画法几何 平面、直线及立体相交

1、P平面与立体表面的交平面与立体表面的交线称为线称为截交线截交线，该平，该平面称为面称为截平面截平面。截平面截平面截交线截交线基本立体被平面切割后基本立体被平面切割后形成的立体叫形成的立体叫截切体截切体，截交线所围成的截面图截交线所围成的截面图形叫形叫截断面（断面）截断面（断面）。截切体截切体截断面截断面 截交线在立体的表面上截交线在立体的表面上 表面性表面性。 截交线是截平面和立体表面的共有线截交线是截平面和立体表面的共有线 共有性共有性。 截交线是封闭的平面多边形截交线是封闭的平面多边形 封闭性封闭性。P截交线截交线截平面截平面 平面体的表面都是平面，截平面体的表面都是平面，截平面与它们的交

2、线都是直线，所平面与它们的交线都是直线，所以截交线是封闭的平面多边形。以截交线是封闭的平面多边形。多边形的各顶点是截平面与被截多边形的各顶点是截平面与被截棱线或底边的交点。因此，求作棱线或底边的交点。因此，求作截交线的问题可归结为求截交线的问题可归结为求线面交线面交点点或或面面交线面面交线的问题。的问题。SFEDCBA5.5.整理修饰整理修饰 丢弃被截掉的棱线，补全、接上原图中丢弃被截掉的棱线，补全、接上原图中 未定的图线，分清可见性，加深描黑。未定的图线，分清可见性，加深描黑。4.4.求截交线的顶点、边线求截交线的顶点、边线 本质问题是求交点和交线；本质问题是求交点和交线；3.3.分析截断面

3、的投影特性分析截断面的投影特性 积聚性、真实性、相仿性；积聚性、真实性、相仿性；2.2.分析截交线的形状分析截交线的形状 判明截交线是几边形；判明截交线是几边形；1.1.几何抽象几何抽象 画出切割前的原始形状的投影；画出切割前的原始形状的投影；例题例题 作出所示形体的水平投影。作出所示形体的水平投影。分析：分析：梯形棱柱上有两条棱和两条底面边线被截平面P 截断，有四个交点，截交线围成一个四边形。作图：作图：先画出形体被切割前完整的水平投影，再求出各棱线、底边被截断的端点，连成截交线的水平投影。1 1、平面与棱柱相交、平面与棱柱相交2 21 3 131 2 3 (4 )44 PV例例 求截交线求

4、截交线例题例题 求截交线求截交线2 a2a b c bs s a (c )b 1 3 c131 2 3 sPVPABCS2 2、平面与棱锥相交、平面与棱锥相交ABCa2a b c bs s a (c )b 1 c131 2 3 sPVPS3 2 例题例题 求截交线求截交线nmMNb (c )b s abcs a sc 1 2 m (n )212 1 m n a 例例 补全带切口立体的投影补全带切口立体的投影例：求三棱锥被截切后的俯视图和左视图。例：求三棱锥被截切后的俯视图和左视图。62 (5)13 4 1234561234(5) 6直线与立体相交直线与立体相交：是直线从立体一侧表面贯入，又从另

5、一侧表面穿出，：是直线从立体一侧表面贯入，又从另一侧表面穿出，故其交点一般总是成双存在的，称为故其交点一般总是成双存在的，称为贯穿点贯穿点。实质实质：求贯穿点实质上就是求直线与平面或直线与曲面的交点。：求贯穿点实质上就是求直线与平面或直线与曲面的交点。交点的求法：交点的求法：（1 1）对于投影有积聚性的表面，可直接利用积聚性求出；）对于投影有积聚性的表面，可直接利用积聚性求出；（2 2）对于投影没有积聚性的表面，经以下三个步骤求得：）对于投影没有积聚性的表面，经以下三个步骤求得： a. a. 过已知直线作辅助平面过已知直线作辅助平面P P； b. b. 求出平面求出平面P P与立体表面的交线与

