第七章线性变换教案7.3

1、的线性变换的线性变换. 则对任意则对任意 存在唯一的一组数存在唯一的一组数V 1设是线性空间设是线性空间V的一组基，为的一组基，为V12,n 使使12,nx xxP 1 122nnxxx从而，从而，1122( )()()().nnxxx 2设是线性空间设是线性空间V的一组基，为的一组基，为 ,n 12,V的线性变换，若的线性变换，若 ()(),1,2, .iiin 则则 .(),1,2,iiin 分析分析 1 122,nnVxxx 设设:,VV 定义定义 1122nnxxx ，12,n 都存在线性变换使都存在线性变换使 任意任意n个向量个向量3设是线性空间设是线性空间V的一组基，对的一组基，对

2、V中中n 12,易知为易知为V的一个变换且它是线性的的一个变换且它是线性的. 由由2与与3即即得得设设为线性空间为线性空间V的一组基，的一组基，12,n 对对V中任意中任意n个向量存在唯一的线性个向量存在唯一的线性12,n 1,2, .iiin ，变换使变换使 , 设为数域设为数域P上线性空间上线性空间V的一组基，的一组基， 12,n 为为V的线性变换的线性变换. 基向量的象可以被基线性表出基向量的象可以被基线性表出,设设用矩阵表示即为用矩阵表示即为 11 1212112122221122()()()nnnnnnnnnn 1 12 2 121212,nnnA 其中其中 111212122212

3、,nnnnnnA 单位变换在任意一组基下的矩阵皆为单位矩阵；单位变换在任意一组基下的矩阵皆为单位矩阵； 零变换在任意一组基下的矩阵皆为零矩阵；零变换在任意一组基下的矩阵皆为零矩阵； 矩阵矩阵A称为称为线性变换在基下的矩阵线性变换在基下的矩阵. 12,n 在取定一组基下在取定一组基下 的矩阵是唯一的的矩阵是唯一的. 数乘变换在任意一组基下的矩阵皆为数量矩阵；数乘变换在任意一组基下的矩阵皆为数量矩阵； 例例1. 设线性空间设线性空间 的线性变换为的线性变换为 3P1231212(,)(,)x xxx xxx 求在标准基下的矩阵求在标准基下的矩阵. 123, 例例2. 设为设为n维线性空间维线性空间

4、V的子空的子空12,()mmn 间间W 的一组基，把它扩充为的一组基，把它扩充为V的一组基：的一组基： 12,.n 并定义线性变换：并定义线性变换： 1,2,01,iiiimimn 121211,00nn 则则 m行行称这样的变换为称这样的变换为对子空间对子空间W的一个投影的一个投影. 易验证易验证 2. 练习练习 P322页第页第9题题 设设为数域为数域P上线性空间上线性空间V的一组的一组12,n 的唯一一个矩阵对应，且具有以下性质：的唯一一个矩阵对应，且具有以下性质：基，在这组基下，基，在这组基下，V的每一个线性变换都与的每一个线性变换都与 中中n nP 线性变换的和对应于矩阵的和；线性变

5、换的和对应于矩阵的和； 线性变换的乘积对应于矩阵的乘积；线性变换的乘积对应于矩阵的乘积； 线性变换的数量乘积对应于矩阵的数量乘积；线性变换的数量乘积对应于矩阵的数量乘积； 可逆线性变换与可逆矩阵对应，且逆变换对应可逆线性变换与可逆矩阵对应，且逆变换对应于逆矩阵于逆矩阵. 定理定理3 设线性变换在基设线性变换在基 下的矩阵为下的矩阵为A,12,n 在基下的坐标为在基下的坐标为12,n V 12(,),nx xx( ) 在基下的坐标为在基下的坐标为12,n 12(,),nyyy则有则有 1122nnyxyxAyx. .下的矩阵分别为下的矩阵分别为A、B，且从基，且从基() 到基到基()的过渡的过渡

6、矩阵矩阵是矩阵矩阵是X，则，则1.BXAX 12,n ()12,n , ,() 定理定理4 设线性空间设线性空间V的线性变换在两组基的线性变换在两组基 设设A、B为数域为数域P上的两个上的两个n级矩阵，若存在可逆级矩阵，若存在可逆 矩阵矩阵 使得使得 ,n nXP BXAX -1-1则称矩阵则称矩阵A相似于相似于B，记为，记为 AB. .（1）相似是一个等价关系，即满足如下三条性质：相似是一个等价关系，即满足如下三条性质：(2)(2) 线性变换在不同基下的矩阵是相似的；线性变换在不同基下的矩阵是相似的；同一线性变换在两组基下所对应的矩阵同一线性变换在两组基下所对应的矩阵.反过来，如果两个矩阵相似，那么它们可以看作反过来，如果两个矩阵相似，那么它们可以看作（3）相似矩阵的运算性质相似矩阵的运算性质 若若 则则111122,BXA XBXA X11212(),BBXAA X 1( )( ).f BXf A X 即，即，12121212,.AABBA AB B特别地，特别地， 1.mmBXA X 11212().B BXA A X 若则若则 1,( ) ,BXAXf xP x 例例3.设设 为线性空间为线性空间V一组基，一组基， 线性变换在线性变换在 12, 这组基下的矩阵为这