达式Y = A BC + A B C + AB C + ABC= m3 + m5 + m6 + m7= m ( 3,5,6,7 ) 将将 Y=1 对应的最小项进行逻辑加对应的最小项进行逻辑加第第 2 章章 逻辑代数基础逻辑代数基础 例例2.4.7 2.4.7 三三变量逻辑函数的真值表如图所示。试写变量逻辑函数的真值表如图所示。试写出它的最小项表达式和最大项表达式。出它的最小项表达

48、式和最大项表达式。 100011111 10 01 11 11 11 10 01 10 00 00 01 10 00 01 10 00 01 10 00 0YCBA1 11 11 10 00 00 00 00 01 11 11 11 1输出输出入入输输解：解：写最大项表达式写最大项表达式(1) 将将 Y=对应的最小项进行逻辑加对应的最小项进行逻辑加(2) 写最大项表达式写最大项表达式Y = A B C + A B C + A B C + A B C = A B C A B C A B C A B C= M0 M1 M2 M4= M ( 0,1,2,4 ) = ( A+B+C ) ( A+B+C

49、 ) ( A+B+C ) ( A+B+C )Y = A B C + A B C + A B C + A B C可直接写出可直接写出Y=0Y=0的最大值的最大值第第 2 章章 逻辑代数基础逻辑代数基础解：解：变换为最小项表达式变换为最小项表达式Y = A B ( B + C ) = ( A + B ) ( B + C )=AB+AC+BC 例例2.4.82.4.8将逻辑函数将逻辑函数 Y = ( A B )( B + C ) 变换为最小变换为最小项表达式和最大项表达式。项表达式和最大项表达式。 (1) 将逻辑函数式变换为将逻辑函数式变换为与与或或表达式表达式(2) 利用利用 A + A = 1

50、的形式将上式变换为最小项表达式的形式将上式变换为最小项表达式= m1 +m5 +m6 +m7= m ( 1,5,6,7 ) = ABC+ABC+ABC+ABC+ABC+ABCY = AB( C+ C )+AC ( B + B)+BC (A+ A)=ABC+ABC+ABC+ABC第第 2 章章 逻辑代数基础逻辑代数基础解：解：变换为最大项表达式变换为最大项表达式Y = A B ( B + C ) = ( A + B ) ( B + C ) 例例2.4.82.4.8将逻辑函数将逻辑函数 Y = ( A B )( B + C ) 变换为最小变换为最小项表达式和最大项表达式。项表达式和最大项表达式。

51、(1) 将逻辑函数式变换为将逻辑函数式变换为或或与与表达式表达式(2) 利用利用 A +B B = ( A + B )( A + B ) 的形式将上式变换的形式将上式变换为最大项表达式为最大项表达式= M0 M2 M3 M4= M ( 0,2,3,4 ) = ( A+B+C ) ( A+B+C ) ( A+B+C ) ( A+B+C )Y = ( A + B + C C ) ( B + C + A A )第第 2 章章 逻辑代数基础逻辑代数基础2.5 逻辑函数的公式化简法逻辑函数的公式化简法 主要要求：主要要求： 了解逻辑函数式的常见形式及其相互转换。了解逻辑函数式的常见形式及其相互转换。熟悉

52、逻辑函数的熟悉逻辑函数的公式化简法公式化简法。理解理解最简最简与与- -或或式和最简式和最简与非与非- -与非与非式式的标准。的标准。 掌握逻辑函数的掌握逻辑函数的卡诺图化简法卡诺图化简法。第第 2 章章 逻辑代数基础逻辑代数基础2.5.1 逻辑函数的最简表达式逻辑函数的最简表达式化化简简意意义义使逻辑式最简，以便设计出最简的逻辑电路，使逻辑式最简，以便设计出最简的逻辑电路，从而节省元器件、优化生产工艺、降低成本和提从而节省元器件、优化生产工艺、降低成本和提高系统可靠性。高系统可靠性。 不同形式的逻辑式有不同的最简式，一般先求不同形式的逻辑式有不同的最简式，一般先求取最简取最简与与- -或或式

53、，然后通过变换得到所需最简式。式，然后通过变换得到所需最简式。 一、化简逻辑函数的意义一、化简逻辑函数的意义第第 2 章章 逻辑代数基础逻辑代数基础最简最简与与 - - 或或式标准式标准 ( (1) )乘积项乘积项( (即即与与项项) )的个数最少的个数最少( (2) )每个乘积项中的变量数最少每个乘积项中的变量数最少 用用与与门个数最少门个数最少与与门的输入端数最少门的输入端数最少 最简最简与非与非 - - 与非与非式标准式标准( (1) )非非号个数最少号个数最少( (2) )每个每个非非号中的变量数最少号中的变量数最少 用用与非与非门个数最少门个数最少与非与非门的输入端数最少门的输入端数

