很好的拉普拉斯变换讲解

1、第7章拉普拉斯变换之巴公共开创作拉普拉斯(Laplace)变换是分析和求解常系数线性微分方程的一种简便的方法，而且在自动控制系统的分析和综合中也起着重要的作用.本章将扼要地介绍拉普拉斯变换(以下简称拉氏变换)的基本概念、主要性质、逆变换以及它在解常系数线性微分方程中的应用.在代数中，直接计算是很复杂的，而引用对数后，可先把上式变换为13lgNlg6.28-(lg5781lg9.82lg20)-lg1.16435,然后通过查经常使用对数表和反对数表，就可算得原来要求的数N.这是一种把复杂运算转化为简单运算的做法，而拉氏变换则是另一种化繁为简的做法.拉氏变换的基本概念f(t)eptdt,定义设函数

2、f当t0时有定义，若广义积分0在P的某一区域内收敛，则此积分就确定了一个参量为P的函数，记作f(p),即F(P)f(t)eptdt0(7-1)称(7-1)式为函数f的拉氏变换式，用记号Lf(t)f(p)暗示.函数f(p)称为f的拉氏变换(Laplace)(或称为f(t)的象函数).函数f称为F(P)的拉氏逆变换(或称为F(P)象原函数)，记作1_-1_LF(P)f(t),即f(t)LF(P).关于拉氏变换的定义，在这里做两点说明：(1)在定义中，只要求f在t0时有定义.为了研究拉氏变换性质的方便，以后总假定在t0时，f(t)0.(2)在较为深入的讨论中，拉氏变换式中的参数P是在复数范围内取值.

3、为了方便起见，本章我们把P作为实数来讨论，这其实不影响对拉氏变换性质的研究和应用.(3)拉氏变换是将给定的函数通过广义积分转换成一个新的函数，它是一种积分变换.一般来说，在科学技术中遇到的函数，它的拉氏变换总是存在的.例7-1求一次函数f(t)at(t。，2为常数)的拉氏变换.Latateptdt-td(ept)更ept0-eptdt解0p0pp0aptapta0edt2-e02p0pp(p0)*单位脉冲函数及其拉氏变换在研究线性电路在脉冲电动势作用后所发生的电流时，要涉及到我们要介绍的脉冲函数，在原来电流为零的电路中，某一瞬时(设为t0)进入一单位电量的脉冲，现要确定电路上的电流i(t),以

4、Q(t)暗示上述电路中的电量，则由于电流强度是电量对时间的变更率，即i(t)幽limQ(tt)Q(t)dtt0t,所以，当t0时，i(t)0;当t0时，Q(0t)Q(0).1.i(0)limlim()t0tt0t上式说明，在通常意义下的函数类中找不到一个函数能够用来暗示上述电路的电流强度.为此，引进一个新的函数，这个函数称为狄拉克函数.定义0,t01(t),0t设0t，当0时，的极限称为狄拉克(Dirac)函数，简称为函数.当t0时，的值为0；当t0时，的值为无穷大，即0,t0(t)，t0.和的图形如图7-1和图7-2所示.显然，对任何0,有1(t)dtdt10,所以(t)dt1工程技术中，常

5、将函数称为单位脉冲函数，有些工程书上,将函数用一个长度等于1的有向线段来暗示(如图7-2所示)，这个线段的长度暗示函数的积分，叫做函数的强度.例7-2求(t)的拉氏变换.解根据拉氏变换的定义，有11ZL(t)(t)edt(lim)edtlim0edtlimedt000000ptp1e11elim0lim0pp0即L(t)1.例7-3求单位阶梯函数u(t)Q1,00的拉氏变换.Lu(t)u(t)eptdt解0例7-4求指数函数f(t)1eptdtept00pp,(p0)ate(a为常数)的拉氏变换.Leat，、，1atpt(pa)teedtedt(p00paLeat(pa)paa)Lsint类似

