苏教版直线与平面平行的判定和性质

1、苏教版直线与平面平行的判定和性质第15课时直线与平面平行的判定和性质（三）教学目标：通过运用定理解决具体问题，培养学生的空间想象能力、判断思维能力、逻辑推理能力，使学生进一步掌握直线与平面平行的判定定理、性质定理，并能正确运用之解决一些具体问题；通过学生自主地学习过程，激发学生学习数学的自信心和积极性，培养学生不断发现，探索新知的精神，提高观察问题、分析问题的能力，增强勇于战胜困难的勇气.教学重点：直线与平面平行的判定定理、性质定理的应用.教学难点：直线与平面平行的判定定理、性质定理的应用.教学过程：I.复习回顾师前面我们学习了直线与平面的三种位置关系，并且讨论了其中的一种关系-直线与平面的平

2、行问题，学习了一个判定定理、一个性质定理，请同学们回忆一下判定定理和性质定理的具体内容.生判定定理是"线线平行则线面平行"，性质定理是"线面平行则线线平行".师请具体阐述一下判定定理中前面的"线线"，性质定理中后面的"线线".生判定定理中前面的"线线"，一条在平面外，另一条在前述的平面内；性质定理后面的"线线"，一条是平行于平面的直线，另一条是过前一条直线的平面与已知平面的交线.师好.应用定理应注意什么？生结论成立的条件一个不能少.师判定定理结论成立的条件有几个？分别是什么？

3、生有三个.分别是aa,ba,allb.师性质定理结论成立的条件有几个？分别是什么？生有三个.分别是ala,aB,anp=b.师应该注意.应用定理解决具体问题时，三个条件一个不能少.还有,如果证题过程中能应用""符号,则尽可能使用,它能使你的推理更加严谨、简捷,给读者或老师或阅卷人一个简洁明了的印象.下面我们来讨论直线与平面平行的判定定理与性质定理的综合应用.新课讨论师上节课,我们已经讨论了一个综合应用的例子,大家讨论、分析、研究得很投入,希望继续发扬这种钻研精神,来研究我们面临的问题.例1已知ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外卜一点，M是PC的中点，在DM上取一点G

4、,过G和AP作平面交平面BDM于GH求证：AP/GH.分析：欲证AP/GH只要证什么就可以了？生因为GH是过AP的平面与面BDM的交线，所以要证AP/GH只要证AP与含GH在内的平面平行就可以了.师GH在哪一个平面内？生GH在面BDM内.师那也就是说，只要证AP与面BDM平行就行了.怎样证AP与面BDM平行呢？生只要证AP与面BDM内一条直线平行就行了.师与面BDM内哪一条直线平行呢？能是GH吗？生肯定不能是GH.师那么证AP与哪一条直线平行呢？（稍停，给学生留出点思考的时间），这就得在面BDM内找，找到的这条直线，要能较好地联系已知.生连结AC,AC与BD的交点是平行四边形ABCD勺对角线A

5、C的中点，设为O因为M是PC的中点，连结0M贝UOM在面BDM内，又是PAC的中位线，所以AP平行MO问题得证啦！师同学所谈有道理吗？众生有.师XX同学的分析完全正确.下面请同学们整理证明过程（请一位同学写在黑板上，供教师做讲评）.证明：连结AC,设AC交BD于O连结M0.T四边形ABCD是平行四边形0是AC的中点又M是PC的中点MOPA又MC®BDMPA面面BDM.又经过PA与点G的平面交面BDM于GH.AP/GH.师刚才我们分析所用的方法称为执果索因法，我们证题一般用的由因导果法（也叫综合法）.前者是从结果（论）出发，寻找结果（论）成立的原因（条件），一直追溯到已知；后者是从条件

6、出发一直到推出结果.两者是完全不同的推理方法.请同学们注意：执果索因法是分析问题、寻求思路的一种有效方法.遇到问题，两者联用，在似乎"山穷水尽疑无路"之时，都能寻求到解（证）题的途径，达到"柳暗花明又一村"的境地.例2如图，平面MNPQACBD/面MNPQ.求证：MNPQ是平行四边形；如果AC=BD=a,求证：四边形MNPQ勺周长为定值；如果AC=a,BD=b,AC与BD成6角，求四边形MNPQ5积的最大值，并确定此时M的位置.师请同学们认真审题,并作出分析,以学习小组为单位展开讨论,寻求答题途径.（同学们人人积极思考,以学习小组为单位各抒己见,讨论很热