6、立体表面的交线MNMN； c. c. 求出交线求出交线MNMN与已知直线的交点与已知直线的交点E E、F F，即为贯穿点，即为贯穿点辅助平面的选择：辅助平面的选择： 应尽可能使所作辅助面与立体表面的交线的投影简而易画的直线应尽可能使所作辅助面与立体表面的交线的投影简而易画的直线或圆。或圆。三、直线与平面立体相交三、直线与平面立体相交（1 1）对于投影有积聚性的表面，可直接利用积聚性求出贯穿点）对于投影有积聚性的表面，可直接利用积聚性求出贯穿点defba1(2)XOab21例：求直线例：求直线ABAB与三棱柱的贯穿点。与三棱柱的贯穿点。（2 2）对于投影没有积聚性的表面）对于投影没有积聚性的表面

7、defbaabssefdh213gh123PV例：求直线AB与三棱锥的贯穿点。g（二）平面与圆锥相交（二）平面与圆锥相交（一）平面与圆柱相交（一）平面与圆柱相交（三）平面与圆球相交（三）平面与圆球相交（四）平面与其他回转体相交（四）平面与其他回转体相交（三）平面与圆球相交（三）平面与圆球相交（四）平面与其他回转体相交（四）平面与其他回转体相交（一）平面与圆柱相交（一）平面与圆柱相交 截平面平行于轴线，截平面平行于轴线，交线为交线为 矩形矩形截平面倾斜于轴线，截平面倾斜于轴线，交线为交线为 椭圆椭圆截平面垂直于轴线，截平面垂直于轴线，交线为交线为 圆圆依据截平面与圆柱的相对几何关系，平面与圆柱面

8、的交依据截平面与圆柱的相对几何关系，平面与圆柱面的交线有线有3 3种情形：种情形：1、截平面平行于圆柱的轴截平面平行于圆柱的轴 与柱面的交线是一对平行线与柱面的交线是一对平行线2 2、截平面垂直于圆柱的轴、截平面垂直于圆柱的轴 与柱面的交线是一纬圆与柱面的交线是一纬圆 3 3、截平面倾斜于圆柱的轴、截平面倾斜于圆柱的轴 与柱面的交线是一椭圆与柱面的交线是一椭圆3 3、截平面倾斜于圆柱的轴、截平面倾斜于圆柱的轴 与柱面的交线是一椭圆，与底面的交线为直线。与柱面的交线是一椭圆，与底面的交线为直线。直线曲面体截交线的一般作图步骤曲面体截交线的一般作图步骤u 分析立体的形状及表面性质分析立体的形状及表

9、面性质u 定性判别截交线的形状定性判别截交线的形状u 求特殊点求特殊点 轮廓线上的点轮廓线上的点 曲线的特征点曲线的特征点 极限位置点极限位置点u 求一般点求一般点u 判别可见性判别可见性，连线连线u 整理轮廓线整理轮廓线圆柱被正垂面切割，求圆柱截断后的三面投影图及圆柱被正垂面切割，求圆柱截断后的三面投影图及截断面的实形。截断面的实形。解：解：截交线是椭圆，求特殊点和一般点，连成椭圆。用旋转截交线是椭圆，求特殊点和一般点，连成椭圆。用旋转法或辅助投影可得到实形。法或辅助投影可得到实形。PVPV123”6”7 (8)1”5 (6)2”3(4)64”5”58”7”124387解题步骤解题步骤1 1

10、 分析分析 截交线的水截交线的水平投影为圆，侧面投平投影为圆，侧面投影为影为椭圆椭圆；2 2 求出截交线上的特求出截交线上的特殊点殊点、 ；3 3 求出若干个一般点求出若干个一般点、 、；4 4 光滑且顺次地连接光滑且顺次地连接各点，作出截交线，各点，作出截交线，并且判别可见性；并且判别可见性；5 5 整理轮廓线。整理轮廓线。1PV23”6”7 (8)1”5 (6)2”3(4)64”5”58”7”1243877 (8)3 (4)5 (6)226587435 4 3 2 例例 补全带切口圆柱体的水平及侧面投影补全带切口圆柱体的水平及侧面投影21 131 2 (3 )44 (5 )5456 (7

