数字图像处理3_赵建峰

1、数字图像处理(Digital Image Processing)内蒙古科技大学信息学院信息处理研究室赵建峰第三章、图像处理基本技术3.1 几何变换3.2点处理3.1 几何变换一、图像像素的属性二、几何变换基础三、图像基本变换四、图像复合变换五、图像透视变换一、图像像素的属性数字图像的基本构成单位是像素。图像像素有两个重要的属性：1、像素位置；2、像素颜色或灰度。像素属性的改变会引起图像的变化。图像像素位置属性有规律的变化，称为数字图像的几何变换。二、几何变换基础图像的几何变换，是指通过改变像素的位置，使图像产生大小、形状和位置的变化，来达到用户期望的图像。从图像类型来分，图像的几何变换有二维平

2、面图像的几何变换和三维图像的几何变换以及由三维向二维平面投影变换等。从变换的性质分， 图像的几何变换有平移、比例缩放、旋转、反射和错切等基本变换，透视变换等复合变换，以及插值运算等。数字图像说明二维数字图像就是把连续的二维(2D)图像在坐标空间XOY和性质空间F都离散化了的图像，可用一组二维(2D)数组f(x, y)来表示。其中x和y表示2D空间XOY中一个坐标，f代表图像在点(x, y)的某种性质F的数值。如果所处理的是一幅灰度图，这时f表示灰度值。而且此时f、x、y都在整数集合中取值。常见的图像几何变换可以通过与之对应的矩阵线性变换来实现（除了插值运算）。对于一些简单几何变换及变换中心在坐

3、标原点的比例缩放、 反射、 错切和旋转等变换，可以用22的矩阵表示和实现。但数字图像的平移以及绕任意点的比例缩放、反射、错切和旋转等变换，。却不能通过一个22变换矩阵 实现为了使用统一的矩阵线性变换形式，表示和实现这些常见的图像几何变换，需要引入一种新的坐标，即齐次坐标。利用齐次坐标，可使用统一的形式实现上述二维图像的几何变换。abTcd齐次坐标现将点P0(x0, y0)平移到P(x, y)，其中x方向的平移量为x，y方向的平移量为y。则点P(x, y)的坐标为：yyyxxx00若用矩阵的形式表示，点P(x, y)的坐标为：yxyxyx001001坐标点平移图示Oyxy0yxx0P0(x0 ,

4、 y0)P(x , y)此矩阵的第一、二列构成单位矩阵，第三列元素为平移常量。故对2D图像进行变换，只需要将图像的点集矩阵乘以变换矩阵即可。2D图像对应的点集矩阵是2n阶的，而扩展后变换矩阵是23阶的，这不符合矩阵相乘时要求前者的列数与后者的行数相等的规则。 yxT1001上述变换若要使用一个变换矩阵来实现，则需要使用23阶变换矩阵，其形式为： 因此在点的坐标列矩阵x yT中引入第三个元素，增加一个附加坐标，扩展为31的列矩阵x y 1T。用三维空间点（x, y, 1）来表示二维空间点（x, y），即采用一种特殊的坐标，可以实现平移变换。因此，利用这种特殊的坐标，可将23阶矩阵扩充为33阶矩阵

5、，以拓宽功能。由此可得平移变换矩阵：yxyyxxyxyxPTP00000110011001001xTy验证一下点P (x, y)按照33的变换矩阵T平移变换的结果：111100100100000yxyyxxyxyxPTP可见，引入附加坐标后，扩充了矩阵的第3行， 并没有使变换结果受到影响。这种用n1维向量表示n维向量的方法称为齐次坐标表示法。二维空间坐标(x, y)的齐次坐标可表示为(Hx, Hy, H)，其中H表示任意非零实数。当H1时，则(x, y, 1)就称为点(x, y)的规范化齐次坐标。二维空间坐标点的规范化齐次坐标的前两个数没有变化，仅在原坐标中增加了H1的附加坐标。由点的齐次坐标

