第三章光学成像系统的传递函数

1、第三章第三章 光学成像系统的传递函数光学成像系统的传递函数（频谱分析）（频谱分析）u光学传递系统是信息传递或处理系统，它用于传递二维的光学图像信息。u从物面到像面，输出图像的质量完全取决于光学系统的传递特性。u几何光学是在空域研究光学系统的成像规律。嫦娥嫦娥1 1号号神舟七号神舟七号哈勃望远镜哈勃望远镜 如何评价光学成像系统传递信 息的能力？如何评价光学系统的成像质量？成像质量的评价：星点法，分辨率法 星点法：指检验点光源经过光学系统所产生的像斑是否规则。由于相差，玻璃材料不均匀以及加工和装配缺陷等使像斑不规则。 分辨率法：能定量评价系统分辨景物细节的能力。缺点：很难对它做出定量的计算和测量。

2、检验者的主管判断会带入检验结果中。缺点：并不能对可分辨范围内的像质好坏给于全面评价 。本章介绍从频域来分析研究系统的传递特性，学习用传递函数来表征光学成像系统的性能 光学系统是线性系统，有时还是线性空间不变系统。 用线性系统研究它的性能。把输入信息分解成各种空间频率分量，然后考虑这些空间频率分量在通过系统的传递过程中，丢失、衰减、相位移动等变化。 也就是研究系统的空间频率传递特性即传递函数。表示物平面上 点的单位脉冲),(iiyx0did),(iiyx),(yx),(00yx3.1.1透镜的点扩散函数3.13.1相干照明衍射受限系统的点扩散函数相干照明衍射受限系统的点扩散函数),;,(00ii

3、yxyxh),(00yx通过成像系统后在像平面上 点产生的光场分布。),(00yx点发出的单位脉冲为),(0000yyxx有三个平面：透镜前 ，透镜后 ，像面（物平面的共轭面）h1dU1dU利用菲涅耳衍射公式：),;,(001yxyxdU=00)exp(djikd ),(0000yyxx2)()(exp02020dyyxxjk00dydx01dj=2)()(exp02020dyyxxjk=00)exp(djikd2)()(exp02020dyyxxjk为了书写方便，可略去常数位相因子此波通过孔径为 ，焦距为f的透镜后，复振幅),(yxp),;,(001yxyxUd=),(yxp)2exp(22

4、fyxjk),;,(001yxyxdU从透镜后到像面，光场的传播满足菲涅耳衍射，于是物平面上的单位脉冲在观察面上引起的复振幅分布即点扩散函数可写作=idd021)2exp(22iiidyxjk)2exp(02020dyxjk ),(yxp略去包括-1在内的常数位相因子),;,(00iiyxyxhiidjikd)exp(=),;,(001yxyxUd 2)()(exp22iiidyyxxjkdxdy)(111(2exp220yxfddkji)()(exp0000ydydyxdxdxjkiiiidxdy由于fddi1110于是点扩散函数简化为),;,(00iiyxyxhidd021=)2exp(2

5、2iiidyxjk)2exp(02020dyxjk ),(yxp)()(exp0000ydydyxdxdxjkiiiidxdy当透镜的孔径比较大时，物面上每一物点产生的脉冲响应是一个很小的像斑，那么能够对于像面上 点产生有意义贡献的，必定是物面上以几何成像所对应的以物点为中心的微小区域。在这个区域内可以近似的认为 不变，其值与 点的共轭物坐标 ， 相同，即可做以下近似),(iiyx),(iiyxMxxi0Myyi0),(00yx)2exp(02020dyxjk)2exp(2220Myxdjkii),;,(00iiyxyxh= ),(yxp)()(exp0000ydydyxdxdxjkiiiid

6、xdy将 带入，则0/ddMiidd021=idd021),(yxp )()(2exp00yyyxxxdjiiidxdy),;,(00iiyxyxhidd021= ),(yxp)()(2exp00yMyyxMxxdjiiidxdy),;,(00iiyxyxh式中，0000,MyyMxx于是可以写成),(00yyxxhii的形式，即：),(00yyxxhii=idd021 ),(yxp)()(2exp00yyyxxxdjiiidxdyiidyydxx,在近轴条件下，透镜成像系统是空不变的。透镜的脉冲响应函数就等于透镜孔径的夫琅禾费衍射图样。中心位于理想像点 处。透镜的孔径的衍射作用明显与否，是由

