无网格法介绍

1、1无网格法无网格法(MFree)简介简介2目 录3无网格法概述无网格法是在建立问题域的系统代数方程时，不需要利用预定义的无网格法是在建立问题域的系统代数方程时，不需要利用预定义的网格信息，或者只利用更容易生成的更灵活、更自由的网格进行域网格信息，或者只利用更容易生成的更灵活、更自由的网格进行域离散的方法。（刘桂荣，离散的方法。（刘桂荣，20092009）The meshfree method is used to establish a system of The meshfree method is used to establish a system of algebraic equati

2、ons for the whole problem domain without algebraic equations for the whole problem domain without the use of a predefined mesh, or uses easily generable the use of a predefined mesh, or uses easily generable meshes in a much more flexible or freer manner.(G R meshes in a much more flexible or freer

3、manner.(G R Liu,2009)Liu,2009)无网格法定义无网格法定义4无网格法求解过程无网格法求解过程（与（与FEMFEM对比）对比）无网格法概述FEM和MFree法流程图5光滑粒子法光滑粒子法移动最小二乘法移动最小二乘法单位分解法单位分解法重构核粒子法重构核粒子法径向基函数法径向基函数法加权残数法加权残数法变分原理变分原理边界积分方程边界积分方程+ +形成逼近函数形成逼近函数形成求解方程形成求解方程与基于网格的方法不同与基于网格的方法不同与基于网格的方法相同与基于网格的方法相同无网格法概述6l形成形成FEM网格时的计算成本高网格时的计算成本高l应力精度低应力精度低l自适应分析

4、困难自适应分析困难l对某些问题分析的局限性对某些问题分析的局限性 大变形问题（如冲压变形）大变形问题（如冲压变形） 裂纹扩展问题裂纹扩展问题 流固耦合问题流固耦合问题 爆炸问题爆炸问题无网格法概述为何采用无网格法？为何采用无网格法？无网格方法模拟裂纹扩展7目 录8 根据公式导出方法分类根据公式导出方法分类l基于弱式无网格法基于弱式无网格法 扩散单元法（扩散单元法（DEM），无单元），无单元Galerkin法（法（EFG），再生核粒子法），再生核粒子法（RKPM）,无网格局部无网格局部Petrov-Galerkin法法(MLPG)，局部径向基点插值，局部径向基点插值法（法（LRPIM）,h-p云

5、法云法l基于配点技术（强式）无网格法基于配点技术（强式）无网格法 广义有限差分法（广义有限差分法（GFDM）,MFree配点法，有限点法（配点法，有限点法（FPM）l基于弱式和配点技术相结合无网格法基于弱式和配点技术相结合无网格法 MFree弱弱-强式法（强式法（MWS）,光滑粒子流体动力学法（光滑粒子流体动力学法（SPH）无网格法分类9 根据函数近似方法分类根据函数近似方法分类基于移动最小二乘近似的无网格法基于移动最小二乘近似的无网格法 扩散单元法（扩散单元法（DEM），无单元），无单元Galerkin法（法（EFG） ，无网格局部，无网格局部 Petrov-Galerkin法（法（MLPG

6、）基于积分形式近似无网格法基于积分形式近似无网格法 光滑粒子流体动力学法（光滑粒子流体动力学法（SPH），再生核粒子法（），再生核粒子法（RKPM）基于点插值无网格法基于点插值无网格法 多项式基点插值法（多项式基点插值法（PIM）,径向基点插值法（径向基点插值法（RPIM）基于其他近似方法的无网格法基于其他近似方法的无网格法 基于自然邻节点插值的自然单元法（基于自然邻节点插值的自然单元法（NEM），），hp云法，单位分解云法，单位分解 法（法（PU）无网格法分类10 根据域表示法分类根据域表示法分类域型无网格法域型无网格法 扩散单元法（扩散单元法（DEM），无单元），无单元Galerkin法（

7、法（EFG）无网格局部）无网格局部Petrov-Galerkin法（法（MLPG），自然单元法（），自然单元法（NEM），再生核粒子），再生核粒子法（法（RKPM），径向基点插值法（），径向基点插值法（RPIM）边界型无网格法边界型无网格法 边界节点法（边界节点法（BNM）,局部边界积分方程法（局部边界积分方程法（LBIE），边界点插），边界点插值法（值法（BPIM）,杂交边界点插值法（杂交边界点插值法（HBPIM）无网格法分类1112目 录13无网格插值技术分类无网格插值技术分类构造无网格形函数分类分类无网格近似技术无网格近似技术积分表达式积分表达式 光滑粒子动力学法（光滑粒子动力学法（SP

8、H）再生核粒子法（再生核粒子法（RKPM）级数表达式级数表达式 移动最小二乘（移动最小二乘（MLS）点插值法（点插值法（PIM,RPIM）单位分解法（单位分解法（PU）差分表达式差分表达式 广义有限差分法（广义有限差分法（GFDM）14构造无网格形函数 使用多项式作为插值函数是应用最早的差值方法之一。使用多项式作为插值函数是应用最早的差值方法之一。设定义在问题域中的一连续函数设定义在问题域中的一连续函数u(x)可由一组场节点表可由一组场节点表示，在计算点示，在计算点x处处u(x)可近似表示为：可近似表示为：多项式基点插值法多项式基点插值法(PIM)形函数形函数15 PIM形函数性质形函数性质l