6、（Hx, Hy, H）求点的规范化齐次坐标(x, y, 1)，可按如下公式进行：HHyyHHxx规范化齐次坐标的几何意义：点(x, y)落在3D空间H1的平面上。若将XOY 平面内的三角形abc的各顶点表示成齐次坐标(xi, yi, 1)(i=1, 2, 3)的形式，就变成H1平面内的三角形a1b1c1的各顶点。zxyOabca1b1c1H1齐次坐标在二维图像中的另一个应用是：若点S(60000，40000)在16位计算机上表示则大于32767的最大坐标值。将点S的坐标形式变成(Hx, Hy, H)形式的齐次坐标，则可解决这一问题。在齐次坐标系中，设H1/2，则 (60000，40000)的齐

7、次坐标为(1/2x, 1/2y, 1/2)，那么所要表示的点变为(30000, 20000, 1/2)，此点显然在16位计算机上二进制数所能表示的范围之内。图像几何变换矩阵形式实现二维图像几何变换的一般过程为：将2n阶的二维点集矩阵niiyx200然后乘以相应的变换矩阵即可完成，即：变换后的点集矩阵=变换矩阵T变换前的点集矩阵。（图像上各点的新齐次坐标）（图像上各点的原齐次坐标）表示成齐次坐标niiyx3001设变换矩阵T为： 则上述变换可以用公式表示为：smlqdcpbaTnnnnnnyyyxxxTHHHHyHyHyHxHxHx3212132121111图像上各点的新齐次坐标规范化后的点集矩

8、阵为： 引入齐次坐标后，表示2D图像几何变换的33矩阵的功能就完善了，可以用它完成2D图像的各种几何变换。nnnyyyxxx32121111下面讨论33阶变换矩阵中各元素在变换中的功能。几何变换的33矩阵的一般形式为：子矩阵可使图像实现恒等、 比例、 镜像、 错切和旋转变换。p q T这一列矩阵可以使图像实现平移变换。 l m 矩阵可以使图像实现透视变换，但当l=0，m=0时它无透视作用。s矩阵可以使图像实现全比例变换。abpTcdqlms33的阶矩阵T可以分成四个子矩阵。其中，2 2abcd00100010001iiiixxyyss将齐次坐标 规范化后， 。由此可见， 当s1时，图像按比例缩

9、小；当0s1时，整个图像按比例放大；当s1时，图像大小不变。 iixys1100iiiiyxsysx例如：三、图像基本变换1、图像比例缩放 2、图像平移变换3、图像镜像变换4、图像旋转变换1、图像比例缩放 图像比例缩放是指将给定的图像在x轴方向按比例缩放fx倍， 在y轴方向按比例缩放fy倍，从而获得一幅新的图像。如果fxfy， 即在x轴方向和y轴方向缩放的比率相同，称这样的比例缩放为图像的全比例缩放。如果fxfy，图像的比例缩放会改变原始图像的像素间的相对位置，产生几何畸变。设原图像中的点P0(x0,y0)比例缩放后，在新图像中的对应点为P(x, y)，则P0(x0,y0)和P(x, y)之间

10、的对应关系如上图所示。放大后缩放前xy(x , y)(x0 , y0)O比例缩放前后两点P0(x0,y0) 、P(x, y)之间的关系用矩阵形式可以表示为： 00000010011xyxxfyfy 上式的逆运算为 ：0000100111001xyfxxyyf即 fyyyfxxx00比例缩放所产生的图像中的像素可能在原图像中找不到相应的像素点，这样就必须进行插值处理。插值处理常用的方法有两种，一种是直接赋值为和它最相近的像素值，另一种是通过一些插值算法来计算相应的像素值。前一种方法计算简单，但会出现马赛克现象；后者处理效果要好些，但是运算量也相应增加。在下面的算法中直接采用了前一种做法。实际上，

