121任意角的三角函数2016

1、1.2.11.2.1任意角的三角函数任意角的三角函数在初中我们是如何定义锐角三角函数的？在初中我们是如何定义锐角三角函数的？sincostancacbba复习回顾复习回顾OabMPcOabMPyx在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？新课导入新课导入22:OMxMPyOPrxy其中yx在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？cosOMxOPrsinMPyOPrtanMPyOMx,P x yMo如果改变点在终边上的位置，这三个比值会改如果改变点在终边上的位置，这三个比值会改变吗？变吗？PMOPMPsinOP

2、OMcosOMMPtanOMPPMOPOPMPOOMMOPM诱思探究诱思探究MOyxP(x,y)OPMPsinOPOMcosOMMPtan，则若1 rOPyxyxyOP( , )x yx1M任意角的三角函数定义任意角的三角函数定义 设设 是一个任意角是一个任意角,它的终边与单位圆交于点它的终边与单位圆交于点),(yxP 正弦正弦,余弦余弦,正切都是以正切都是以角为自角为自变量变量,以以单位圆单位圆上点的上点的坐标或坐标或坐标的比值坐标的比值为函数值的函数为函数值的函数,我们将他们称为我们将他们称为三角函数三角函数.(1) 叫做叫做 的正弦的正弦,记作记作 ,即即 ；ysinysin那么那么:(

3、2) 叫做叫做 的余弦的余弦,记作记作 ,即即 ；xcosxcos(3) 叫做叫做 的正切的正切,记作记作 ,即即 xytan)0(tanxxyy),(yxPyx)0 , 1 (AO),(yxP 叫做叫做 的正弦，即的正弦，即ryrysin 叫做叫做 的正弦，即的正弦，即ry 叫做叫做 的余弦，即的余弦，即rxrxcos设角设角 是一个任意角，是一个任意角， 是终边上异于原点是终边上异于原点的任意一点，点的任意一点，点 与原点的距离与原点的距离 022yxrP定义推广定义推广那么那么: : 叫做叫做 的正弦，即的正弦，即xy0tanxxy任意角任意角 的三角函数的三角函数值仅与值仅与 有关，而

4、与有关，而与点点 在角的终边上的在角的终边上的位置无关位置无关.P),(yxPyxOr任意角的三角函数的定义过程：任意角的三角函数的定义过程：直角三角形中定义锐角三角函数直角三角形中定义锐角三角函数 直角坐标系中定义锐角三角函数直角坐标系中定义锐角三角函数 单位圆中定义锐角三角函数单位圆中定义锐角三角函数 单位圆中定义任意角的三角函数单位圆中定义任意角的三角函数 一般圆中定义锐角三角函数一般圆中定义锐角三角函数 例例1.求求 的正弦、余弦和正切值的正弦、余弦和正切值.3535AOB解：解：在直角坐标系中，作在直角坐标系中，作 AOB，易知，易知 的终边与单位圆的交点坐标为的终边与单位圆的交点坐

5、标为 13( ,).22所以所以 53sin,32 51cos,325tan3.3 xyoAB355) 4() 3(220OP解解:由已知可得由已知可得设角设角 的终边与单位圆交于的终边与单位圆交于 ，),(yxP分别过点分别过点 、 作作 轴的垂线轴的垂线 、0PMPP00PMx400PM 于是，于是， ;54|1sin000OPPMOPMPyyyMP30OMxOMOMP00POM;531cos00OPOMOPOMxx34cossintanxy4, 30P0MOyxMyxP ,的正弦、余弦、正切值求角的终边经过点已知角例),4, 3(. 2PP 3 ,4aa aa变式.已知角 的终边上一点R

6、且0 ，sin,cos,tan求角 的的值.3 ,4 ,xa ya解：由于223450raaa a所以 105 ,ara若则于是334433sin,cos,tan555544aaaaaa 205 ,ara 若则于是32sin ,cos ,tan.yx、已知角 的终边在直线上，求角 的的值 1解： 当角 的终边在第一象限时，221,2125在角 的终边上取点，则r=22 5152sin,cos,tan255155 2当角 的终边在第三象限时，221, 2125r 在角 的终边上取点，则22 5152sin,cos,tan255155 变式1.根据三角函数的定义根据三角函数的定义,确定它们的定义域

7、确定它们的定义域 （弧度制）（弧度制）三角函数三角函数定义域定义域sincostanR)(2Zkk2.确定三角函数值在各象限的符号确定三角函数值在各象限的符号yxosinyxocosyxotan+（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）R+-+-+-+-三角函数定义域与取值符号三角函数定义域与取值符号 例例3 求证：当且仅当下列不等式组成立时，求证：当且仅当下列不等式组成立时， 角角 为第三象限角为第三象限角. 证明：证明： 因为因为式式 成立成立,所以所以 角的终边可能位于第三角的终边可能位于第三 或第四象限，也可能位于或第四象限，也可能位于y 轴的非正半轴上；轴的

8、非正半轴上；0sin 又因为又因为式式 成立，所以角成立，所以角 的终边可能位于的终边可能位于第一或第三象限第一或第三象限. 0tan 因为因为式都成立，所以角式都成立，所以角 的终边只能位于第三象限的终边只能位于第三象限.于是角于是角 为第三象限角为第三象限角.反过来请同学们自己证明反过来请同学们自己证明.如果两个角的终边相同，那么这两个角的如果两个角的终边相同，那么这两个角的同一三角函数值有何关系？同一三角函数值有何关系？ 终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一）终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一）其中其中 例例4 确定下列三角函数值的符号：确定下列三角函数值的符号： （1） （2） （3）解：解：（1）因为）因为 是第三象限角，所以是第三象限角，所以 ；2500250cos（2）因为）因为 = ， 而而 是第一象限角，所以是第一象限角，所以 ；)672tan(48tan)360248tan(0)672tan(48 （3）因为）因为 是第四象限角，所以是第四象限角，所以 .404sin例例5 求下列三角函数值：求下列三角函数值： （1） （2） 解：（解：（1） （2）1. 内容总结：内容总结： 三角函数的概念三角函数的概念.三角函数的定义域及三角函数值在各象限的