整体思想在解二元一次方程组

1、整体思想在解二元一次方程组中的应用整体思想在解二元一次方程组中的应用求解一元二次方程时，用代入消元法或是加减消元法，将二元消元为一元。在运用消元法时，对于有些问题，不是从局部着手，而是从大处着眼，从整体上观察，探求解题途径，这种数学思想方法叫整体探求思想，在二元一次方程组中，体现这种思想方法的地方很多.在平常遇到方程组求解时，先从全局观察，再动手求解，可以在一定程度上训练我们“大处着眼，小处着手”的战略眼光，对今后高中数学学习，以至工作中都会有所帮助。例1已知x、y满足方程组2x/：则xy2x2y4,J的值为.分析：观察题目特点，我们发现可以把原来的两个方程相减，就能够得到所要求的结果.解：把

2、原来的两个方程相减得：xy1,故，答案应该填写1.点评：本题是把xy作为一个整体来处理，解答起来要比解这个方程组，求出x、y的值，再带入xy计算求值省时，快速，简便.例2解方程组3x2y；;6x9y21.分析此题应抓住6x是3x的2倍，利用方程的3x=8-2y,从而整体代入方程，经消元求解，使解法简洁.解由，得3x=8-2y.把代入，得2(8-2y)+9y=21.y=1.把y=1代入，得3x=8-2.二x=2)-x2,.y1.练习：i.解方程组3x：y2L4x15y53分析：方程组中的系数成倍数关系，适宜把中的整体代入，先求出x的值，再求出y的值.解：由得5y=21-3x把代入，得4x+3(2

3、1-3x)=534x+63-9x=53,-5x=-10x=2把x=2代入，得5y=21-6y=3原方程组的解是x2y32.解方程组5x6y13,7x+18y1.解：由,得6y135x,将其代入,得7x+3(13-5x)1)解得x5.把x5代入)得6y1355)解得y2.所以原方程组的解为*5y2解方程组21x37y327,37x21y311.分析此题数字较大，直接运用代入法或加减法，都会遇到复杂的计算，且容易出错.仔细观察各未知数的系数，第一个方程组的x,y的系数，刚好是第二个方程中y和x的系数，故可采用整体相加减，使系数绝对值变小，得到一个新的简易的方程.解+0),得58x+58y=638.

4、即x+y=11.-，得16x-16y=-16,即x-y=-1.+，得2x=10,.x=5.-，得2y=12,.y=6. x5, cy6.例4解方程组7,3717.分析：本题直接解方程组比较复杂，观察方程组中方程的特点，如果把丁，三看成整体，先求出它们的值，计算量会较小，也不容易出错。为此，我们先把方程变得简单.设/y=A,2=B,则原方程组化为3ABB7；7.解得A&B2.xy即2xy35,2.y60解得x8,y2.练习：1.解方程组8x7y4x5y1311分析：方程组中x、y的系数和相等，可以把两式相加减解：+彳#12x+12y=24,即x+y=2-得4x+2y=2,即2x+y=1-

5、得x=-1）把x=-1代入得y=3.原方程组的解是x；y32012x2013y20137®,2013x2012y2012?.分析:两方程中未知数的系数较大，若采用通常的消元法计算量很大，观察方程组的形式，可发现系数有轮换、对称的特点，且和相等，因此可采用整体相加或相减的办法，化简系数，寻找隐含的X、y的关系.解:+，化简得:x+y=1，-，化简得：x-y=-1，+，化简得：x=0,把x=0代入得y=1.所以原方程组的解为x0，y1.3.已知方程组：x8y则x+y的值等2xy6.J于.分析：本题可用代入法”或加减法”求得x、y的值，但细心观察X2+，可发现x、y上的系数相同.因此可不求

6、x、y的值而利用整体思想直接解得x+y的值.解：X2+，得10x+10y=45,所以x+y=4.5.4.解方程组分析：从形式上看这个方程组比较复杂，应先将每一个方程都进行化简，化成二元一次方程组的一般形式，然后再选择代入法或加减法。但是通过观察可以发现，两个未知数出现的形式只有（x+y）和（x-y）两种，可以把它们分别看成一个整体，利用换元法解。解：设a=x+y,b=x-y3a4b15原方程化为abi解得a3126b15x所以xy3,解得3xy1y135.解方程组4；xy;3(xy)33x153y分析：方程组中的系数成整数倍，可以通过变形构造出x-y,且x-y的系数互为相反数,可以把两式相互加