6、可得2(p0)Lcost2P2(p0)p;p习题7-1求1-4题中函数的拉氏变换1. f(t)e4t.-22. f(t)t.3. f(t)teat4. f(t)sin(t)(，是常数).7.2拉氏变换的性质拉氏变换有以下几个主要性质,利用这些性质，可以求一些较为复杂的函数的拉氏变换.性质1(线性性质)若为，外是常数，且Lf1F1(3,Lf2(t)F2(p),则L&f1(t)a2f2aUfMt)a?Lf2aF4P)a?F2(p).(7-2)证明La#1(t)a2f2(t)a1f1(t)a2f2(t)eptdta1f(t)eptdta?fz(t)eptdt000小加。)azLM。)用Paz

7、Fzlp)例7-5解L1(1eat)a求下列函数的拉氏变换:(1)1L1a.1f(t)(1eaat)；(2)f(t)sintcosteat，L1a1,at1f11、1Le-;appap(pa),J.LsintcostL-sin2t2性质2(平移性质)1 21二272-22 p2p4*若Lf(t)F(p),则atLeff(Pa)(a为常数).(7-3)Leatf(t)证明eatf(t)eptdtf(t)e(pa)tdtF(pa)0位移性质标明：象原函数乘以eat等于其象函数左右平移a个单位.at-例7-6求Lte,1Lt解因为p,性质即得性质3(滞后性质)atatLesint和Lecost.Ls

8、int-2Lcostp,若Lf(t)F(P),则Lf(ta)eapF(p)(a0)、丁口口Lf(ta)证明0af(ta)eptdtf(ta)e一0ptdt(7-4)f(ta)eptdt在拉氏变换的定义说明中已指出，当t函数f(ta),当ta0(即ta)时，第一个积分为0,对于第二个积分，令0时,f(ta)taf(t)0.因此，对于0,所以上式右端的,则滞后性质指出：象函数乘以eap等于其象原函数的图形沿t轴向右平移a个单位(如图7-3所示).由于函数f(ta)是当ta时才有非零数值.故与f(t)相比，在时间上滞后了一个a值，正是这个道理，我们才称它为滞后性质.在实际应用中，为了突出“滞后”这一

9、特点，常在f(ta)这个函数上再乘u(ta),所以滞后性质也暗示为Lu(ta)f(ta)eaPF(p).例7-7求Lu(ta).Lu(ta)eaP解因为Lu(t)p,由滞后性质得P.例7-8求Lea(t)u(t).LeatLea(t)u(t)ep,(pa)解因为Pa,所以Pa.例7-9求下列函数的拉氏变换：f(t)(1)解(1)由图7-4C1,0ta,C2,at.f(t)容易看出，当ta时,础上加上了(c2Ci)u(ta)30t2,1,2t4,0,4t.f的值是在G的基故可把f(t)写成f(t)CiU(t)(C2Ci)u(ta),于是Cic2C1apePc1(c2C1)eap仿(1),把f写成

10、f34e2pLf(t)PP3u(t)e4PP我们可以用拉氏变换定义来验算例P.4u(t2)u(t4),于是34e2Pe4PP.7-9所得的结果.由例7-9看出，用单位阶梯函数可将分段函数的表达式合写成一个式子.0,t0c,0taf(t)2c,at3a例7-10已知0,t3a,求Lf(t).解：如图7-5所示，f(t)可用单位阶梯函数暗示为f(t)cu(t)cu(ta)2cu(t3a)于是CCaPcC3apCaP3ap、eP2eP-(1eP2eP)PPPP,由拉氏变换定义来验证：C(1eap2eap2e3ap)-(1eap2e3ap)PP性质4(微分性质)若Lf(t)F(p),并设f在0,+上连

