换元法高中数学思想方法

1、换元法解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换

2、元等。局部换元又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现。例如解不等式：4x+2x-2>0,先变形为设2x=t(t>0),而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。三角换元，应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。如求函数y=Xx+HX的值域时，易发现xC0,1,设x=sin2a,a0,1,问题变成了熟悉的求三角函数值域。为什么会想到如此设，其中主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要。如变量x、y适合条件x2+y2=r2(r>0)时，则可作三

3、角代换x=rcos0、y=rsin。化为三角问题。均值换元，如遇到x+y=S形式时，设x=+1,y=t等等。我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量范围的选取，一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。如上几例冗中的t>0和aC0,2。I、再现性题组：1 .y=sinx2cosx+sinx+cosx的最大值是。2 .设f(x2+1)=loga(4x4)(a>1),则f(x)的值域是。3 .已知数列an中，a1=-1,an+2an=an由一an,则数列通项an=。4 .设实数x、y满足x2+2xy1=0,则x+y的取值范围是。、一

4、13".5 .万程-=3的解是。1 3x6 .不等式log2(2x-1)2log2(2x+2)<2的解集是。【简解】1小题：设sinx+cosx=tC1y2,y2，则y=+t2,对称轴t=1,22，,八1八当t="2,ymax=-+V2；2小题:设x2+1=t(t>1),则f(t)=loga-(t-1)2+4,所以值域为（一8,log/；3小题：已知变形为L=1，设bn=，则储=1,bn=1+(n1)(-1)an1anan=-n,所以an=n4 小题：设x+y=k,则x22kx+1=0,=4k24>0,所以k>1或kw1；5 小题：设3x=y,则3y

5、2+2y1=0,解得y=,所以x=1;36 小题：设log2(2x1)=y,贝Uy(y+1)<2,解得一2<y<1,所以xC(log2,log23)。2242n、示范性题组：例1.实数x、y满足4x25xy+4y2=5(式)，设S=x2+y2,求+SnxSmin的值。（93年全国高中数学联赛题）=1,于是进行三角换元，设【分析】由S=x2+y2联想到cos2a+sinx=v'Scosay=.Ssin代入式求Smax和Smin的值。a【解】设x=、Scosy=.Ssin代入式得：4S5S2asinccosa=5解得S=108-5sin2a101010-1&sin

6、2a<1.1.3<8-5sin2aw13一&&-138-5sin：31.13,13168.+=一+一=一=一SmaxSmin10101058S-10此种解法后面求S取大值和取小值，还可由sin2a=的有界性而求，即解不等S式：|8s-10|<1o这种方法是求函数值域时经常用到的“有界法”。S【另解】由S=x2+y2,设x2=1+t,y2则xy=±S-t2代入式得：4s土54"t2=5,4移项平方整理得100t2+39S2160S+100=0。39S2-160S+100W0解得:101013SJmax,13113H=1=Smin1010168

7、105【注】此题第一种解法属于“三角换元法”，主要是利用已知条件S=x2+y2与三角公式cos2=2(a2+b2)="+"a2C1313噂号，再求133SJmaxSmin的值。例2.4ABC的三个内角一一一一一一1A、B、C满足：A+C=2B,+cosA1cosC亘，求cosBa+sin2a=1的联系而联想和发现用三角换元，将代数问题转化为三角函数值域问题。第二种解法属于“均值换元法”，主要是由等式S=x2+y2而按照均值换元的思路,设x2=S+t、y2=§t,减少了元的个数，问题且容易求解。另外，还用到了求值域的22几种方法：有界法、不等式性质法、分离参数法。和

8、“均值换元法”类似，我们还有一种换元法，即在题中有两个变量x、y时，可以设x=a+b,y=ab,这称为“和差换元法”，换元后有可能简化代数式。本题设x=a+b,yS=(ab)之十(a+b)之=ab,代入式整理得3a2+13b2=5，求得a2C0,cosA0的值。（96年全国理）由已知"A+C=2B”和“角形内角和等于180的性质，可得AC=120_oB=60;由“A+0=120。”进行均值换元，则设_oA=60oC=60a,再代入可oc求cosa即cos-/A+C=120°【解】由ABC中已知A+C=2B,可得B=60°由A+C=120°,r._0|A=

9、60+a设«o，代入已知等式得:11+cosAcosCcos(60F)1+cos(60-:)1、3一cos:一sin二:221cos：-=1 3123.2cos工二sincos:-sin:2 244cos：22cos:一一4解得：cosa.A-C、2即：cos=2211【另解】由A+C=2B,彳导A+C=120,B=60。所以+cosAcosC八1八1八=-2q2,设人=-2-+mc=-2-m,cosB所以cosA=1,cosC=广,两式分别相加、相减得:i；2-mcosA+cosC=2cos"cos三=cos'=-,222m2-2cosAcosC=2sinA+Cs

10、inA-C=-<3sinA-C=2m,222m2-2即：sin2m,=-三，代入sin2上+3冬,整理2.3(m2-2)m2-222得：3m.2A-C16mr12=0，解出m=6,代入cos2222=m2-22【注】本题两种解法由“A+C=120°”11+=212”分别进行均cosAcosC|C=60a值换元，随后结合三角形角的关系与三角公式进行运算，除由已知想到均值换元外，还要求对三角公式的运用相当熟练。假如未想到进行均彳1换元，也可由三角运算直接解出：由A+C=2B,彳#A+C=120°,B=60°。所以11+cosAcosC2-r=2J2,即cosBc