11、这也是一种插值算法，称为最邻近插值法(Nearest Neighbor Interpolation)。 下面首先讨论图像的比例缩小。最简单的比例缩小是当fx=fy=1/2时，图像被缩到一半大小，此时缩小后图像中的(0，0)像素对应于原图像中的(0，0)像素；(0，1)像素对应于原图像中的(0，2)像素；(1，0)像素对应于原图像中的(2，0)像素，依此类推。图像缩小之后，因为图像的数据量小了，所以画布可相应缩小。此时，只需在原图像基础上，每行隔一个像素取一点，每隔一行进行操作，即取原图的偶(奇)数行和偶(奇)数列构成新的图像。如果图像按任意比例缩小，则需要计算选择的行和列。如果MN大小的原图像

12、F(x，y)缩小为 kMkN大小(k1)的新图像I(x，y)时，则I(x, y)=F(int(cx), int(cy) (c=1/k)由此公式可以构造出新图像，如下图所示：k 1/3当fxfy(fx, fy0)时，图像不按比例缩小，这种操作因为在x方向和y方向的缩小比例不同，一定会带来图像的几何畸变。图像不按比例缩小的方法是： 如果MN大小的旧图F(x，y)缩小为k1Mk2N(k11，k21)大小的新图像I(x，y)时，则I(x, y)=F(int(c1x), int(c2y) 其中 2211,1kckc由此公式可以构造出新图像。 图像在缩小操作中，是在现有的信息里如何挑选所需要的有用信息。而

13、在图像的放大操作中，则需要对尺寸放大后所多出来的空格填入适当的像素值，这是信息的估计问题，所以较图像的缩小要难一些。当fx=fy=2时，图像被按全比例放大2倍， 放大后图像中的(0，0)像素对应于原图中的(0，0)像素；(0，1)像素对应于原图中的(0，0.5)像素，该像素不存在，可以近似为(0，0)也可以近似 (0，1)； (0，2)像素对应于原图像中的(0，1)像素；(1，0)像素对应于原图中的(0.5，0)，它的像素值近似于(0， 0)或(1，0)像素； (2，0)像素对应于原图中的(1，0)像素，依此类推。其实这是将原图像每行中的像素重复取值一遍，然后每行重复一次。原图像 按最近邻域法

14、放大两倍的图像 按插值法放大两倍的图像 一般地，按比例将原图像放大k倍时，如果按照最近邻域法则需要将一个像素值添在新图像的kk的子块中。显然，如果放大倍数太大， 按照这种方法处理会出现马赛克效应。当fxfy(fx, fy0)时，图像在x方向和y方向不按比例放大， 此时， 这种操作由于x方向和y方向的放大倍数不同，一定带来图像的几何畸变。放大的方法是将原图像的一个像素添到新图像的一个k1k2的子块中去。为了提高几何变换后的图像质量， 常采用线性插值法。该方法的原理是，当求出的分数地址与像素点不一致时，求出周围四个像素点的距离比，根据该比率， 由四个邻域的像素灰度值进行线性插值。按最近邻域法放大五

15、倍的图像 线性插值法示意图 (x , y)(x , y 1)(x 1 , y)x , y(x 1 , y 1)p1 p1 qq简化后的灰度值计算式如下:g(x,y)=(1-q)(1-p)g(x,y)+pg(x+1，y)+q(1-p)g(x，y+1)+pg(x+1，y+1 式中：g(x，y)为坐标(x，y)处的灰度值，x、y分别为不大于x，y的整数。关于这个问题的详细算法及其实现，读者可以参考有关参考文献。 2、图像平移变换 图像平移x2 , y1这样，平移后的图像上的每一点都可以在原图像中找到对应的点。例如，对于新图中的(0，0)像素，代入上面的方程组，可以求出对应原图中的像素(-x，-y)。

16、如果x或y大于0，则点(-x，-y)不在原图像中。对于不在原图像中的点，可以直接将它的像素值统一设置为0或者255（对于灰度图就是黑色或白色）。同样，若有像素点不在原图像中，也就说明原图像中有点被移出显示区域。如果不想丢失被移出的部分图像，可以将新生成的图像宽度扩大|x|， 高度扩大|y|。 平移前的图像 平移后的图像 平移扩大后的图像 3、图像镜像变换图像的镜像变换不改变图像的形状。图像的镜像(Mirror)变换分为两种：一种是水平镜像，另外一种是垂直镜像。图像的水平镜像操作是将图像左半部分和右半部分以图像垂直中轴线为中心进行镜像对换；图像的垂直镜像操作是将图像上半部分和下半部分以图像水平中