11、续，f(t)为分段连续，则Lf(t)pF(p)f(0).(7-5)证明由拉氏变换定义及分部积分法，得Lf(t)f(t)eptdtf(t)ept0Pf(t)eptdt00可以证明，在Lf(t)存在的条件下，必有tllmf(t)ep0.因此，Lf(t)0f(0)pLf(t)pF(p)f(0)微分性质标明：一个函数求导后取拉氏变换等于这个函数的拉氏变换乘以参数p,再减去函数的初始值.应用上述结果，对二阶导数可以推得Lf(t)pLf(t)f(0)ppF(p)f(0)f(0)p2F(p)pf(0)f(0)同理，可得一_3_2_Lf(t)pF(p)pf(0)pf(0)f(0).以此类推，可得Lf(n)(t

12、)pnF(p)pn1f(0)pn2f(0)f(n1)(0).(7.6)由此可见，f各阶导数的拉氏变换可以由p的乘方与象函数F(p)的代数式暗示出来.特别是当初值f(0)f1(0)f,'(0)"'0时，有更简单的结果LfpnF(p),(n1,2,).(7-7)利用这个性质，可将f(t)的微分方程转化为F(p)的代数方程.例7-11利用微分性质求Lsint和Lcost.2解令f(t)sint,贝|f(0)0,f(0),f(t)sint,由7-6式，得L2sintLf(t)p2Lf(t)pf(0)f(0)即22LsintpLsint)移项化简得Lsint2pcost(sin

13、t)利用上述结果，()及(7-5)式，可得1,pp22022pp性质5(积分性质)若Lf(t)F(p)(p0),且设f(t)连续，则tF(p)(7-8)Lf(x)dx0p人(t)证明令性质，得L(t)pL(t)tf(x)dx0,显见(0)0,且因(t)f(t),由微分(0),而L(t)Lf(t)F(p),所以有F(p)pLtt(t)pLf(x)dx口日Lf(x)dx0,即0积分性质标明:的象函数除以参数一个函数积分后再取拉氏变换,p1F(p)p.等于这个函数例7-12求Ltn(n是正整数).t1dx,t22xdx,t33x2dxtnnxn.2dparctgpp1dx解因为000,，0所以由(7

14、-8)式即得一般地，有ntn1nLtn1n!LtnLnxn1dt於0PP.性质6若Lf(t)F(p),则a性质7若Lf(t)F(P),则0时，1pLf(at)F(上)aaLtnf(t)(1)nF(n)(p)性质8若Lf(t)lim-rrfe，且t0t存在，则L芈F(p)dptp(7-9)(7-10)(7-11)例7-13求LtsintL回nt2t,、一,一解因为p，由(7-10)式可得Ltsint(1)-d-(-2)2P2、2dpp(p)例7-14求L平解因为Lsintlim则t0t1一,一,所以由（7-11）式可得L平pIp-arctgparctgp.因此，当0时，得到一个广义积分的sint

15、pt.,edt一即0t2值这个结果用原来的广义积分的计算方法是得不到的.现将拉氏变换的八个性质和在实际应用中经常使用的一些函数的象函数分别列表如下：表7-1拉氏变换的性质序号设Lf(t)F(p)1Laifi(t)a2f2(t)aiLfi(t)a2Lf2(t)2at_Lef(t)F(pa)3Lf(ta)u(ta)eapF(p)g0)4Lf'(t)pF(p)f(0)Lf(t)pnF(p)pn1f(0)pn2f1(0).f(n1)(0)5tF(p)Lf(x)dx0p6，1pLf(at)F(上)aa(a>0)7Ltnf(t)(1)nF(n)(p)8Lf(t)F(p)dptp表7-2经常使

16、用函数的拉斯变换表序号f(t)F(p)1(t)12u(t)Jp3t12p4tn(n1,2,.)n!n1p5eat1pa61eatap(pa)7.atte1(Pa)28natte(n1,2,)n!ni(Pa)9sint22P10costp-22P11sin(t)psincos22P12cos(t)pcossin22P13tsint2P222(P)14sinttcost23(P22)215tcost22p(p22)216at.,esint(Pa)2217eatcostPa(Pa)22181-,、2(1cosat)a1z22、P(Pa)19atbteeab(Pa)(pb)20平p/p211TT1n习

