职工工资模型

1、承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：B我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）:许昌学

2、院参赛队员（打印并签名）：1.李帅2.王相涛3.马向通指导教师或指导教师组负责人（打印并签名）:张亚东岳晓鹏日期:2010年7月26日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：职工工资问题的数学模型摘要本文通过对热点问题职工工资问题进行统计分析，以计量经济学和数理统计为基础，建立多元线性回归模型，然后用SPSS软件进行数据处理和图形操作，很好地剖析了该公司职工工资与变量之间的关系，并对女工是否收到不公正

3、待遇进行了分析。在本文中，我们首先建立因变量与多个自变量之间的多元线性回归模型，然后运用最小二乘法分析，确定了日平均工资与各因素之间的基本联系。对于第一个问题，我们运用SPSS软件中的逐步回归法进行分析，得出日工资与工龄和学历更加密切，然后采用误差分析和单因变量多因素方差分析法，进一步验证了结果。对于第二个问题，我们对女工进行单独分析，并与其他因素对比，发现女工并未受到不公正待遇。对于第三个问题，通过对回归方程和回归系数的显著性检验，以及对模型中变量间的自相关性、多重共线性问题和序列相关性的分析，得到了非线性模型分析以改善模型这个方法。非线性模型分析：通过对日工资与工龄的关系进行分析，得出工龄

4、对日工资虽然是线性关系，但是它们之间确有一定的非线性影响，据此我们首先设出一个经验的非线性回归模型并进行分析求解，然后对日工资与各个因素的关系采用曲线估计的方法，得出最佳的非线性模型幂指数曲线模型，大大提高了模型的的拟合度。关键字：职工工资；多元线性回归；单因素变量多因素方差分析；非线性回归；spssexcel一、问题重述职工工资可以说是人们最为关切、议论最多的部分，因此也常常是最受重视的部分。一般说来，现代企业的工资具有补偿职能、激励职能、调节职能、效益职能。科学合理的工资制度，是激励职工的劳动积极性，提高劳动效率的重要手段，正确运用工资的杠杆作用在调动员工积极性方面会起到事半功倍的效果。此

5、外，对于企业中的各种不同的“特殊职务族”，是否要制定和执行专门的倾斜与优惠政策，如对管理干部、高级专家、女工等，也是需要重点考虑的问题。随机抽取了某企业若干职工的相关数据。现在需要建立适当的数学模型研究下列问题：（1）分析平均日工资与其他因素之间的关系，尤其需要说明与哪些因素关系密切；（2）考察女工是否受到不公正待遇，以及她们的婚姻状况是否影响其收入；（3）继续改进你的模型，并给出模型误差分析。二、问题假设与相关符号说明1模型的基本假设1）本题中的样本是随机抽取的，具有广泛代表性；2）本题中所给的性别、工龄、婚姻状况、学历等因素是确定的，不是随机的，而且数据时真实的；3）职工平均日工资只与本模

6、型中的七个变量有关，不受其他因素影响；4）各个因素之间相互独立，不相关；5）假设各个因素的观测值没有系统误差，随机误差项具有零均值和等方差，且随机误差项服从正态分布；6）各因素的随机误差项在不同样本点是不相关的，并有相同的精度；2、符号说明y：日平均工资x1工龄（月）1，女x2=20，男0，男性、未婚女性1，已婚女性1，硕士0，其他1，博士0，其他达到最小，即寻找?0,?1,?2,?9满足1，本科x6=0，其他1，两年内有一线经历x7=0，其他x8=1，受培训0，未受培训x9=1，管理岗位0，技术岗位三、问题分析1）职工工资问题给出了该公司日平均工资与其他7个因素之间的90组数据，并要求我们分

7、析平均日工资与其他因素之间的关系，尤其要说明与哪些因素关系密切；同时，我们还要考察女工是否受到不公正待遇，以及她们的婚姻状况是否影响其收入。2）分析平均日工资与其他因素之间的关系时，我们明显可以看出，平均日工资与其他因素之间是明显的多元线性回归问题；我们可以通过建立多元线性回归模型来分析平均日工资与其他因素之间的关系，并且可以通过拟合优度检验、回归方程和回归系数的显著性检验、逐步回归法等方法来得出7个因素中那几个对平均日工资的影响最大。3）对于统计数据中的非数量型变量，对于简单情况可以通过设置0、1变量进行数据量化（比如说性别）；对于复杂的情况（比如题目中的学历），有四种情况，因而可以设置成3