17、轴线为中心进行镜像对换。图像的镜像图像的镜像变换也可以用矩阵变换表示。设点P0(x0, y0)进行镜像后的对应点为P(x, y)，图像高度为fHeight，宽度为fWidth， 原图像中P0(x0, y0)经过水平镜像后坐标将变为(fWidth-x0，y0)，其矩阵表达式为： 110001001100yxfWidthyx逆运算矩阵表达式为 110001001100yxfWidthyx即 yyxfWidthx00同样， P0(x0, y0)经过垂直镜像后坐标将变为(x0，fHeight-y0)， 其矩阵表表达式为 110010001100yxfHeightyx(6-4) 逆运算矩阵表达式为 11

18、0010001100yxfHeightyx即yfWidthyxx004、图像旋转 变换图像的旋转是一种相对复杂的几何变换。一般图像的旋转是以图像的中心为原点，将图像上的所有像素都旋转一个相同的角度。图像的旋转变换是图像的位置变换，但旋转后，图像的大小一般会改变。和图像平移一样， 在图像旋转变换中既可以把转出显示区域的图像截去， 也可以扩大图像范围以显示所有的图像。旋转前的图像 1243旋转后的图像（扩大图像、 转出部分被截）1243同样，图像的旋转变换也可以用矩阵变换表示。设点P0(x0, y0)旋转角后的对应点为P(x, y)， 如下图所示。那么， 旋转前后点P0(x0, y0)、 P(x,

19、 y)的坐标分别是： 图像旋转角rrxy(x , y)(x0 , y0)Ocossinsincoscossin)sin(sincossinsincoscos)cos(sincos000000yxrrryyxrrrxryrx写成矩阵表达式为 11000cossin0sincos100yxyx其逆运算为 11000cossin0sincos100yxyx利用公式可以确定旋转后图像上的像素。例如，当=30时，公式为：866. 05 . 05 . 0866. 0 xyyxx而且， 此时 xmin=0.866-0.53=-0.634; xmin=0.8663-0.5=2.098ymin=0.866+0.

20、5=1.366; ymax=0.8663+0.53=4.098图像旋转角 30四、图像复合变换图像的复合变换是指对给定的图像连续施行若干次如前所述的平移、镜像、比例、旋转等基本变换后所完成的变换，图像的复合变换又叫级联变换。利用齐次坐标，对给定的图像依次按一定顺序连续施行若干次基本变换， 其变换的矩阵仍然可以用33阶的矩阵表示，而且从数学上可以证明，复合变换的矩阵等于基本变换的矩阵按顺序依次相乘得到的组合矩阵。设对给定的图像依次进行了基本变换F1，F2，FN，它们的变换矩阵分别为T1，T2，TN，图像复合变换的矩阵T可以表示为：T=TNTN-1T1。1、复合平移设某个图像先平移到新的位置P1(

21、x1, y1)后，再将图像平移到P2(x2, y2)的位置，则复合平移矩阵为： 可见，尽管一些顺序的平移，用到矩阵的乘法，但最后合成的平移矩阵，只需对平移常量作加法运算。1001001100100110010012121221121yyxxyxyxTTT2、复合比例同样，对某个图像连续进行比例变换，最后合成的复合比例矩阵，只要对比例常量作乘法运算即可。复合比例矩阵如下：12121 212120 00 00 00000000 010010 01aaa aTTTddd d 3、复合旋转类似地，对某个图像连续进行旋转变换，最后合成的旋转变换矩阵等于两次旋转角度的和，复合旋转变换矩阵如下式所示：112