17、题7-2求5-12题中函数的拉氏变换4t53e65sin2t3cost7.sin2tcos2t.8.sln3t.1,0t4,9.WUt4.10.f(t)0,0t2,.1,2t4,11.f(t)0,4t.12.f(t)sint,0tt,t.natte前面我们主要讨论了怎样由已知函数f(t)求它的象函数F(P)的问题.运算法的另一面是已知象函数F(P)要求它的象原函数7.3拉氏变换的逆运算f(t),这就是拉斯逆变换问题.同时把经常使用的拉氏变换的性质用逆变换形式一一列出.性质1,i.La1F(p)a2F2(p)性质2(平移性质)性质3(滞后性质)1_1_-a1LFi(P)a2LF2(p)a1f1(

18、t)a2f2(t).1at1LF(pa)eLF(p)L1eapF(p)f(ta)u(teatf(t)a)例7-15求下列象函数的逆变换:(1)F(p)(3)F(p)1P3;2P52-P(2)(4)F(p)F(p)1-3(p2).4p3a3代入表二(2)由性质2及表二(5),得4),得f(t)4.,113tL-eP3f(t)L1-(p2)32t1eL2te2L1gP31,22tte2(3)由性质1及表二(f(t)L12-Pt2L1PP(4)由性质1及表二(2)、(3),得115L225tP9)、(10),得f(t)L1H例7-16F(P)求4L1J-L114cos2t-sin2tp242p242

19、2p32p2P5的逆变换.民f(t)解L12P2p2p5lIM(P1)42etcos2t5tt5esin2te2cos2t-sin2t22在运用拉氏变换解决工程技术中的应有问题时，通常遇到的象函数经常是有理分式，对于有理分式一般可采取部分分式方法将它分解为较为简单的分式之和，然后再利用拉氏变换表求出象原函数.p9一，、F（p）例7-17求P5P6的逆变换.先将F（P）分解个最简分式之和：2P5p6(p2)(p3)3,用待定系数法求得A于是7,6,所以7P-一1_17f(t)LF(p)L-P2F(P)例7-18求3P4p3327L11P'l116L-P34P的逆变换.2t7e6e3t解先

20、将F（P）分解为几个简单分式之和:32_p4p4PP(p用待定系数法求得2)24,CA_PP12,3C(P2)2F(p)P3p34p24P所以12(P2)21te2t2于是332te44习题7-3求13-18题中函数的拉氏逆变换13.F(p)F(p)15.17.7.4F(p)2p3.14.2p8-2p36.16.p22p36p29pF(p)2-p16F(p)P(PF(p)11)(p2).p21Z2-P(P1)2拉氏变换应用举例下面举例说明拉氏变换在解常微分方程中的应用.例7-19求微分方程x(t)2x。满足初值条件x(0)3的解.解第一步对方程两边取拉氏变换，并设Lx(t)lX(p)：Lx&#

21、39;2xU°,Lx(t)2Lx(t)0,pX(p)x(0)2X(p)0将初始条件x(。)求仔嚏需（微分方程的解）求1-5题中函数的拉氏变换代入上式，得(p2)X(p)3*这样，原来的微分方程经过拉氏变换后，就得到了一个象函数的代数方程.3第二步解出X(p)：X(p)=p分方程y3y2y禽满足初值条件y(。)2,y(0)1的解.解对所给微分方程的两边分别作拉氏变换.设Ly(t)Y(p)Y,则得2.x(t)L1X(p)L1J3e2t第三步求象函数的拉氏逆变换：p22t这样就得到了微分方程的解x(t)3e.由例7-19可知，用拉氏变换解常系数线性微分方程的方法的作拉解代求茅氏逆变懈(微分方程的解)