8、个0、1型变量进行处理；另外，考虑到男性对婚姻状况无影响，因而可以把它归入另外两种情况中的任意一种情况中（本题把它归入未婚女性中）。4）考察女工是否受到不公正待遇以及她们的婚姻状况是否受影响其收入，我们可以单独对女性数据展开分析，并与其他数据作比较，就可以得出结论。5）针对如何改进模型，我们可以通过平均日工资与其他因素的分析，找到其中某一个或几个因素对平均日工资有一定的非线性影响；之后，我们通过散点图确定线性类型，并通过非线性最小二乘法进行参数估计及其他分析。四、模型的建立及其求解过程1.1多元线性回归模型的建立：设y01x12x29x9其中0为该多元线性回归模型的常数项，1,2,9分别为自变

9、量x1,x2,x9的系数，为随机误差项回归参数的估计（普通最小二乘法估计）；所谓最小二乘法，就是寻找参数0,1,9的估计值?0,?1,?9，使离差平方和Q（0129)=yi-01x12x29x9)Q(?0,?,?2,9?9)=(yi-?0?Xi?9X9)2=min9(yi-oi01X12X29x9)2(样本个数为9)按照公式求出的玄9的普通最小二乘估计。,?9就称为回归参数将上面叙述的方程整理后，可以用矩阵形式表示出来，并用我们所学的计算软件可以很容易的求出，冷称9?0?Xii1为经验回归方程。eVi?i称为?i(i=1,2,9)的残差1.2多元线性回归模型求解用SPSS软件对数据做多元线性回

10、归分析：表【1】ModelSummaryModelRRSquareAdjustedRSquareStd.ErroroftheEstimate1.896a.803.7817.593a.Predictors:(Constant),工作性质,一线经历,工龄(月)，学历，学历，性别，婚姻状况，培训情况，学历表【2】ANOVAbModelSumofSquaresdfMeanSquareFSig.1Regression18848.71692094.30236.326.000aResidual4612.1848057.652Total23460.90089a. Predictors:(Constant),工

11、作性质，一线经历，工龄(月)，学历，学历，性别，婚姻状况，培训情况，学历b. DependentVariable:日工资表【3】CoefficientsaModelUnstandardizedCoefficientsStandardizedCoefficientstSig.BStd.ErrorBeta1(Constant)80.41612.1366.6261.000工龄（月）.089.007.70313.505.000性别-.9842.619-.030-.376.708婚姻状况.6962.652.021.262.794学历-35.3718.055-.770-4.391.000学历-26.963

12、8.354-.447-3.228.002学历-41.83411.723-1.096-3.569.001一线经历-.7282.214-.019-.329.743培训情况5.2528.656.135.607.546工作性质.8431.975.026.427.671a.DependentVariable:日工资从ModelSummary表中看到，相关系数r=0.896，说明y与xi,x2,xg有显著的线性关系；决定系数r2=0.803，从相对水平上看，回归方程能够减少因变量y的80.3%的方差波动，回归方程高度显著；回归标准差？=7.593。从ANOV方差分析表中看到，F=36.326，显著性Sig

13、0.000，表明回归方程高度显著，说明Xi,X2,xg整体上对y有高度显著的线性影响，这与相关系数的检验结果是一致的。从Coefficients系数表中得到回归方程为：y=80.416+0.089x1-0.984x2+0.696x3-35.371x4-26.963x5-41.834x6-0.728x7+5.252x8+0.843x9【结论】：1、对模型中回归系数的解释如下：xi的系数为0.0896，说明在其他条件不变的情况下，工龄每增加一个月，工资上涨0.0896元；X2的系数为-0.984说明男女工人在同等条件下，男工比女工日工资高0.894元；X3的系数是0.696，说明在其他条件不变的情

14、况下，已婚女性的日工资比未婚女性的日工资高0.696;X4,X5,x6的系数都是负数，且X6X4X5，说明学历越高，工资越高，可以看出，硕士学历日工资比本科学历日工资高6.463元，博士学历日工资比硕士学历日工资高8.408元；x的系数为-0.728，显而易见，在一线工作的职工的日工资低于未在一线工作的职工的日工资；X8的系数是5.252，说明受过培训的职工的日工资比未受过培训的职工的日工资高5.252元；X9的系数是0.843，说明管理岗位的职工的日工资比技术岗位的职工的日工资高；2、回归系数的显著性检验：从Coefficients系数表中可以看出，x“的p值=0.000，X4的p值=0.0