22、21 2112212121212cosqsinq0cosqsinq0T =TT = -sinqcosq0-sinqcosq0001001cos(q +q ) sin(q +q )0= -sin(q +q ) cos(q +q ) 0001 上述均为相对原点(图像中央)作比例、旋转等变换，如果要相对某一个参考点作变换，则要使用含有不同种基本变换的图像复合变换。不同的复合变换， 其变换过程不同，但是无论它的变换过程多么复杂，都可以分解成一系列基本变换。相应地， 使用齐次坐标后，图像复合变换的矩阵由一系列图像基本几何变换矩阵依次相乘而得到。下面通过一个例子讨论含有不同种基本变换的图像复合变换。可以看

23、出，在进行图像的比例缩放、 图像的旋转变换时，整个变换过程由两部分组成，即需要两个独立的算法。首先，需要一个算法来完成几何变换本身，用它描述每个像素如何从其初始位置移动到终止位置； 同时， 还需要一个用于灰度级插值的算法。这是因为，在一般情况下，原始(输入)图像的位置坐标(x, y)为整数， 而变换后(输出)图像的位置坐标为非整数， 即产生“空穴”， 反过来也是如此。因此，一般地，在进行图像的几何变换时， 除了要进行其本身的几何变换外， 还要进行灰度级插值处理。五、图像透视变换3.2点处理一、直方图二、灰度变换三、图像噪声一、直方图1、直方图的定义2、直方图的性质3、直方图的计算1、直方图的定

24、义直方图的基本概念如果将图像中像素亮度(灰度级别)看成是一个随机变量， 则其分布情况就反映了图像的统计特性，这可用Probability Density Function (PDF)来刻画和描述，表现为灰度直方图(Histogram)。灰度直方图是灰度级的函数，它表示图像中具有某种灰度级的像素的个数，反映了图像中每种灰度出现的频率。灰度直方图的横坐标是灰度级，纵坐标是该灰度级出现的频度，它是图像最基本的统计特征。图像灰度直方图 6646313266416665436646611223466543211426545654321设r代表图像中像素灰度级，作归一化处理后，r将被限定在0, 1之内。在

25、灰度级中，r=0代表黑，r=1代表白。对于一幅给定的图像来说，每一个像素取得0, 1区间内的灰度级是随机的，也就是说r是一个随机变量。假定对每一瞬间，它们是连续的随机变量，那么就可以用概率密度函数pr(r)来表示原始图像的灰度分布。如果用直角坐标系的横轴代表灰度级r，用纵轴代表灰度级的概率密度函数pr(r)，这样就可以针对一幅图像在这个坐标系中作出一条曲线来。这条曲线在概率论中就是概率密度曲线。 图像灰度分布概率密度函数 Pr(r)r10Pr(r)10r(a)(b)从图像灰度级的分布可以看出一幅图像的灰度分布特性。例如，从上图中的(a)和(b)两个灰度分布概率密度函数中可以看出： (a)的大多

26、数像素灰度值取在较暗的区域，所以这幅图像肯定较暗，一般在摄影过程中曝光过强就会造成这种结果；(b)图像的像素灰度值集中在亮区，因此，图像(b)将偏亮，一般在摄影中曝光太弱将导致这种结果。当然，从两幅图像的灰度分布来看图像的质量均不理想。 2、直方图的性质1、直方图是一幅图像中各像素灰度值出现次数(或频数)的统计结果，只反映该图像中不同灰度值出现的次数(或频数)，而未反映某一灰度值像素所在位置。即只包含了该图像中某一灰度值的像素出现的概率，而丢失了其所在位置的信息。2、任一幅图像，都能惟一地确定出一幅与它对应的直方图， 但不同的图像，可能有相同的直方图，即图像与直方图之间是多对一的映射关系。3、

27、由于直方图是对具有相同灰度值的像素统计得到的， 因此，一幅图像各子区的直方图之和就等于该图像全图的直方图。图像与直方图间的多对一关系 (a)(b)直方图的分解 (a)(b)(c)3、直方图的计算灰度直方图的计算非常简单，依据定义，在离散形式下， 用rk代表离散灰度级，用pr(rk)代表pr(r)，并且有下式成立：式中：nk为图像中出现rk级灰度的像素数，n是图像像素总数，而nk/n即为频数。在直角坐标系中做出rk与pr(rk)的关系图形，即称为该图像的直方图。nnrpkkr)(1, 2 , 1 , 010lkrk设若图像具有L级灰度(通常L=256，即8位灰度级)，则大小为MN的灰度图像f(x