7、烈)生甲对于(1)小题，欲证MNP(是平行四边形，只要证明MNP(有一组对边平行且相等，或两组对边分别平行就可以了，结合已知易证两组对边分别平行，因为AC平行于面MNPQ，过AC的平面ACB交面MNP于MN所以AC平行于MN同理AC平行于PQ由平行公理得MN平行于PQ同理可证MQ平行于NP,所以四边形MNP(是平行四边形.师生甲同学分析得很好.生乙对于小题.因为MN平行于AC所以=,又AC=a,所以MN=a,因为MQ平行于BD.所以=.又BD=a,所以M3a,所以四边形MNPQ勺周长=2(MN+MQ)=2a(+)=2a(定值)师很好.对于定值问题的证明,可以先探求定值,探求定值的方法,可以取特

8、殊位置去探求.比如这个题,可把M、N、P、Q分别看作ABBCCDDA的中点去探求定值.探求出定值之后,目标就明确了,利用已知向目标靠拢即可.但要注意,取特殊位置只能用以对定值的探求,而不能作为证明的依据.否则就使问题失去了普遍性一般性.师谁来谈一下第(3)小题的解题思路？(谈这个小题没有谈前面两个小题那样踊跃,可能遇到了什么障碍）师你是怎样想的就怎样谈，说多少算多少，说错了也没关系！（鼓励学生大胆发言），其他同学要注意听，大家共同想办法，把这个问题解决了.生丙要求四边形MNP（面积的最大值，首先需要列出面积的函数关系式；要列出面积的函数关系式需要知道平行四边形MNPO两邻边的长及其夹角，夹角就

9、是异面直线ACBD所成的角B,两邻边的长表示不出来.虽然MN与AC有个关系，NP与BD也有个关系，但表示不出平行四边形的边长来.师不错.生丙同学前面的分析很好，但到后来他犯愁了，谁来帮他想想办法？（没有学生接这个"茬"）师大家只顾找MNNP怎样表示了，而忽略了一个重要的东西：列面积的函数关系式需要自变量啊，哪个量"扮演这个角色"呢？从题中再看看，审题万万不可不仔细！生丁设AM=x生丙（生丁的一"点"，障碍排除，抢着回答）只设AM还不行，再设AB=1（1为定值），这样就行了.（跑到讲台上，在黑板上书写）.设AM=x,AB=l由（2）知：

10、NP=b=b=xMN=a=a=（l-x）设平行四边形MNP（的面积为S.则S=MN?NP?sinMNP=x?(Ix)sin6=(lxx2)sin(x)2+sin6当x=，即M为AB的中点时，S最大值为sin6.师生丁同学谈出了今天第(3)小题讨论中重要的一点，使我们问题的解决出现了转机.生丙同学又接着对第(3)小题作出了全面的解答，大家再仔细看一看，认真想一想，对生丙同学的解答过程还有没有什么补充或更正？生戊在列出四边形MNPQ勺面积的函数关系式前面应表述清楚/MN住6师请你来补充在解答过程中.生戊(上黑板板书，补充在设平行四边形MNPQ勺面积为S之前).vMIN/ACNP/BD/MNP是AG

11、BD所成的角，即/MN住6.师好.谁还有？生己设AM=x应标明x的取值范围，把前两步的位置调换一下，标明OvxvI.师请来予以更正补充.生己在黑板上将生丙同学的解答更正补充为：设AB=l(l为定值)AM=x(Ovxvl)师还有吗？(稍停顿)好了，这样再经过大家的补充，整个解答就完美了.今后在学习中，无论是解答题，还是证明题，表述必须清楚，推理必须严谨，千万不可粗枝大叶，丢三落四，要养成严密、严谨、细致的良好习惯.有根有据，有条有理，才是一种优美的、令人赞叹的、使人折服的精彩"表演"，尤其分析问题、解决问题的方法，更应引起每位同学重视.第(1)小题、第(2)小题的证明过程，大