11、)7 6 67求圆柱截交线求圆柱截交线解题步骤解题步骤1 1分析分析 截交线为矩形截交线为矩形、椭圆及圆和直线的组、椭圆及圆和直线的组合；截交线的水平投影合；截交线的水平投影为已知，侧面投影为矩为已知，侧面投影为矩形、椭圆和直线的组合形、椭圆和直线的组合2 2求出截交线上的特殊求出截交线上的特殊点点、 ；3 3求一般点求一般点；4 4 顺次地连接各点，顺次地连接各点，作出截交线，并且判别作出截交线，并且判别可见性；可见性；5 5整理轮廓线。整理轮廓线。3311 (2)2445532514（二）平面与圆锥相交（二）平面与圆锥相交 =90=90 9090= 0= 0过锥顶过锥顶两相交直线两相交直线

12、圆圆椭圆椭圆抛物线抛物线双曲线双曲线根据截平面与圆锥轴线的相对位置不同，截平面与圆锥面的交线有五种形状。根据截平面与圆锥轴线的相对位置不同，截平面与圆锥面的交线有五种形状。（1） 截平面通过锥顶并与锥面相交时，交线为相交的两素线；（2） 截平面垂直于轴线但不通过锥顶时，交线为圆；（3） 截平面倾斜于轴线并与所有的素线都相交时，交线为椭圆；（4） 截平面倾斜于轴线并与一条素线平行时，交线为抛物线；（5） 截平面与两条素线平行时，交线为双曲线；2 1 3 131 2 3 (4 )44 PV56m (n )m n 5 (6 )5 6 2mn例例 求带切口圆锥的投影。求带切口圆锥的投影。解题步骤解题步

13、骤1 1 分析分析 截交线的水截交线的水平投影和侧面投影均平投影和侧面投影均为椭圆；为椭圆；2 2 求出截交线上的特求出截交线上的特殊点；殊点；3 3 求出一般点；求出一般点；4 4 光滑且顺次地连接各光滑且顺次地连接各点，作出截交线，并且点，作出截交线，并且判别可见性；判别可见性；5 5 整理轮廓线。整理轮廓线。PV例例 求带切口圆锥的投影。求带切口圆锥的投影。2 5 3 135 3 (4 )44 21 (2 )1 52 5 3 135 3 (4 )44 21 (2 )1 5例例 求带切口圆锥的投影。求带切口圆锥的投影。 分析并想象出圆锥穿孔后的投影（三）平面与圆球相交（三）平面与圆球相交

14、平面与球面相交，交线总是圆，但圆的投影根据截平面平面与球面相交，交线总是圆，但圆的投影根据截平面对投影面的倾斜关系可能是直线、圆或者椭圆。对投影面的倾斜关系可能是直线、圆或者椭圆。2 1 131 2 3 (4 )44 56m (n )m n 5 (6 )5 6 2mn3 求带凹槽半球的水平投影和侧面投影。求带凹槽半球的水平投影和侧面投影。3 3 (4 )2 1 1344 21 (2 )（四）平面与其他回转体相交（四）平面与其他回转体相交1 1、平面与单一回转体相交、平面与单一回转体相交2 2、平面与组合回转体相交、平面与组合回转体相交1 1、平面与单一回转体相交、平面与单一回转体相交求作平面与

15、单一回转体的截交线：求作平面与单一回转体的截交线： 当截平面为特殊位置时，与求作圆柱、当截平面为特殊位置时，与求作圆柱、圆锥、球的截交线一样，可用在立体表面圆锥、球的截交线一样，可用在立体表面上作点和线的方法；上作点和线的方法； 当截平面为特殊位置时，则可通过一当截平面为特殊位置时，则可通过一次换面将一般位置的截平面变换成投影面次换面将一般位置的截平面变换成投影面垂直面后作图。垂直面后作图。如图，求作正垂面如图，求作正垂面P P与具有内环面的回转体的截与具有内环面的回转体的截交线，作出截断体的水平投影，并求断面实形交线，作出截断体的水平投影，并求断面实形PVPV1 (2)34 (5)6(7)8(9)10(11)32145768910116171314151819110111111212 2、平面与组合回转体相交、平面与组合回转体相交 组合回转体通常由多个基本回转体组合形成，组合回转体通常由多个基本回转体组合形成，求解这类形体截交线时，应首先分析组合回转体是求解这类形体截交线时，应首先分析组合回转体是由哪些基本回转体组成，以及它们的连接关系，然由哪些基本回转体组成，以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回转体的截交线，并依次将其后分别求出这些基本回转体的截交线，并依次将其连接