【课件】选修2-2第三章《数系的扩充与复数概念 复数的几何意义》

1、卡尔丹卡尔丹(Cardano,1501 (Cardano,1501 1576)1576)问题：将问题：将1010分成两个部分，使它们的乘积等于分成两个部分，使它们的乘积等于40.40.该方程无实数解该方程无实数解解：设其中一个数是解：设其中一个数是 x , , 则另一个数为则另一个数为1010-x. . x (10-x) =40化简得化简得: : x2-10 x+40=0 (x-5)2=-15一、课题引入一、课题引入想想：能否扩充实数集使得卡尔丹问题有解？想想：能否扩充实数集使得卡尔丹问题有解？ 15451545年，卡尔丹在年，卡尔丹在大衍术大衍术中写中写道：道：“要把要把1010分成两部分，

2、使二者乘积为分成两部分，使二者乘积为4040，这是不可能的，不过我却用下列方式，这是不可能的，不过我却用下列方式解决了解决了”15 1051551540515515三、实数集扩充三、实数集扩充有意义吗？有意义吗？思考：思考：（1）（2）实数集的扩充需要加入哪些元素？）实数集的扩充需要加入哪些元素？ 16371637年，法国数年，法国数学家笛卡尔把这些学家笛卡尔把这些数叫做数叫做“虚数虚数” (R.Descartes,1596(R.Descartes,15961661)1661)笛卡尔笛卡尔如如 等，当时包括卡尔丹在内的等，当时包括卡尔丹在内的数学家都认为这些数是没有意义的、虚无缥数学家都认为这

3、些数是没有意义的、虚无缥缈的缈的 15,1,2三、实数集扩充三、实数集扩充 17771777年，瑞士数年，瑞士数学家欧拉在其论文中学家欧拉在其论文中首次使用符号首次使用符号“i ” 它满足它满足: : 称称为为虚数单位虚数单位. .-12i =欧拉欧拉 (L.Euler,1707 (L.Euler,1707 1783 1783) )事实上，这些数最终都归结为事实上，这些数最终都归结为-1的平方根的平方根三、实数集扩充三、实数集扩充三、实数集扩充三、实数集扩充为扩充实数集，我们引入新数为扩充实数集，我们引入新数i,叫叫做虚数单位做虚数单位（imaginary unit），并规定），并规定: (1

4、) (2)实数可以与实数可以与i进行四则运算，在进行四则运算进行四则运算，在进行四则运算 时，原有的加法与乘法运算律仍然成立时，原有的加法与乘法运算律仍然成立 = -12i思考思考：（1）引入引入i 后你能写出卡尔当要找的数吗？后你能写出卡尔当要找的数吗？（2）你能写出其他含有你能写出其他含有 i 的数吗？的数吗？（3）你能写出实数集扩充后的数集元素的一般形你能写出实数集扩充后的数集元素的一般形 式吗？式吗？1 1、复数的概念：复数的概念：形如形如a+bi( (a,bR) )的数叫的数叫做复数做复数, , 通常用字母通常用字母 表示表示. .(,)aR bR实部实部虚部虚部其中其中 称为称为虚

5、数单位虚数单位. .i2 2、复数的代数形式：复数的代数形式：z=a+bi四、复数概念四、复数概念注意：注意：复数实部和虚部都是实数复数实部和虚部都是实数3、复数的分类：、复数的分类：b=0z=a+bib0a=0实数（）虚数（ ）（时为纯虚数） 4 4、复数集：、复数集：全体复数所形成的集合叫做复数全体复数所形成的集合叫做复数集，一般用字母集，一般用字母 表示表示. .四、复数概念四、复数概念思考：思考：复数集与实数集有什么关系？复数集与实数集有什么关系？RC总结：中学阶段数系扩充过程总结：中学阶段数系扩充过程实实 数数 集集有理数集有理数集自然数集自然数集整整 数数 集集复复 数数 集集添加

6、虚数添加虚数例例1.1.当当 m 为何实数时，复数为何实数时，复数 2=+-2+(-1)2zmmmi(1)(1)实数实数 (2)(2)虚数虚数 (3)(3)纯虚数纯虚数(4) (4) 0 0 (5) (5) 4+34+3i 是：是：四、复数概念四、复数概念想想：如何定义两个复数相等？想想：如何定义两个复数相等？反之反之, ,也成立也成立. . 如果两个复数的实部和虚部分别相等，如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等那么我们就说这两个复数相等a,b,c,dR若 ,acbda+bi= c+di,则则五、复数相等五、复数相等例例2.2.已知已知() (2 ) i (2 5) (3) ix yxyx