15、00，的p值=0.002，X6的p值=0.001，其他自变量的p值都都明显偏高。我们可以说，X1，X4，X5，X6对y有显著性影响，也就是说日平均工资受工龄、学历（本科、硕士、博士、博士后）的影响最大，并且这两个因素对平均日工资的影响几乎一样。其他如性别（X2）、婚姻状况（X3）、一线经历（X7）、培训情况（X8）、工作性质（X9）y的影响十分小。其中影响最小的是婚姻状况，其次是一线经历，接下来是性别、工作性质和培训情况。由于性别和婚姻状况对y几乎没有影响，所以我们可以说女工并没有受到不公正待遇，而且她们的婚姻状况也没有影响其收入。1.3逐步回归法分析表【4】a. Predictors:(Co

16、nstant),b. Predictors:(Constant),c. Predictors:(Constant),d. Predictors:(Constant),ModelSummaryModelRRSquareAdjustedRSquareStd.ErroroftheEstimate1.751a.565.56010.7752.864b.746.7408.2793.879c.772.7647.8804.895d.800.7917.421工龄（月）工龄（月），学历工龄（月），学历，学历工龄（月），学历，学历，学历表【5】ANOVAeModelSumofSquaresdfMeanSquareF

17、Sig.1Regression13244.961113244.961114.092.000aResidual10215.93988116.090Total23460.900892Regression17497.19528748.597127.627.000bResidual5963.7058768.548Total23460.900893Regression18120.30236040.10197.264.000cResidual5340.5988662.100Total23460.900894Regression18779.54544694.88685.246.000dResidual468

18、1.3558555.075Total23460.90089a.FTedictors:(Constant),工龄(月)b.FTedictors:(Constant),工龄(月),学历c.Predictors:(Constant),工龄(月),学历，学历d.FTedictors:(Constant),工龄(月),学历，学历，学历e.DependentVariable:日工资表【6】CoefficientsaModelUnstandardizedCoefficientsStandardizedCoefficientstSig.BStd.ErrorBeta1(Constant)41.172：1.914

19、21.507：.000工龄（月）.096.009.75110.681.0002(Constant)55.3212.32223.826：.000工龄（月）.087.007.68212.448.000学历-16.4672.091-.431-7.876.0003(Constant)61.8403.02020.478.000工龄（月）.089.007.69913.339.000学历-23.3422.945-.611-7.927.000学历-11.2793.561-.246-3.168.0024(Constant)85.8067.48811.459.000工龄（月）.089.006.70214.211.

20、000学历-47.3587.475-1.241-6.336.000学历-35.3167.715-.769-4.578.000学历-27.4517.934-.455-3.460.001aDependentVariable：工资逐步回归法的思想是有进有出。具体做法是将变量一个一个引入，当每引入一个自变量由，对已选入的变量要进行逐个检验，当原引入的变量由于后面的变量的引入而变得不在显著时，要将其剔除。引入一个变量或从回归方程中剔除一个变量，为逐步回归的一步，每一步都要进行F检验，以确保每次引入的新的变量之前回归方程中只包含显著的变量。这个过程反复进行，直到既无显著的变量选入回归方程，也无不显著的自变

21、量从回归方程中剔除为止，这样得到的就是最优回归子集。逐步回归是一种简明、使用、快速的选择最优方程的方法。从表五和表六中可以看到，工龄和学历的Sig都小于0.05，都通过了显著性检验，同时对日平均工资产生较大的影响，这与多元线性回归所得的结果是一致的。1.4回归模型误差分析1.4.1相关性分析从下面的相关系数表中可以看出：只有平均日工资与工龄的相关系数比较大，r=0.827，而其他的相关系数都很小，有的还是负数。从偏相关系数上看，婚姻状况与性别、学历（X4）与培训情况、学历（X6）培训情况的偏相关系数比较大表【7】Correlations日工资工龄（月）性别婚姻状况,学历学历学历一线经历亍培训情

22、况1工作性质Spearman'srh日工资CorrelationCoeffcientOO0.827-.276-.256.328.297-.506i.177.485，.277Sig.(2-tailed).000.008.015.002.004.000.095.000.008N90909090909090909090工龄(月)CorrelationCoeffcient8271.00C-.162-.142.167.061-.179).185.173，.128Sig.(2-tailed).000.126.182.115.570.091.08-.103.231N90909090909090909

23、090性别CorrelationCoeffcient276-.1621.000).713-.132-.234.287.105-.316，-.418Sig.(2-tailed).008.126.000.215.026.006.325.002.000N90909090909090909090婚姻状况CorrelationCoefficient256-.142.7131.000-.125-.226.267.303-.251-.253Sig.(2-tailed).015.182.000.242.032.011.004.017.016N90909090909090909090学历CorrelationC

24、oefficient328.167-.132-.1251.000)-.119-.745i.208.769.322Sig.(2-tailed).002.115.215.242.263.000.05(.000.002N90909090909090909090学历CorrelationCoefficient297.061-.234-.226-.1191.000)-.526i.028.444.234Sig.(2-tailed).004.570.026.032.263.000.794.000.026N90909090909090909090学历CorrelationCoeffcient506-.179.