28、, y) 的灰度直方图pBuffer0L-1可用如下算法得到：1、初始化：pBufferk=0 ; k=0, , L-1。2、统计：pBufferf(x, y)+ ; x, y =0, , M-1, 0, , N-1。3、归一化：pBufferf(x, y)/=M*N。其中，直方图的归一化是一个可选项， 若不需要特殊处理可以不进行此项操作。Lena图像及其直方图a、Lena图像；b、Lena图像的直方图 钟楼图像及其直方图a、钟楼图像；b、钟楼图像的直方图 二、灰度变换1、直方图的拉伸2、直方图均衡化处理3、直方图规定化处理1、直方图的拉伸一幅给定图像的灰度级分布在0r1范围内。可以对0, 1

29、区间内的任一个r值进行如下变换： s=T(r) 即通过上述变换，每个原始图像的像素灰度值r都对应产生一个s值，变换函数T(r)应满足：1、在0r1区间内，T(r)值单调增加； 2、对于0r1， 有 0T(r)1。 第一个条件保证了图像的灰度级从白到黑的次序不变；第二个条件则保证了映射变换后的像素灰度值在容许的范围内。从s到r的反变换可用下式表示： r=T-1(s)由概率论理论可知，如果已知随机变量的概率密度函数为pr(r)，而随机变量是 的函数，即=T()， 的概率密度为ps (s)，所以可由pr(r)求出ps (s)。因为s=T(r)是单调增加的，由数学分析可知，它的反函数r=T-1(s)也

30、是单调函数。在这种情况下，如图4-8所示，s且仅当r时发生，所以可以求得随机变量的分布函数为 dxxprpspsFrr)()()(对上式两边求导，即可得到随机变量的分布密度函数ps (s)为 )(11)()()()(sTrrrsdsdrrpsTdsdrpsp通过变换函数T(r)可以控制图像灰度级的概率密度函数，从而改变图像的灰度层次。这就是直方图修改技术的理论基础。 灰度拉伸变换函数 s1skr1rkO)(krTr和s 的变换函数关系 sOr2、直方图均衡化处理直方图均衡化处理是以累积分布函数变换法为基础的直方图修正法。假定变换函数为dprTsrr)()(0式中：是积分变量，而 就是r的累积分

31、布函数。这里，累积分布函数是r的函数，并且单调地从0增加到1， 所以这个变换函数满足关于T(r)在0r1内单值单调增加。在0r1内有0T(r)1的两个条件。dprr0)(对式中的r求导，则 )(rpdrdsr利用此公式，可得： 1)(1)(/1)()()()()(11rprpdrdsrpdsdrrpsprrsTrrsTrrs(4-8) 由上可知，在变换后的变量s的定义域内的概率密度是均匀分布的。故用r的累积分布函数作为变换函数，可产生一幅灰度级分布具有均匀概率密度的图像。其结果扩展了像素取值的动态范围。例如，一幅曝光过强的照片，图像的灰度集中在较暗的区域，其概率密度函数为：2201( )0rr

32、rpr其他用累积分布函数原理求变换函数 rrddprTsrrr2)22()()(200变换后的s值与r值的关系为 )(22rTrrs按照这样的关系变换，就可以得到一幅改善质量的新图像。这幅图像的灰度层次将不再是呈现较暗色调的图像，而是一幅灰度层次较为适中， 比原始图像清晰， 明快得多的图像。可以证明，变换后的灰度及概率密度是均匀分布的。下图分别为原图像概率密度函数、变换函数和变换后图像的概率密度函数。连续图像直方图均衡化处理 pr(r)21s T(r)pr(s)12rr0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.20.40.60.81.0r0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.20.