54、最少 第第 2 章章 逻辑代数基础逻辑代数基础例：证明以下例：证明以下4个个“与或与或”表达式相等，并判断哪个是最简表达式相等，并判断哪个是最简与或与或式式=BC+ACZ=AC+BC+AB+AC =AC+BC+AC =AC+ABC+AC =AC+AB+AC=(A+B)C=(A+AB)C=AC+ABCA+AB=A+B=A(BC+C)=A(B+C)=AB+AC判断：判断： 1式含式含4个与项，肯定不是最简式。个与项，肯定不是最简式。 2、4式每个与项含式每个与项含2个变量，个变量，3式有一个与项含式有一个与项含3个变量。个变量。 结论：结论：2、4式同为该函数的最简与或表达式式同为该函数的最简与或

55、表达式公式公式3：A+AB=A+B第第 2 章章 逻辑代数基础逻辑代数基础逻辑式有多种逻辑式有多种形式，采用何形式，采用何种形式视需要种形式视需要而定。各种形而定。各种形式间可以相互式间可以相互变换。变换。 例如例如 CBBAY )(CBBA CBBA CBBA BCBA 与与- -或或表达式表达式 或或- -与与表达式表达式 与非与非- -与非与非表达式表达式 或非或非- -或非或非表达式表达式 与与- -或或- -非非表达式表达式 转转换换方方法法举举例例与与- -或或式式 与非与非- -与非与非式式 用还原律用还原律 用摩根定律用摩根定律 CBBAY CBBA CBBA 或或 - -与与

56、式式 或非或非- -或非或非式式 与与- -或或- -非非式式 用还原律用还原律 用摩根定律用摩根定律 用摩根定律用摩根定律 )(CBBAY )(CBBA CBBA BCBA 二、逻辑函数的常见表达形式二、逻辑函数的常见表达形式 第第 2 章章 逻辑代数基础逻辑代数基础2.5.2 逻辑函数的公式化简法逻辑函数的公式化简法 运用逻辑代数的基本定律和公式运用逻辑代数的基本定律和公式对逻辑式进行化简。对逻辑式进行化简。 并项法并项法 运用运用 ，将两项合并为一项，并消去一个变量。将两项合并为一项，并消去一个变量。 ABAAB BA )(CBACBA A CBACBAY 例例 )()(CBCBACBB

57、CAY 例例 第第 2 章章 逻辑代数基础逻辑代数基础AB 吸收法吸收法 运用运用A+AB =A 和和 ，消去多余的消去多余的与与项。项。 CAABBCCAAB BDCADABC )(BDDACACB DACACB DCDAABC )(FEABABY 例例 BDDCDAABCY 例例 第第 2 章章 逻辑代数基础逻辑代数基础消去法消去法 运用运用 ，消去多余因子。，消去多余因子。BABAA CBAAB)( CABAB CAB )(BAABCDBABA BACDBA )(CDBA )(CDBABA CBCAABY 例例 CDBAABCDBABAY 例例 第第 2 章章 逻辑代数基础逻辑代数基础配

58、项法配项法 DCBADCABCBAB CBAB ABABCCAB ABABCCABAB )(ABABCABCAB CBAABC 例例 例例 通过乘通过乘 或加入零项或加入零项 进行配项，然后再化简。进行配项，然后再化简。A+A=1 1A A = 0 0第第 2 章章 逻辑代数基础逻辑代数基础综合灵活运用上述方法综合灵活运用上述方法 例例 化简逻辑函数化简逻辑函数 EFBEFBABDCAABDAADY 解：解： EFBEFBABDCAABAY EFBBDCAA 应用应用BABAA EFBBDCA 应用应用1 AA应用应用AABA 第第 2 章章 逻辑代数基础逻辑代数基础综合灵活运用上述方法综合灵

59、活运用上述方法 解：解： )(GFADEDBDBCBCBCBAY )(GFADEDBDBCBCBA DBDBCBCBA )()(CCDBDBCBDDCBA 例例 化简逻辑函数化简逻辑函数 )(GFADEDBDBCBCBCAABY 应用配项法应用配项法用摩根定律用摩根定律应用应用AABA DCBDBCDBCBDCBCDBA )()()(DCBCBDCBDCBDBCDBA )1()()1(DCBBBDCCDBA CBDCDBA 应用应用BABAA 第第 2 章章 逻辑代数基础逻辑代数基础 例例 化简逻辑函数化简逻辑函数)(CACABCBACY 解：解： )()()()(CAACBCBACCACAB

60、CBACCACABCBACY CBACBACCBAY CBACY (2) 利用分配律去掉括号利用分配律去掉括号(1) 利用摩根定律进行变换利用摩根定律进行变换(3) 利用利用 A + AB = A分别消去含因子分别消去含因子AC 及及 BC 的乘积项的乘积项第第 2 章章 逻辑代数基础逻辑代数基础主要要求：主要要求： 掌握用卡诺图表示和化简逻辑函数的方法。掌握用卡诺图表示和化简逻辑函数的方法。 理解理解卡诺图的意义和卡诺图的意义和构成原则。构成原则。 掌握无关项的含义及其在卡诺图化简法中掌握无关项的含义及其在卡诺图化简法中的应用。的应用。 2.6逻辑函数的卡诺图化简法逻辑函数的卡诺图化简法第第