7、透镜孔径线度相对于波长 和像距 的比例决定的，为此对孔径平面上的坐标x,y做如下变换，令),(00yxid),(00yyxxhii=M ),(ydxdpii)()(2exp00yyyxxxjiiydxd这就是透镜的点扩散函数（脉冲响应函数）表达式，也是物平面上单位脉冲在观察面上引起的复振幅分布，式中0/ddMi当孔径大小比 大的多时，在 坐标中，在无限大的区域内idyx,),(ydxdpii=1这是物点成像为一个像点（点物成点像），即理想成像),(00yyxxhii=M )()(2exp00yyyxxxjiiydxd),(00yyxxiiM=3.1.2衍射受限系统的点扩散函数入射光瞳入射光瞳：

8、孔径光阑在物空间所成的像称为入射光瞳，简称：孔径光阑在物空间所成的像称为入射光瞳，简称入瞳入瞳出射光瞳出射光瞳：孔径光阑在像空间所成的像称为出射光瞳，简称：孔径光阑在像空间所成的像称为出射光瞳，简称出瞳出瞳单透镜单透镜一般的成像系统一般的成像系统成像系统的成像系统的普遍普遍模型模型这里所说的这里所说的成像系统成像系统是指由多个相隔一定距离的透镜（凸的是指由多个相隔一定距离的透镜（凸的或凹的）、光阑（小孔）等组成的光学系统。这些透镜不一或凹的）、光阑（小孔）等组成的光学系统。这些透镜不一定要求是定要求是“薄薄”的。的。我们假定这些系统最终可以在空间产生一个我们假定这些系统最终可以在空间产生一个实

9、像实像。成像系统的各个器件都有自己的边框，我们把对光束孔径限制最成像系统的各个器件都有自己的边框，我们把对光束孔径限制最多的边框，即真正决定通过系统光束孔径的边框叫做多的边框，即真正决定通过系统光束孔径的边框叫做孔径光阑孔径光阑。关系：入瞳与孔径光阑，孔径光阑与出瞳，入瞳与关系：入瞳与孔径光阑，孔径光阑与出瞳，入瞳与出瞳满足物像共轭关系出瞳满足物像共轭关系孔径光阑孔径光阑出瞳出瞳入瞳入瞳0 x0yixiy0did光组黑箱一个成像系统的外部性质可以由入瞳或出瞳来描述一个成像系统的外部性质可以由入瞳或出瞳来描述，为此可，为此可以不考虑成像系统的内部结构，把系统看成是一个以不考虑成像系统的内部结构，

10、把系统看成是一个“黑箱黑箱”，成像过程可以这样来理解：成像过程可以这样来理解：物平面物平面入瞳面入瞳面出瞳面出瞳面像平面像平面采用这种方法的好处是：我们可以采用这种方法的好处是：我们可以用几种不同的方法来直观用几种不同的方法来直观想象对波前的空间限制想象对波前的空间限制(衍射衍射)的起源的起源；这种限制可以认为是这种限制可以认为是系统内部实际的物理装置系统内部实际的物理装置(孔径光阑孔径光阑)引起的，也可以等价地引起的，也可以等价地认为是系统的认为是系统的入瞳入瞳或或出瞳出瞳引起的。（本课程通常考虑出瞳。）引起的。（本课程通常考虑出瞳。）光学系统光学系统（黑箱）（黑箱）衍射受限系统：不考虑系统

11、的几何像差，衍射受限系统：不考虑系统的几何像差，仅考虑系统的仅考虑系统的衍射限制衍射限制，或者当像差很小或者系统的孔径和视场都不，或者当像差很小或者系统的孔径和视场都不大，边端性质就比较简单，物面上任一点源发出的发散大，边端性质就比较简单，物面上任一点源发出的发散球面波投射到入瞳上，被光组变换为出瞳上的会聚球面球面波投射到入瞳上，被光组变换为出瞳上的会聚球面波。波。有像差的系统：有像差的边端条件，点源发出的发散球有像差的系统：有像差的边端条件，点源发出的发散球面波投射到入瞳上，被光组变换为出瞳上的面波投射到入瞳上，被光组变换为出瞳上的透射波场明透射波场明显偏离理想球面波显偏离理想球面波阿贝认为