25、287.267-.745-.5261.000-.236-.969-.445Sig.(2-tailed).000.091.006.011.000.000.025.000.000N90909090909090909090一线经历CorrelationCoeffcient177.185.105.303.208.028-.236i1.000).256，-.053Sig.(2-tailed).095.081.325.004.050.794.025.015，.619N90909090909090909090培训情况CorrelationCoeffcient485.173-.316-.251.769.444

26、-.969).2561.00().423Sig.(2-tailed).000.103.002.017.000.000.000.015.000N90909090909090909090工作性质CorrelationCoeffcient277.128-.418-.253.322.234-.445i-.053.423，1.000Sig.(2-tailed).008.231.000.016.002.026.000.619.000N909090909090909090901.4.2残差分布图【1】HistogramDependentVariable:日工资25-RegressionStandardize

27、dResidual>oneuoq_F-4-3-2-10123Mean=4.09E-16Std.Dev.=0.948N=90由上面直万图可以看出：残差比较趋向于正态分布，但有的地万相差比较大，说明存在一定误差。图【2】NormalP-PPlotofRegressionStandardizedResidualDependentVariable:日工资1.0mucdercepxE0.00.00.2III0.40.60.81.0工龄（月）ObservedCumProb由上面的正态概率图可以看出：统计的数据与回归方程（线性图形）的拟合度还是很好的。图【3】3.00000azcxseRdeTTOLa

28、aDat-2.000002.000001.000000.00000-1.00000-3.00000-4.00000100200300400500由上面的散点图可以看出：残差的线性拟合不是很好，有轻微的非线性趋势，说明该回归方程不是最佳的，我们可以通过非线性回归进行改进这个模型。2.1单因变量多因素方差分析是对一个独立变量是否受多个因素或者变量影响而进行的方差分析。可以检验不同水平间的变量均值，可以分析各个因素之间的主效应以及各因素之间的交互效应。由于我们可以认为所给数据中平均日工资符合正态分布，因而我们可以使用该方法。我们选择平均日工资为因变量，令性别、婚姻状况、学历、一线经历、培训情况、工作

29、性质为固定因子，工龄为随机因素变量，采用SPS软件进行计算得到如下结果：表【8】TestsofBetween-SubjectsEffectsDependentVariable:日工资SourceTypeIIISumofSquaresdfMeanSquareFSig.PartialEtaSquaredCorrectedModel23215.874a76305.47216.207.000.990Intercept9586.23219586.232508.604.000.975x114882.00868218.85311.611.000.984x24.00114.001.212.653.016x32

30、.21212.212.117.737.009x4.0000.000x5.0000.000x6.0000.000x743.521143.5212.309.153.151x8.0000.000x927.573127.5731.463.248.101Error245.0261318.848Total322405.00090CorrectedTotal23460.90089a.RSquared=.990(AdjustedRSquared=.928)从表八中可以看出，在各影响因素中，工龄F值为11.611，显著性P值为0.000，通过了显著性检验，因而工龄对平均日工资有显著性影响，而学历和一线经历的显著

31、性P值，没有通过显著性检验，但从显著性检验以及各元素之间的对比得知，学历和一线经历对于平均日工资相比之下有较大的影响。对于性别和婚姻状况两个因素，从显著性P值上可以看出，他们对平均日工资的形象很小，可以忽略不计。为了更好的查看女性是否受到不公正待遇以及她们的工资是否收到婚姻状况的影响，我们先剔男性数据，再用SPS软件进行分析：表【9】TestsofBetween-SubjectsEffectsDependen(Variable:日工资SourceTypeIIISumofSquaresdfMeanSquareFSig.CorrectedModelP8705.976345193.46620.153

32、.015Intercept7254.61317254.613755.689.000x17914.11040197.85320.610.014x3.8001.800.083.792x4.0000x5.0000x6.0000x76.61316.613.689.467x8.0000x914.400114.4001.500.308Error28.80039.600Total148077.00049CorrectedTotal8734.77648aRSquared=.997(AdjustedRSquared=.947)从上表中可以看出，婚姻状况的显著性P值为0.792，没有通过显著性检验，说明婚姻状况对