7、减解：由得4(x+y)+3(x-y)=15,+彳#x+y=3，把代入，得x-y=1+得x=2)-得y=1，原方程组的解是例5如果关于m、n的二元一次方程组(I)3man；：的解是m:/2mbn15n1.请你用合理的方法求关于x,y的二元一次方程组d)3(xy)：(xy)16的解.2(xy)b(xy)15分析通过观察后发现方程组(I)和(n)中对应的系数分别相等，若把(口)中的x+y和x-y分别看成整体，可知x+y和x-y的值分另I与m,n的值相等，从而求得方程组的解.解把方程组(H)中的x+y和x-y分别看成整体，根据方程组(I)的解是m:可得xy:''n1.xy1x4,例6已

8、知方程组3x7yz3J4x10yz4求x+y+z的值.分析：本题是一个三元一次方程组，依据条件不能分别求出x、v、z的值，因此可探究方程中每项未知数系数的特点，从整体上考虑解决的办法.解:2得9x21y3z9222x20y2z8.-得练习1.已知5x+4y=9）且3x+8y=11求代数式2x+3y的值；2.已知a-2b=5,求153a+6b的值.分析：1.中两个方程没有联立方程组，不易观察，可联立方程组利用整体思想探寻特征巧妙解题.2.中可对所求代数式进行变形，整体代入.解:1.联立方程组，得5x4y9?73x8y11.+，得8x+12y=20化简得2x+3y=5.故代数式2x+3y的值为5.

9、2.原式=15-(3a-6b)=15-3(a-2b)由a-2b=5)所以原式=15-3>5=0.3.如果2x+3y+z=130,3x+5y+z=180,求十岗的值.解：将x+2y、x+y+z看作整体，已知条件变形为(x2y)(xyz)1302(x2y)解得xx,x2y(xyz)1802y50yz80及xyz=8例7有A、B两种型号的U盘，其中2个A型U盘与3个B型U盘最多可存储60GB的信息，5个A型U盘与6个B型U盘最多可存储150GB的信息，求3个A型U盘与5个B型U盘最多可存储多少GB的信息？分析：本题可根据题意设未知数列方程组，在解方程组的过程中发现解决问题的办法.解：设1个A型

10、U盘最多可存储xGB的信息，1个B型U盘最多可存储yGB的信息，根据题意得2x3y60®,5x6y150.X7-，得9x+15y=270,化简得3x+5y=90.故3个A型U盘与5个B型U盘最多可存储90GB的信息.例8有甲、乙、丙三种货物，若买甲5件,乙2件，丙4件，一共需80元；若买甲3件，乙6件，丙4件，一共需144元，现在需购买甲、乙、丙各一件共需多少元？分析：本题可根据题意设未知数列三元一次方程组，但由题中条件只能找到两种等量关系，因此不可能求得三个未知数的值，需考虑整体代入探求结果.解：设购买一件甲需x元，一件乙需y元,件需丙z元，根据题意得5x2y4z80，3x6y4z

11、144.+，得8x+8y+8z=224,所以x+y+z=28.故购买甲、乙、丙各一件共需28元.练习：1.有甲、乙、丙三种商品，如果购甲3件、乙2件，丙1件共需315元钱，购甲1件、乙2件、丙3件共需285元钱，那么购甲、乙、丙三种商品各一件共需元钱.分析：我们可以通过设元，构建三元一次方程组来解答.设购买甲、乙、丙三种商品分别需要x元、y元和z元，要想求出购甲、乙、丙三种商品各一件共需多少元钱，我们可以运用整体的思想求出x+y+z的值就可以得到正确答案.解：设购买甲、乙、丙三种商品分别需要x元、y元和z元，那么，根据题意，可以得到：t3x+2y+z=315x+2y+3z=285,解彳导:x+y+z=150.因此，可以填写答案是150元.2.有这样一个问题：今有四数，取其三个而相加，其和分别为22,22,26和20,求此四数各几何？部分学生读不懂题意，但大部分学生是列出了方程组，却不知该如何求解.如果能灵活运用整体思想，此题便能轻松求解.解若设此四数分别为a,b,c,d,则根据题意可列出方程组abc22,abd22,acd26,bcd20.+，得3(a+b+