12、衍射是有限大小的入瞳大小引起的。瑞利认为衍射效应是有限大小的出瞳引起的。（本书采用瑞利的说法）00(,;,)iih xy x yK ),(yxp)()(2exp00yMyyxMxxdjiiidxdy略去积分号前的系数，略去积分号前的系数，单位脉冲单位脉冲通过通过衍射受限系统衍射受限系统的的脉冲响应脉冲响应就是就是光瞳函数（出瞳函数）的傅立叶变换光瞳函数（出瞳函数）的傅立叶变换。做坐标变换：。做坐标变换：),(00yyxxhii ),(ydxdpii)()(2exp00yyyxxxjiiydxd=22iKd理想系统的脉冲几何响应),(00yyxxhii=22idk),(00yyxxii如果光瞳大

13、小比 大的多时，在 坐标中，在无限大的区域内idyx,),(ydxdpii等于127本节目的：本节目的：确定确定在相干照明下，在相干照明下，某一给定的物复振幅分布通过衍射受限某一给定的物复振幅分布通过衍射受限 系统后，在像平面上形成的像复振幅分布和光强分布。系统后，在像平面上形成的像复振幅分布和光强分布。 照明光源的相干性问题照明光源的相干性问题相相干干照照明明x0BAy0 xiBAyiBlack Box非非相相干干照照明明3.2 3.2 相干照明下衍射受限系统的成像规律相干照明下衍射受限系统的成像规律相干光：像面上的响应是相干光：像面上的响应是复振幅复振幅相干叠加。相干叠加。非相干光：非相干

14、叠加，是非相干光：非相干叠加，是光强光强叠加叠加 研究脉冲响应有何意义？研究脉冲响应有何意义？u 脉冲响应脉冲响应 点物点物 经系统所成的经系统所成的 像（像（像元像元）u 任何物体，都可任何物体，都可分解分解 为无穷多个小面元为无穷多个小面元 点物点物 u 点物点物 经系统成经系统成 像元像元u 像元像元 叠加叠加 构成构成 像像因此，研究成像特性，关键是求出因此，研究成像特性，关键是求出 脉冲响应脉冲响应点物点物像元像元物物体体像像元元像像分解分解点点源源经成像系统经成像系统叠加叠加图图 示示图图 示示像元像元入射光瞳入射光瞳点物点物d0di出射光瞳出射光瞳物面物面像面像面显然，由于高频分

15、量被有限孔径阻挡，不能参与成像显然，由于高频分量被有限孔径阻挡，不能参与成像 因而因而 点物点物 不能成不能成 理想点像理想点像为什么点物不能成为什么点物不能成 理想点像理想点像？),(iiiyxU=),(000yxU物函数通过系统以后所得的物函数通过系统以后所得的像的复振幅分布像的复振幅分布 ，即即),(iiiyxU相干照明情况：相干照明情况：设物的复振幅分布为设物的复振幅分布为 ，物面上各点是完全相，物面上各点是完全相干的。将物分布用干的。将物分布用 函数表达为函数表达为),(000yxU000000(,)( ,) (,)UxyUxyd d = ddyxU),(),(000= ),(0U0

16、0(,)xydd= ),(0U),(MyMxhiidd),(00yyxxhii=21M ),(000MyMxU00ydxd3.2.10000,MyyMxx讨论讨论 在在 坐标中的意义。坐标中的意义。),(00yx),(000MyMxU把理想成像的脉冲响应带入上式，用把理想成像的脉冲响应带入上式，用 表表示即得示即得),(iigyxU22000000021( ,)(,)(,)giiiiixyUx yUkdxxyy dx dyMM M 2200000002(,) (,)iiikdxyUxxyy dx dyMMM 2202(,)iiikdxyUMMM),(00yyxxhii=221idk),(00y

