数理统计考试题及参考答案

1、数理统计考试题及参考答案一、填空题(每小题3分，共15分)1,设总体X和Y相互独立，且都服从正态分布N(0,32),而(X1,X2L,X9)和(YZL,Y9)是分X,IXc别来自X和Y的样本，则UT19服从的分布是.解：t(9).Y12LY92-、I。2,设4与N都是总体未知参数的估计，且？比？2有效，则？与马的期望与方差满足二解：E(?)E("D(7)D(?).3, “两个总体相等性检验”的方法有与.解：秩和检验、游程总数检验.4,单因素试验方差分析的数学模型含有的三个基本假定是二解：正态性、方差齐性、独立性.5,多元线性回归模型YX0中，0的最小二乘估计是彳=.解：?=(XX)1

2、XY.二、单项选择题(每小题3分，共15分)21,设(X1,X2,L,Xn)(n2)为来自总体N(0,1)的一个样本，X为样本均值，S为样本方差，则D_(A)nX:N(0,1)；(B)nS2:2(n)；2(C)_:t(n)；(D)(n)1:F(1,n1).SX：1 22,若总体X:N(,2),其中2已知，当置信度1保持不变时，如果样本容量n增大，则的置信区间B_.(A)长度变大；(B)长度变小；(C)长度不变；(D)前述都有可能.3,在假设检验中，分别用，表示犯第一类错误和第二类错误的概率，则当样本容量n一定时，下列说法中正确的是C.(A)减小时也减小；(B)增大时也增大；(C),其中一个减小

3、，另一个会增大；(D)(A)和(B)同时成立.4,对于单因素试验方差分析的数学模型，设&为总离差平方和，Se为误差平方和，Sa为效应平方和，则总有A一Sa0(A)StSeSa；(B)g%1)；(C)SA/(r1)：F(r1,nr)；(D)SA与Se相互独立.Se/(nr)5,在一元回归分析中，判定系数定义为R2包，则B.St(A)R接近0时回归效果显着；(B)R2接近1时回归效果显着；2(C)R接近时回归效果显着；(D)前述都不对.22二、(本题10分)设总体X:N(1,)、Y:N(2,),(Xi,X2,L,XnJ和(Yi,K,L,Yn2)分别是来自X和Y的样本，且两个样本相互独立，X

4、、Y和SX、S2分别是它们的样本均值和样本方差，证明(XY)(sn证明：12丁n2易知):t(n1n2),其中s2(m1)SX(n21管口电2N(122),n%U(XY)(i2):n(0,i),1Xin1“由定理可知_2(n11)Sx,2:2S1),_2(11)Sy2(n21).由独立性和2分布的可加性可得_2_22,(nn22).(A1)Sxn1)Sy22由U与V得独立性和t分布的定义可得(XY)(12)U,V/(n1n22)t(n1n22).四、(本题10分)已知总体X的概率密度函数为f(x)1-e0,x0,其中未知参数其它0,(Xi,X2,L,Xn)为取自总体的一个样本，求的矩估计量，并

5、证明该估计量是无偏估计量.1-1n解：(1)v1EXxf(x)dxxedx，用由一XiX代替，所以0ni1(2)E(?)E(X)1nE(Xi)E(X),所以该估计量是无偏估计.五、（本题10分）设总体X的概率密度函数为f(x;)(1)x,0x1,其中未知参数的极大似然估计.（Xi,X2,LXn）是来自总体X的一个样本，试求参数解:L()1)n(ni1xi),0xi其它当0xi1时，lnL()nln(1)nln1xi，令dlnL()nnlnxii1六、（本题10分）设总体X的密度函数为f(x；)0,>0;0;未知参数0,（X1,X2,LXn）为总体的一个样本，证明1，X是一的一个UMVUE

6、证明：由指数分布的总体满足正则条件可得2I()E-lnf(x；)1的的无偏估计方差的C-R下界为P)2nI()另一方面E(X)1/,Var(X)即X得方差达到C-R下界，故X是1的UMVUE七、（本题10分）合格苹果的重量标准差应小于公斤.在一批苹果中随机取9个苹果称重，得其样本0.05下，可否认为该批苹果重量标准差达到要求标准差为S0.007公斤,（2）如果调整显着性水平试问：（1）在显着性水平0.025,结果会怎样?参考数据：0.025(9)19.023,2.05(9)16.919,0.025(8)17.535,22.05(8)15.507.解：（1）H0：220.005,_2n1S22具

7、体计算得:_280.007_2-0.005求.280.050.005,；05(8)15.507,.15.6815.507,所以拒绝假设H。，即认为苹果重量标准差指标未达到要(2)新设H0:20.005,由220.02517.535,80.007220.005215.6817.535,则接受假设,即可以认为苹果重量标准差指标达到要求.八、（本题10分）已知两个总体X与Y独立，X（12),Y(22,2),（XX2,L,XG和（Y1,Y2,L，/）分别是来自X和Y的样本,2求t的置信度为1的置信区间.2解：设sX,S2分别表示总体x,Y的样本方差，由抽样分布定理可知由F分布的定义可得对于置信度1(n1)sX.2(R1),(n11)SX(n11)2(n21)S2e/(n2/2(n11,71)1,n21)(n21底.2/(n21),的置信度为1九、解:1)和Fi/2(AiFFi/2(n11,出1,n21).1）使得1,n21)1sX/sYFi/2(n11,n21)的置信