33、平均日工资几乎没有什么影响。5、模型的改进对于模型的改进，我们通常情况下都是用非线性回归来进行改进。非线性回归，顾名思义，其回归参数不是线性的，也不能通过转换的方法将其变为线性的参数。对于本题，我们用回归分析法来进行非线性回归。具体做法是：在掌握大量数据的基础上，利用数理统计方法建立因变量与自变量之间的回归关系函数表达式（称回归方程）。由逐步回归法的一系列统计数据我们可以看出，平均日工资和工龄、学历之间的影响最大。我们现在先看平均日工资和工龄之间的关系：首先，我们以X1为x轴，以y为y轴，用excel画出它们之间的散点图：图【4】散点图系列1005004资00日均平20406080100120

34、工龄（月）从这个散点图我们可以看出，平均日工资和工龄之间存在非线性关系，因而，我们可以通过设定一个非线性模型，以改进原有的模型。首先，我们先用SPS歆件做出平均日工资与工龄之间的曲线估计：表【10】ModelSummaryandParamterEstimatesDependentVaria!日eT资EquationModelSummaryParameterEstimatesRSquareFdf1df2Sig.Constantb1b2b3Logarithmic.664174.163188.000-7.09613.556Quadratic.68192.681287.00031.786.245.00

35、0Cubic.69866.409386.00026.555.391-.0011.21E-006Power.745257.169188.00016.424.254Growth.601132.594188.0003.713.002Exponentia.601132.594188J.00040.969.002TheindependentvariaBie能（月）.我们选择了其中的六中曲线做图，表十是拟合度检验和方差分析表图【5】日工资Ot.bvtiiwdQuadriIkTuLk一*伽机-Gn止*“Expojiiii恤1图【5】则是这六种回归曲线的图形。从表十中我们可以看出，幕指数曲线的R2=0.745

36、，是这六个中决定系数最大的；而且幕指数曲线的F值也是最大的，为257.169所以通过SPS软件的操作，我们最终选择幕指数曲线图对模型进行改进。然后我们用SPS软件求出幕指数曲线的各项数据：表【11】CoefficientsUnstandardizedCoefficientsStandardizedCoefficientstSig.BStd.ErrorBetaln（工龄（月）.254.016.86316.036.000(Constant)16.4241.27012.932.000Thedependentvariableisln(日工资).图【6】日工资由表十一可得，幕指数的曲线方程为丫=16.4

37、24x0.254ObservedPower六、模型的评价1、模型的优点：1）方法灵活多样，使用了SPSS口excel相结合的方法，很好地对模型进行了分析以及改进，使之与实际情况很好的吻合。2）引入了大量的01变量，很好地对数据进行了处理。3）采用了多种分析方法，如逐步回归法、单因变量多因素方差分析法、残差分析法、非线性回归法等，对模型进行了全面的考察。4）较多地运用了图形与数据结合分析的方法，使文章整体看上去很有内涵，不是很呆板。2、模型的缺点1）考虑不是很全面，没有考虑到模型因素以外的外部条件的影响，因而模型与实际情况的切合度不是很完美。2）模型中加入了自己的一点主观因素，使模型的公正性有点

38、缺失。3）有些地方的分析不是很到位，有点似是而非，这是因为本人的知识有限。【参考文献】：【1】何晓群，刘文卿，应用回归分析，中国人民大学出版社【2】何晓群，多原统计分析，中国人民大学出版社【3】冯成志，社会科学统计软件，清华大学出版社4】姜启源，数学建模讲义，清华大学【5】郝黎人，樊元，SPS使用统计分析，中国水利水电出版社附录编号日工资性别工龄（月）婚姻状况学历工作性质一线经历培训情况133女7已婚本科技术岗位00234男14男性本科技术岗位00334男18男性本科管理岗位00442男19男性本科技术岗位00534女19未婚本科管理岗位00634女19已婚本科技术岗位00734女27已婚本科技术岗位10836女30已婚本科技术岗位00943男30男性本科技术岗位001040女30未婚本科技术岗位001240女31已婚本科管理岗位001337女38已婚本科技术岗位001437男41男性本科技术岗位001538女42已婚本科技术岗位001642男42男性本科管理岗位001738男42男性本科技术岗位001838女42已婚本科管理岗位001937女47已婚本科技术岗位102037女52已婚本科技术岗位102239男54男性本科技