12、家下去以后自己整理，现在我们来练习一个题.m.课堂练习如图，口EFGH的四个顶点分别在空间四边形ABCD勺边ABBCCDDA上，求证：BD/面EFGHAC/面EFGH.证明：EFGH是平行四边形BD/面EFGH同理可证AC/面EFGH.IV.课时小结本节课我们讨论了直线与平面平行的判定定理、性质定理的综合应用，大家一起分析了两个题目，并且分析得很好.通过这节课，要求同学们初步掌握分析问题、寻求解题思路的方法-执果索因法、由因导果法(分析法、综合法)，并养成良好的思维习惯、严谨的治学态度，进行严密的逻辑推理.V.课后作业(一)思考与练习一、选择题1. m、n是平面a外的两条直线，在m/a的前提下

13、，m/n是n/a的()B.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条A. 充分而不必要条件C.充分必要条件件答案：A2. 直线a/面a、面a内有n条互相平行的直线，那么这n条直线和直线a()A.全平行B.全异面C.全平行或全异面D.不全平行也不全异面答案：C3. 直线a/平面a,平面a内有n条直线相交于一点，那么这n条直线中与直线a平行的()A.至少有一条B.至多有一条C.有且只有一条D.不可能有答案：B4. a和b是两条异面直线，下列结论正确的是()A. 过不在a、b上的任意一点，可作一个平面与a、b都平行B. 过不在a、b上的任意一点，可作一条直线与a、b都相交C. 过不在a、b上的任意一点，

14、可作一条直线与a、b都平行D. 过a可以并且只可以作一个平面与b平行答案：D二、填空题1. 过平面外一点，与平面平行的直线有条，如果直线m/平面a，那么在平面a内有条直线与m平行.答案：无数无数2. n平面a,则m/n是mila的条件.答案：既不充分也不必要3. 直线a/平面a，在平面a内任取两点P、Q当PQ与a的位置关系是时，直线a及点P确定的平面与a的交线和过直线a及点Q的平面与a的交线互相平行.答案：PQ与a垂直三、解答题1. 求证：经过两条异面直线中的一条有且只有一个平面和另一条直线平行.已知：a、b是异面直线.求证：过b有且只有一个平面与a平行.证明：(1)存在性在直线b上任取一点A

15、,显然Aa.过A与a作平面B在平面B内过点A作直线a'/a则a与b是相交直线，它们确定一个平面，设为aTba,a与b异面,aa又a/a',a'a,二a/a过b有一个平面a与a平行(2) 唯一性假设平面Y是过b且与a平行的另一个平面则by,：Ab,.A丫又AB,.Y与B相交，设交线为a，贝yAatally,aB,=a"：aIIa",又aIIa',a'/a"这与a'Aa"=A矛盾.假设错误，故过b与a平行的平面只有一个.综上所述,过b有且只有一个平面与a平行.2. 如图：E、H分别是空间四边形ABCD勺边ABA

16、D的中点，平面a过EH分别交BCCD于F、G.求证：EHIFG.证明：连结BD./E、H分别是ABAD的中点 EHIBD又BD面BCDEH面BCD.EH/面BCD又EH%、anWBCD=FGiEH/FG.3. 已知：MN分别是ADBDADC勺重心，A点不在平面a内，B、DC在平面a内，求证：MN/a.证明：连结AMAN并延长分别交BDCD于P、Q,连结PQ./MN分别是ADBADC的重心， =2.MIN/PQ又PQa,MNa MN/a.4. 三个平面两两相交得到三条交线,如果其中两条交线平行,则第三条也和它们分别平行.已知：平面aQB=l，平面=m平面Ya=n,m/n.求证：I/ml/n.同理可证l/n.线面平行的判定与性质定理是立体几何中的重要知识，也是高考考查的重点内容.因此，教学中应注意以下几点：1. 帮助学生理解好线面平行的定义、直线和平面没有公共点，直线才和平面平行，这一条件用来判定线面平行很困难，一般采用反证法，利用定义进行论证问题.2. 线面平行的判定定理把线面平行的判定转化为线线平行的判定，将立体几何题转化为平面几何问题，运用起来方便得多.3. 线面平行的性质定理可得线线平行，给我们作平行线提供了方法.4. 线面平行的判定定理是由线线平行到线面平行，性质定理是由线面平行到线线平行，实现了线面问题