17、yxxhii令令理想像理想像 与物与物 的分布形式是一样的，的分布形式是一样的，只是在只是在 方向放大了方向放大了MM倍。倍。),(iigyxU),(000MyMxUiiyx ,2200000002( ,)(,) (,)iiiiiikdxyU x yUh xxyy dx dyMMM 000000(,) (,)( ,)( ,)giigiiiiUxy h xxyy dx dyUx yh x y 3.2.1物理意义：物 通过衍射受限系统后的像分布像分布 是的理想像点理想像点 和点扩散函数点扩散函数 的卷积卷积。衍射受限成像系统可看成线性空不变系统。),(000yxU),(iiiyxU),(000yx

18、U),(iigyxU),(iiyxh将公式将公式3.1.103.1.10代入代入3.2.33.2.3得得),(00yyxxhii221idk=22idk ),(ydxdpii)()(2exp00yyyxxxjiiydxd=),(ydxdpFii00(,)exp2 ()() iiiipd xd yjxxxyyydxdy 相干照明下，衍射受限系统的点扩散函数为光瞳函数的相干照明下，衍射受限系统的点扩散函数为光瞳函数的傅里叶变换傅里叶变换3.3 3.3 衍射受限系统的相干传递函数衍射受限系统的相干传递函数系统的成像特征在空域空域中用点扩散函数 表征。空不变系统的变换特征在频域频域中来描述更方便，在频

19、域中用 的频谱函数 来描述成像系统的特征。在相干照明下， 称为衍射受限系统的相干传递函数相干传递函数。),(iiyxh),(iiyxh),(H),(H相干传递函数),(H=),(iiyxhF传递函数等于光瞳函数传递函数等于光瞳函数，只是在空域坐标和频域坐标存在变换反演坐标系可以去掉负号),(H=),(iiyxhF),(ydxdpFFii(,-)iipdd =),(iiyxh由光瞳函数由光瞳函数),(ydxdpii决定的决定的),(H=(,)iip dd (,)iix, ydd例如：一个直径为例如：一个直径为D D的圆形光瞳，其孔径函数的圆形光瞳，其孔径函数 可表示为可表示为),(yxp),(y

20、xp= =)2/(22Dyxcirc相干传递函数相干传递函数),(H= =),(iiddp= =)2/(22idDcirc在在 区域内，区域内，idD2/),(H=1=1idD2/在在 外，外，),(H=0=0所以，截止频率所以，截止频率icdD2这是像面上的截止频率，若是物面上的截止频率这是像面上的截止频率，若是物面上的截止频率occM如果出射光瞳是边长为如果出射光瞳是边长为a a的正方形，则光瞳函数为的正方形，则光瞳函数为)()(),(ayrectaxrectyxp相干传递函数为相干传递函数为)()()()()d,d(),(iiiiiidarectdarectadrectadrectPH不

21、同方位上的截止频率不同，当物的周期分布的等位相线平不同方位上的截止频率不同，当物的周期分布的等位相线平行于行于y y轴时，轴时， =0=0，系统的截止频，系统的截止频 率率 。系统的。系统的最大截止频率是等位相线与最大截止频率是等位相线与x x轴成轴成4545角时，此时角时，此时，此方向的截止频率：，此方向的截止频率：icda2icda22例例3.3.13.3.1用一直径为用一直径为D D，焦距为，焦距为f f的理想单透镜对相干照明的理想单透镜对相干照明物体成像。若物方空间截止频率为物体成像。若物方空间截止频率为 ，试问当系统的，试问当系统的放大率放大率MM为何值时，为何值时， 有最大？有最大

22、？ococ解：ffdddMii0即：fMdi）（ 1ocMD1d2ic或fMMDMD12d2ioc为求得当 取最大值时，的放大倍数M,将 对M求导并令其为零得：ococ0112d2ocMfDdMfDMMfDM212limmaxocfDfD22oc在物空间的通频带为例例3.3.23.3.2图图 3.3.13.3.1表示两个相干成像系统，所用透镜的焦距都表示两个相干成像系统，所用透镜的焦距都相同。单透镜系统中光阑直径为相同。单透镜系统中光阑直径为D D，双透镜系统为了，双透镜系统为了获得相同的截止频率，光阑直径获得相同的截止频率，光阑直径a a应该等于多大？应该等于多大？D2f2ffDdDi42c

