投针试验详解

1、问题的提出在人类数学文化史中，对圆周率精确值的追求吸引了许多学者的研究兴趣。在众多的圆周率计算方法中，最为奇妙的是法国物理学家布丰(Boffon)在1777年提出的“投针实验”。与传统的“割圆术”等几何计算方法不同的是，“投针实验”是利用概率统计的方法计算圆周率的值，进而为圆周率计算开辟了新的研究途径，也使其成为概率论中很有影响力的一个实验。本节我们将借助于MATLA防真软件，对“投针实验”进行系统仿真，以此来研究类比的系统建模方法和离散事件系统仿真。2、 系统建模“投针实验”的具体做法是：在一个水平面上画上一些平行线，使它们相邻两条直线之间的距离都为a；然后把一枚长为l(0<l<

2、a)的均匀钢针随意抛到这一平面上。投针的结果将会有两种，一种是针与这组平行线中的一条直线相交，一种是不相交。设n为投针总次数，k为相交次数，如果投针次数足够多，就会发现公式2n计算出来的值就是圆周率。当然计算精度与投针次数有关，一般情ak况下投针次数要到成千上万次，才能有较好的计算精度。有兴趣的读者可以耐心地做一下这个实验。为了能够快速的得到实验结果，我们可以通过编写计算机程序来模拟这个实验，即进行系统仿真。所谓的系统仿真是指以计算机为工具，对具有不确定性因素的、可模型化的系统的一种研究方法。建立能够反映实验情况的数学模型是系统仿真的基础。系统建模中需解决两个问题，一个是如何模拟钢针的投掷结果

3、，另一个是如何判断钢针与平行线的位置关系。这里，设O为钢针中点，y为O点与最近平行线之间的距离，为钢针与平行线之间的夹角（0：1801：i）o首先，由于人的投掷动作是随机的，钢针落下后的具体位置也是随机的，因此可用按照均匀分布的两个随机变量y和来模拟钢针投掷结果。其次，人工实验时可以用眼睛直接判断出钢针是否与平行线相交，而计算机仿真实验则需要用数学的方法来判别。如下图所示，如果y、l和满足关系式1y1lsin，那么钢针就与平行线相交，否则反之，进而可以判断钢针与平行线2的位置关系。3、 基于MATLAB/SIMULNI的仿真实验在系统模型基础上，我们可以绘制出程序的流程图如下所示。根据流程图，

4、在MATLA前境下可编写程序完成计算机系统仿真实验，在这里我们设定平行线之间的距离为a40cm,钢针长为L30cm,计算精度pi0.00001,这些参数可以根据实际情况做以修改，下面是仿真程序：%投针实验：计算机模拟投针实验clearformatlonga=40,L=30;n=0;k=0;pii=0;while(abs(pii-pi)>%n=n+1;y=1/2*a*rand(1);%q=pi*rand(1);%if(y<1/2*L*sin(q)%k=k+1;pii=2*L*n/(a*k);%enddisp('此次实验情况:')disp('投掷次数:'

5、)disp(n)%disp('相交次数:')disp(k)%disp('实验结果:pi=')disp(pii)%计算圆周率%主要参数值设置计算精度生成0,a）区间的随机数生成0,180）区间的随机数判断钢针与平行线是否相交计算圆周率end通过程序中的注释可以很好的理解程序内容显示投掷次数显示钢针与平行线相交次数显示计算出的圆周率值程序运行时，将显示出每次的“投针实验”情况，即显示当前总投掷次数、钢针与平行线相交次数以及由此计，此时显示出当算出来的圆周率值。当满足所设置的精度要求后，程序停止运行钢针投掷276427次后，所计算出来的圆周率值满足精度要求，此时钢针与

6、平行线相交131984次，圆周率计算结果为。当然，由于“投掷动作”具有随机性，因此每次“投针实验”的仿真结果不一定相同。为使计算结果更趋近于，可以减小误差的取值来提高计算精度，当然仿真时间也会随之变长。这里对投针实验的基本原理做一简单解释。首先，将一根钢丝弯成一个圆圈，使其直径恰好等于平行线间的距离a。可以想象得出，对于这样的圆圈来说，投掷结果不外乎有两种：一种是与一条平行线相交，一种是与相邻两根平行线相切，这两种情况都将导致圆圈和平行线有两个交点。因此，如果圆圈扔下的次数为n,那么相交的交点数必为2n0然后，将圆圈拉直变成一条长为a的钢针。显然，这样的钢针扔下时与平行线相交的情形要比圆圈复杂

7、得多，可能没有交点，有1个交点，2个交点，3个交点，4个交点。由于圆圈和拉直后的钢针的长度相同，根据机会均等的原理，当它们投掷次数足够多时，两者与平行线组交点的总数将是一样的。换句话说，当长度为a的钢针扔下无穷多次后，与平行线相交的交点总数也为2n0最后，讨论钢车+长为l的情形。由于钢针与平行线相交的交点总数k与钢针长度l成正比，则存在下列比例关系式k:l2n:a,进而可求得生。ak四、结论从本质上看，上述投针实验具有朴素的离散事件系统仿真思想。如果按照布丰的做法，进行成千上万次的投针实验和手工计算，势必要消耗大量的人力、物力和财力。而通过类比的方法，对实验进行系统建模，在此基础上使用计算机进

8、行系统仿真，以此来解决“投针问题”将变得非常简单。从中我们可得出以下结论：首先，有意识地运用类比方法将有助于掌握复杂事物的内在规律，显著提升数学建模能力。数学建模的过程蕴含着许多重要的数学思想和方法，其中类比方法是最重要也是最有效的一种。类比建模的过程可表述为，根据已掌握的对客观事物的经验与认识，通过抽象分析运用数学语言、数学符号、数学公式等数学概念来表达这些量，从多种复杂因素中抽取主要因素，忽略次要因素，抓住事物的本质特征，运用一系列等式或不等式来表达各个量之间的关系，建立起研究对象的数学模型。其次，在建好的数学模型基础上，通过计算机进行系统仿真可对研究对象进行快速有效的模拟。20世纪40年代以后，随着电子计算机的出