11、osA+cosC=2近cosAcosC,和积互化得:2cos-cos牝C=J2cos(A+C)+cos(A-C),即cos=J2cos(A-C)22=叵在(2cos当0<2aw、，12时，t=2a,取取大值：一。1C-1),整理得:224J2cos2+2cos3y2=0,22A-C解得：cos2最大值和最小值。f(x)的最小值为2a22，2a1,最大值为2122(0:a:二y)212-2a2.2a(a-22例3.设a>0,求f(x)=2a(sinx+cosx)sinx2cosx2a2的【解】设sinx+cosx=t，则tC-22，由(sinx+cosx)2=1+2sinx2cosx

12、得：sinxt2-12cosx=2f(x)=g(t)=-2(t-2a)2+2(a>0),t-V2,v'21t=-J2时，取取小值：一2a2v2a2-1当2a>J2时，t=42,取最大值：2a2+2炉2a;2【注】此题属于局部换元法，设sinx+cosx=t后，抓住sinx+cosx与sinx2cosx的内在联系，将三角函数的值域问题转化为二次函数在闭区间上的值域问题，使得容易求解。换元过程中一定要注意新的参数的范围(tC-22,J2)与sinx+cosx对应，否则将会出错。本题解法中还包含了含参问题时分类讨论的数学思想方法，即由对称轴与闭区间的位置关系而确定参数分两种情况进

13、行讨论。一般地，在遇到题目已知和未知中含有sinx与cosx的和、差、积等而求三角式的最大值和最小值的题型时，即函数为f(sinx土cosx,sinxcsox),经常用到这样设元的换元法，转化为在闭区间上的二次函数或一次函数的研究。例4.设对所于有实数x,不等式x2log4(a1)2a(a1)22+2xlog2+log22->0aa14a恒成立，求a的取值范围。(87年全国理)【分析】不等式中10g2*+1)、loga22a(a1)2log2(a2)三项有何联系？进行对数式的有关变形后不难发现,再实施换元法。【解】设log22aa1-t,则10g之山二啕之始十1)a2aa1c,=3+lo

14、g2=3log2a2a0,.2=3-t,loga1(a1)2a122=210g2=一2t,4a2a代入后原不等式简化为(3-t)x2+2tx2t>0,它对一切实数x恒成立，所以:31>0't<32,解得«=4t2+8t(3t)<0t<0或t>6t<0即log22a<0a10<a-<1,解得0<a<1。a1【注】应用局部换元法，起到了化繁为简、化难为易的作用。为什么会想到换元及如何4(a1)设元，关键是发现已知不等式中log22alog2=、log2，、2(a1)4a2三项之间的联a14a。另外，本题还要求

15、对数运算十分熟系。在解决不等式恒成立问题时，使用了“判别式法”练。一般地，解指数与对数的不等式、方程，有可能使用局部换元法，换元时也可能要对所给的已知条件进行适当变形，发现它们的联系而实施换元，这是我们思考解法时要注意的一点°值。例5.-sin0已知x2八.2一cos0sin010223(xy)-x(式)，求的y2+y设叱xcos0二k,y则sin=kx,cos20=ky,且sin+cos0=k2(x2)=1,代入式得:22ky2xk2x2十Ty103(x2y2)210k23即:2y2xx2102x设-y=t,则t+y1-10-t3解得:J3或土石【另解】由x="L=tg0

16、,将等式两边同时除以cos02八cos02-x,再表示成含tg0的式子：1+tg40=210(1tg2-)-3(1尸)tg=t，贝U3t210t+3=0,解得=±J3或土上？。【注】第一种解法由sin0”上而进行等量代换,y进行换元,减少了变量的个数。第二种解法将已知变形为xsinycos0,不难发现进行结果为tg0,再进行换元和变形。两种解法要求代数变形比较熟练。在解高次方程时，都使用了换元法使方程次数降低。(x-1)2(y1)2例6.头数x、y满足1=1,右x+yk>0恒成立，求k的氾围。16【分析】由已知条件(x-1)2(y1)20°+-=1,可以发现它与a2+

17、b2=1有相似之处,16于是实施三角换元。x=1+3cos0即：、y=T+4sin03cos0+4sin0k>0,16代入不等式x-1=cos0,3x+yk>0得:即k<3cos0+4sin0=5sin(所以k<-5时不等式恒成立。【注】本题进行三角换元，将代数问题(或者是解析几何问题)化为了含参三角不等式恒成立的问题，再运用“分离参数法”转化为三角函数的值域问题，从而求出参数范围。一般地，在遇到与圆、椭圆、双曲线的方程相似的代数式时，或者在解决圆、椭圆、双曲线等有关问题时，经常使用“三角换元法”。本题另一种解题思路是使用数形结合法的思想方法:在平面直角坐标系，不等式a

18、x+by此题不等式恒成立问题化为图形问题:终位于平面上x+yk>0的区域。=0在与椭圆下部相切的切线之下时。+c>0(a>0)所表示的区域为直线ax+by+c=0所分平面成两部分中含x轴正方向的一部分。椭圆上的点始即当直线x+yk当直线与椭圆相有相等的一组实数解，消元后由4=0可求得k16(x-1)29(y1)2=144切时，方程组幺，xy-k=0=-3,所以k<-3时原不等式恒成立。出、巩固性题组：1 .已知f(x3)=lgx(x>0),则f(4)的值为。A.2lg2B.11g2C._21g2D._21g43332 .函数y=(x+1)4+2的单调增区间是。A.-2,+8)B.-1,+8)D.(-OO,+8)C.(-00,-13 .设等差数列an的公差d=2,且S100=145,则a1+a3+a5+,+a99的值为2oA.85B.72.5C.60D.52.54 .已知x2+4y2=4x,贝Ux+y