23、ffffafa2f2ac根据题意要求二者相等，2Da 47U0（x0，y0）Ui （xi，yi）d0di物物面面像像面面像方像方截止频率截止频率例例、有一枚一维光栅，在相干系统中成像，系统的出瞳孔径为、有一枚一维光栅，在相干系统中成像，系统的出瞳孔径为D6cm，设，设 di = 2f = 20cm , 600.0nm，求光栅的截止频率。，求光栅的截止频率。idDf2cut lp/mm 250)(1020060026016 mm？48q 当光栅的空间频率超过当光栅的空间频率超过 250条条/mm时，不能在像面上得时，不能在像面上得 到光栅的像。到光栅的像。q 空频为空频为 250条条/mm的光栅

24、，一级衍射刚能进入系统。的光栅，一级衍射刚能进入系统。 物物 理理 意意 义义物方物方截止频率截止频率由由 di = 2f 可知可知1 M光栅的光栅的截止频率截止频率2+11+20G250lp/mmoccM求成像系统截止频率的问题求成像系统截止频率的问题归结为求出射光瞳函数的归结为求出射光瞳函数的边界问题边界问题解题技巧解题技巧p 一个物体经相干成像系统能否成一个理想的像，要看截止一个物体经相干成像系统能否成一个理想的像，要看截止频率的范围，即频率的范围，即“频宽频宽”，物体上的细节含有丰富的高频，物体上的细节含有丰富的高频信息，在有限的截止频率情况下，高频信息被阻挡得越多，信息，在有限的截止

25、频率情况下，高频信息被阻挡得越多，像的分辨率就越低；像的分辨率就越低；“频宽频宽”越宽，成像质量越高。越宽，成像质量越高。p 相干传递函数体现了相干照明系统对空间频率的传递相干传递函数体现了相干照明系统对空间频率的传递 特性特性 。 两点说明两点说明3.3.2 3.3.2 相干线扩散函数和边缘扩散函数相干线扩散函数和边缘扩散函数Oixiy)(aix)(ixh)(bO概念：一点物在像面上造成的强度分布即为点扩散函概念：一点物在像面上造成的强度分布即为点扩散函数数 ，如果输入的是线脉冲，那么，在像面上，如果输入的是线脉冲，那么，在像面上，垂直线脉冲的方向上的光强分布垂直线脉冲的方向上的光强分布 就

26、叫线扩散函就叫线扩散函数。数。),(iiyxh)(ixL),(000yxU= =)(0 x)(ixL= =)(ix( ,)iih x y= = )(ddxhi),(= =dxhi),(ixix)(ixL用一个与狭缝方向平行的刀口放置在像面上，在刀口移动的过程中，光通量（图中阴影部分）与 构成一个函数 ，这个函数就叫边缘扩散函数边缘扩散函数ix)(ixE)(ixE=dLix)()(ixL=iidxxdE)(边缘扩散函数也可以用下面方式导出：边缘扩散函数也可以用下面方式导出：对系统输入一个阶跃函数，例如均匀照明的直边或刀对系统输入一个阶跃函数，例如均匀照明的直边或刀口形成的光分布。系统的输出叫阶跃

27、响应或边缘扩散口形成的光分布。系统的输出叫阶跃响应或边缘扩散函数，即函数，即)(ixE=)(ixstep),(iiyxh= ),(h)(ixstepdd=dxhi),()(ixstepd=)(L)(ixstepddLix)(=2. 2.相干线扩散函数和边缘扩散函数相干线扩散函数和边缘扩散函数在相干照明下的狭缝光源在像面上产生的复振幅分布就是相干线扩散函数，它的一维傅里叶变换等于系统的传递函数沿 方向的截面分布，即) 0 ,(),()(HdxhFxLFii) 0 ,()(1HFxLi一个平行于 轴的狭缝在像面上产生的相干线扩散函数为0y在衍射受限系统中的相干传递函数在通频带内为常数，无论孔径形状