33、40.60.81.0(a)(b)(c)0上述方法是以连续随机变量为基础进行讨论的。当灰度级是离散值时，可用频数近似代替概率值，即 1, 1 , 010)(lkrnnrpkkkr(4-9)式中：l是灰度级的总数目，pr(rk)是取第k级灰度值的概率，nk是图像中出现第k级灰度的次数，n是图像中像素总数。图像均衡化变换公式的离散形式可由下式表示： 1, 1 , 010)()(00lkrrpnnrTsjkjjrkjjkk其反变换式为 )(1kksTr数字图像均衡化步骤1、列出原始图像灰度级rk, k=0,1,k,L-1;2、统计各灰度级的象素数目nk, k=0,1,k,L-1;3、计算原始图像直方图

34、pr(rk) = nk /n，n为原始图像总的象素数目；4、计算原始图像累积直方图c(k);5、应用转移函数，计算映射后的灰度级,sk=INT(gmax-gmin)c(k)+gmin+0.5 或 sk=INT(L-1)c(k)+0.56、确定映射关系， rk sk, k=0,1,L-1;7、统计映射后各灰度级的像素数目nk, k=0,1,k,L-1;8、计算输出图像直方图Ps(sk)= nk/n，k=0,1,p-1;。示例一副6464大小的图像灰度分布如下所示序号运算步骤和结果1原图灰度级012345672各灰度级像素7901023850656329245122813原图直方图0.190.25

35、0.210.160.080.060.030.024原图累积直方图0.190.440.650.810.890.950.9815映射后灰度级135667776确定映射关系0113253、465、6、777新图像素79010238509854488新图直方图0.190.250.210.240.11计算过程直方图均衡化处理结果 10.250pr(rk)1000.200.150.100.05rk717273747576sk1.00.80.60.40.2717273747576rkps(sk)1717273747576sk0.250.200.150.100.05(a)(b)(c)由上例可见，利用累积分布函

36、数作为灰度变换函数，经变换后得到的新直方图虽然不很平坦，但毕竟比原始图像的直方图平坦的多， 而且其动态范围也大大地扩展了。因此，这种方法对于对比度较弱的图像进行处理是很有效的。下图是经直方图均衡化后的Lena图像和其直方图。因为直方图是近似的概率密度函数，所以用离散灰度级作变换一般得不到完全平坦的结果。另外，从上例可以看出，变换后的灰度级减少了，这种现象叫做“简并”现象。由于简并现象的存在，处理后的灰度级总是要减少的， 这是像素灰度有限的必然结果。由于上述原因， 数字图像的直方图均衡只是近似的。经直方图均衡化后的Lena图像及直方图a、经直方图均衡化后的Lena图像； b、均衡化后的Lena图

37、像的直方图 3、直方图规定化处理在图像处理中，有时需要对一幅图像进行变换，使其具有特定的直方图形式。如使该图像与某一标准图像具有相同的直方图，或者使图像的直方图具有某一特定的函数形式，这一过程称为直方图规定化处理。直方图规定化是一种常见的直方图修正增强方法，在图像处理前期经常要采用此方法来修正图像。在将原始直方图向目标直方图做规定化映射时，常用的映射规则是单映射规则(Single Mapping Law, SML)和组映射规则(Group Mapping Law, GML)。数字图像规定化步骤1、列出原始图像灰度级rk, k=0,1,k,L-1 ；2、统计各灰度级的象素数目，nk, k=0,1

38、,k,L-1 ；3、计算原始图像直方图pr(rk) = nk /n，n为原始图像总的象素数目；4、计算原始图像累积直方图c(k) ；5、列出规定图像直方图pu(uk) = nk /n，n为原始图像总的象素数目6、计算规定图像累积直方图d(k) ；7S、应用SML映射，确定映射后的灰度级；8S、确定映射对应关系， rk sk, k=0,1,L-1 ；9S、计算输出图像直方图Ps(sk)= nk/n，k=0,1,p-1;。7G、应用GML映射，确定映射后的灰度级；8G、确定映射对应关系， rk sk, k=0,1,L-1 ；9G、计算输出图像直方图Ps(sk)= nk/n，k=0,1,p-1;。示例一副6464大小的图像灰度分布如左图所示，请对图像进行处理，处理