9、一致性一致性 如果单项式的完备阶数是如果单项式的完备阶数是p，则该形函数具有，则该形函数具有 一致性一致性l再生性再生性 PIM基函数可再生包含在其基函数当中的任意函数。基函数可再生包含在其基函数当中的任意函数。l线形独立性线形独立性 PIM基函数在支持域上是线性独立的基函数在支持域上是线性独立的l 函数性函数性构造无网格形函数pC16l单位分解性单位分解性 l紧支性紧支性 PIM形函数是紧支域中的节点构造的，紧支域外的任意点形函数是紧支域中的节点构造的，紧支域外的任意点处的函数值被认为是处的函数值被认为是0l相容性相容性 在应用在应用PIM形函数时，如使用局部支持域，则全局域上的形函数时，如

10、使用局部支持域，则全局域上的相容性将不能保证，即将节点进出或移动支持域时，其场相容性将不能保证，即将节点进出或移动支持域时，其场函数的近似式是不连续变化的函数的近似式是不连续变化的构造无网格形函数17构造无网格形函数移动最小二乘移动最小二乘(MLS)(MLS)形函数形函数同样，在计算点同样，在计算点x处处u(x)可近似表示为可近似表示为在移动最小二乘近似（在移动最小二乘近似（MLS）中，系数）中，系数a(x)的选取使近似的选取使近似函数函数 在计算点在计算点x的邻域内待求函数的邻域内待求函数u(x)在某种最小在某种最小二乘意义下的最佳近似。近似函数在节点二乘意义下的最佳近似。近似函数在节点 处

11、的误差加处的误差加权平方和为权平方和为令令J取最小值，解得待定系数取最小值，解得待定系数a(x),即可得最小二乘形函数。即可得最小二乘形函数。( )huxix18构造无网格形函数 MLS形函数性质形函数性质l一致性一致性 如果单项式的完备阶数是如果单项式的完备阶数是p，则该形函数具有，则该形函数具有 一致性一致性l再生性再生性 PIM基函数可再生包含在其基函数当中的任意函数基函数可再生包含在其基函数当中的任意函数l单位分解性单位分解性 l 函数性函数性 MLS形函数不具备形函数不具备 函数性，本质边界条件不易施加函数性，本质边界条件不易施加pC19目 录20导出无网格法公式基于全局弱式的无网格

12、法基于全局弱式的无网格法21导出无网格法公式基于局部弱式的无网格法基于局部弱式的无网格法22导出无网格法公式基于弱强式的无网格法基于弱强式的无网格法目 录24 LucyLucy（19771977） 提出光滑粒子法（提出光滑粒子法（Smooth Particle Hydrodynamics Smooth Particle Hydrodynamics method, method, 即即SPHSPH） LancasterLancaster（19791979，19811981）较为系统地研究了移动最小二乘法）较为系统地研究了移动最小二乘法 BelytschkoBelytschko（ 1994 199

13、4 ）提出无单元）提出无单元GalerkinGalerkin方法（方法（Element-Free Galerkin Element-Free Galerkin methodmethod，即，即EFG EFG ） LiuLiu（19951995）等人提出了重构核粒子法（）等人提出了重构核粒子法（Reproducing Kernel Particle Reproducing Kernel Particle MethodMethod，即，即RKPM)RKPM) OdenOden（19951995）提出了）提出了Hp-cloudsHp-clouds方法方法 OnateOnate（19961996）提出

14、了有限点法（）提出了有限点法（Finite Point Method,Finite Point Method,即即FPM FPM ） GolbergGolberg和和ChenChen（19941994，19961996）研究了径向基函数法（）研究了径向基函数法（radial basis radial basis functionfunction，即，即RBFRBF） AtluriAtluri（20002000）提出了）提出了Meshless Local Petrov-Galerkin MethodMeshless Local Petrov-Galerkin Method（即（即MLPGMLPG

15、） 无网格法研究主要进展及参考文献25 MukherjeeMukherjee（19971997）提出势问题的边界点法（）提出势问题的边界点法（Boundary Node Method, Boundary Node Method, 即即BNMBNM），并应用于弹性力学问题（），并应用于弹性力学问题（19991999）。）。 AtluriAtluri（19981998）提出局部边界积分方程方法（）提出局部边界积分方程方法（Local Boundary Integral Local Boundary Integral EquationEquation，即，即LBI ELBI E），并应用于弹性力学问题（），并应用于弹性力学问题（20002000）和非线性问）和非线性问题（题（19981998） YaoYao（2002)2002)提出了杂交边界点法（提出了杂交边界点法（Hybrid Boundary Node MethodHybrid Boundary Node Method） Liu (2003)Liu (2003)提出弱提出弱- -强式无