28、如何，相干传递函数的截面总是矩形函数，因而 将呈 函数变化。)(ixLcsin对于衍射受限系统， 可表示为)(ixL) 0 ,()(1iidPFxL例如直径为D的圆形光瞳，垂直于孔径的任意截面，都是矩形函数，即)() 0 ,(DdrectdPii线扩散函数为)(sin)()(1iiiiidDxcdDDdrectFxL代入)(ixE=dLix)(得边缘扩散函数ddDcdDxEixiii)(sin)(-3 -2 -11 2 30)()(LxLiiidDx110.5-3 -2 -11 2 3iidDx)()(ExEi(a)(b)相干线扩散函数边缘扩散函数3.43.4衍射受限非相干成像系统的传递函数衍

29、射受限非相干成像系统的传递函数3.4.1 非相干成像系统的光学传递函数（0TF）物像关系满足：物像关系满足： ),(iiiyxI=K),(00yxIg),(00yyxxhiiI00ydxd=k),(iigyxI),(iiIyxh强度脉冲响应强度脉冲响应几何光学理想像几何光学理想像的强度分布的强度分布像强度分布像强度分布),(iiIyxh=2),(iiyxh用频域来描述),(iG),(gG=),(IH),(iG=),(iiiyxIF),(gG=),(iigyxIF),(iiIyxhF),(IH=非负实数，所以有零频分量并且：)0 , 0(iG),(iG)0 , 0(gG),(gG)0 , 0(I

30、H),(IH决定像的清晰与否，主要不是包括零频分量在内的总光强有多决定像的清晰与否，主要不是包括零频分量在内的总光强有多大，而是携带有信息的那部分光强相对于零频分量的比值有多大，而是携带有信息的那部分光强相对于零频分量的比值有多大。所以更有意义的是大。所以更有意义的是 , , , , 各自相对于各自相对于零频分量的比值。这就用零频分量对他们进行归一化，得归一零频分量的比值。这就用零频分量对他们进行归一化，得归一化频谱。化频谱。),(gG),(iG),(IH),(ig=)0 , 0(),(iiGG= iiiiiiiiiiiidydxyxIdydxyxjyxI),()(2exp),(),(gg=)

31、0 , 0(),(ggGG= iiiigiiiiiigdydxyxIdydxyxjyxI),()(2exp),(=)0 , 0(),(IIHH iiiiIiiiiiiIdydxyxhdydxyxjyxh),()(2exp),(=( , )I 归一化：归一化：由于 ，并且 所以得到的归一化频谱满足公式),(),(),(IgiHGG)0 , 0()0 , 0()0 , 0(IgiHGG),(),(),(Igigg复常数，因此用模与辐角的形式写为),(M=)0 , 0(),(IIHH),(exp),(),(iiijgg),(exp),(),(gggjgg( , )( , )exp( , )IMj =

32、),(ig),(gg),(),(),(gi调制传递函数（调制传递函数（MTFMTF）, ,描写了系统对各频率分量对比度描写了系统对各频率分量对比度的传递特性的传递特性为位相传递函数，描写了系统对各频率分量施加的相移为位相传递函数，描写了系统对各频率分量施加的相移 是非负实函数，余弦函数是这种系统的本征函数，这种函数经过系统后对比度和相位的变化取决于传递函数的模和辐角)()(2cos),(00000000ggyxbayxI其频谱 为），（gG),(exp),(),(exp),(2),(,0000000000ggggjjbayxIFG）（），（,igII Ih由于 ，所以),(),(),(iiIi

33、igiiiyxhyxIyxI),(),(),(iiIiigiiiyxhFyxIFyxIF根据 的定义( , )I ( ,)( , )(0,0)( , )IiiIIIF h x yHH 00000000( ,)0,0( , )( , )10,0( , )(,)exp(,)2(,)exp-(,)iiiIIIIggF I x yHaHbjj （）（）于是：于是：)0 , 0(IH对于确定的系统，对于确定的系统， 是一常数，对像强度的分布是一常数，对像强度的分布没有什么影响，所以在下面的傅里叶逆变换得到没有什么影响，所以在下面的傅里叶逆变换得到 时可时可将其略去不写，即将其略去不写，即iI000000

34、00( , )( , ) ( , )exp2 ()1(,)( , )exp( ,)2exp2 ()(,)( , )exp( ,)exp2 ()iiiIiiIgiiIgiiI x yajxyd dbjjxyd djjxyd d 000000000000(0,0)(,)exp(,) exp2 ()2(,)exp(,) exp2 ()IIgiiIgiiabjjxyjjxy 因为因为(0,0)1I000000(,)(,)exp(,)IgMj ),(exp),(0000gjM000000(,)(,)exp(,)IgMj),(00000000( ,)( ,)cos 2 ()( ,)( ,)iiiiigI

35、x ya bMxy 由于 是任意的，所以上式可以写成00,最后一步利用了 I 厄米性，将这些结果代入上式，得到像强度分布为：( ,)( , )cos 2 ()( , )( ,)iiiiigI x ya bMxy 由此可见，余弦条纹通过线性空不变成像系统后，像仍然是同频率的余弦条纹，只是振幅减小了，位相变化了。振幅的减小和位相的变化都取决于系统的光学传递函数在该频率处的取值。minmaxminmaxIIIIV物（理想像）和像的调制度物（理想像）和像的调制度对于呈余弦变换的强度分布，很自然地要讨论其对比度和调制对于呈余弦变换的强度分布，很自然地要讨论其对比度和调制度，其定义为度，其定义为abbab

36、ababaIIIIVggggg)()()()(minmaxminmax),(),(),(),(),(minmaxminmaxMabbMabMabMabMaIIIIViiiiigiVMV),(),(),(),(gi3.4.2、光学传递函数、光学传递函数OTF与相干传递函数与相干传递函数CTF 的关系的关系它们都决定于系统本身的物理性质。它们都决定于系统本身的物理性质。光学传递函数光学传递函数相干传递函数相干传递函数分别描述分别描述同一光学成像系统同一光学成像系统采用采用相干照明相干照明采用采用非相干照明非相干照明频谱传递特性频谱传递特性),(=)0 , 0(),(IIHH= iiiiIiiIdy

37、dxyxhyxhF),(),( iiiiIiidydxyxhyxhF),(),(2=2( , )( ,)HHd d ),(H= ddHddHH2),(),(),(=光学传递函数等于相干传递函数光学传递函数等于相干传递函数H H的自相关归一化函数的自相关归一化函数3.4.3 3.4.3 衍射受限的衍射受限的OTFOTF对于相干照明的衍射受限系统),(H),(iiddp=带入3.4.13式H),(=ddddpddddpddpiiiiii),()(),(),(dxdyyxpdxdyydxdpyxpii),(),(),(=衍射受限系衍射受限系统的统的OTFOTF是是光瞳函数的光瞳函数的自相关归一自相关

38、归一化化令iidydx,xyosoxy),(sI),(=0),(ss),(iidd , ,这一结论很容易从两个光瞳错开后重叠这一结论很容易从两个光瞳错开后重叠的面积小于完全重叠面积得出。的面积小于完全重叠面积得出。 截止频率，当截止频率，当 足够大时，两个光瞳完全分离，重叠面足够大时，两个光瞳完全分离，重叠面积为零。积为零。 即在截止频率所规定的范围之外，光即在截止频率所规定的范围之外，光学传递函数为零，像面上不出现这些频率成分。学传递函数为零，像面上不出现这些频率成分。)0 ,0H(),H(,0),H(02. ,2. ,当当 时，两个光瞳完全重叠，归一化重叠时，两个光瞳完全重叠，归一化重叠面

39、积为面积为1 1，这证实，这证实OTFOTF归一化的结果。但是像面光强总要弱于归一化的结果。但是像面光强总要弱于物面光强。物面光强。1)0 , 0( 是实的非负函数，因此衍射受限的非相干成像系统只改是实的非负函数，因此衍射受限的非相干成像系统只改变各频率余弦分量的对比，而不改变他们的相位。变各频率余弦分量的对比，而不改变他们的相位。衍射受限系统的衍射受限系统的OTFOTF的性质的性质例例3.4.1 3.4.1 衍射受限非相干成像系统的光瞳为边长L 的正方形，求其光学传递函数解解：此时的光瞳函数为：)()(),(lyrectlxrectyxp显然，光瞳总面积显然，光瞳总面积 ，当，当 在在 方向

40、分别移方向分别移 动动 以后，得以后，得 ，从图从图3,4,23,4,2可以求出可以求出 和和 的重叠的重叠面积面积 。由图可得。由图可得20ls ),(yxp),(yxiidd,),(iidydxp),(yxp),(iidydxpididxyldlddldldldlsiiiiii, 00,0,),(即其它, 0,),(ldlddldlsiiii光学传递函数为：光学传递函数为：0( , ),()()22ccss （）式中，式中， 是同一系统采用相干照明时的截止频是同一系统采用相干照明时的截止频率，非相干系统沿率，非相干系统沿 和和 轴方向上的截止频率是轴方向上的截止频率是idl2cidlc23

41、.4.2衍射受限系统出瞳直径为D的圆，求此系统的光学传递函数xyidAB解：由于是圆形光瞳，OTF应该是圆对称的。只要沿 轴计算 即可。在x轴方向移动 后，交叠面积被 A B分成两个面积相等的弓形，根据几何公式，交叠面积id)cossin(2)0 ,(2Ds其中 由下式定义cosDdDdii2/2cos截止频率满足 ，也就是两个圆中心距离大于直径D时，重叠面积为零，此种系统的相干传递函数的截止频率 。显然光学传递函数的截止频率恰好又是 。 在极坐标中的表达式为在截止频率内20( , )( ,0),42(sincos )sssD （）DdiicdD2/c2),(其它, 0/,cossin2)(i

42、dD式中22，Ddicos3.4.43.4.4非相干线扩散函数和边缘扩散函数非相干线扩散函数和边缘扩散函数在在非相干照明非相干照明下，平行于下，平行于 轴的狭缝光源在像面上产生轴的狭缝光源在像面上产生的线响应称为线扩散函数，它与光学传递函数的关系是的线响应称为线扩散函数，它与光学传递函数的关系是0y) 0 ,()(1FxLi它是它是OTFOTF沿沿 轴截面分布的一维傅里叶变换，虽然线扩散函数轴截面分布的一维傅里叶变换，虽然线扩散函数和传递函数之间的关系，在相干和非相干照明时都是相同的，和传递函数之间的关系，在相干和非相干照明时都是相同的，但由于但由于OTFOTF和和CTFCTF的明显不同，线扩

43、散函数的的明显不同，线扩散函数的 性质也有很大差性质也有很大差别，别，相干线扩散函数与孔径无关，总是相干线扩散函数与孔径无关，总是 函函 数数。而。而OTFOTF是是光瞳自相关的结果，非相干线扩散函数就与孔径的形状有关。光瞳自相关的结果，非相干线扩散函数就与孔径的形状有关。csin-3 -2 -11 2 30)()(LxLiiidDx110.5-3 -2 -11 2 3iidDx)()(ExEi非相干线扩散函数非相干线扩散函数边缘扩散函数边缘扩散函数非相干边缘扩散函数，由非相干线扩散函数的积分给出dLxEixIi)()(没有相干边缘扩散函数中的振荡现象线扩散函数与相干线扩散函数的区别是没有零点

44、 3.5有像差系统的传递函数ido10出瞳像面( , )( , )exp( , )x yp x yjkW x y( ,)(,)(,)exp(,)iiiiiiiih x yFd xd yF pd xd yjkWd xd y( , )(,)(,)exp(,)iiiiiiHFddF pddjkWdd ( , ) (,)( , )( , )iix ydx dy dxdyx y dxdy 0),(),(exp),(exp),(SdxdyydxdjkWyxjkWiis 无像差有像差），（），（ 为实函数, 是厄米型的，IhI),(),( MM),(),(3.6相干与非相干成像系统比较3.6.1截止频率 OTF的截止频率是CTF截止频率的两倍（见73页例3.4.2）。但这并不意味着非相干照明一定比相干照明好一些。这是因为不同系统的截止频率是对不同物理量传递而言的。对于非相干系统，它是指能够传递的强度成余弦变化的最高频率。对于相干系统是指能够传递的复振幅分布成周期变化的最高频率。显然，从数值上对二