江苏高考解析几何压轴题30题

1、精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业1.如图，在平面直角坐标 系 xOy 中，已知椭圆的离心率为222210 xyabab，且右焦点 F 到左准线 l 的距离为 3.22（1）求椭圆的标准方程；（2）过 F 的直线与椭圆交于 A，B 两点，线段 AB 的垂直平分线分别交直线 l 和 AB 于点 P，C，若 PC=2AB，求直线 AB 的方程.解：（1）由题意得， ，且 ，解得 则，22ca23acc2,1,ac1b 所以椭圆的标准方程为 2212xy（2）当轴时，又，不合题意ABx2AB 3CP 当与轴不垂直时，设直线的方程为，ABxAB1yk x11,x yA22,xy将的方程代入椭圆

2、方程，得，AB2222124210kxk xk则，的坐标为，且221,2222 112kkxkC2222,1212kkkk2222221212122 2 1112kABxxyykxxk若，则线段的垂直平分线为轴，与左准线平行，不合题意0k ABy从而，故直线的方程为，0k PC222121212kkyxkkk 则点的坐标为，从而P22522,12kkk2222 31112kkPCkk因为，所以，解得2PCAB222222 3114 2 11212kkkkkk1k 此时直线方程为或AB1yx1yx 2.已知椭圆的离心率为，一个交点到相应的准线的距离为 3，圆 N 的方程为2222:1(0)xyM

3、abab12为半焦距）直线与椭圆 M 和圆 N 均只有一个公共点，分别设为 A、B.2222()(xcyac c:(0)l ykxm k（1）求椭圆方程和直线方程；BAOxylPC精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业（2）试在圆 N 上求一点 P，使。2 2PBPA精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业3.如图，已知椭圆 O：y21 的右焦点为 F，点 B，C 分别是椭圆 O 的上、下顶点，点 P 是直线 l：y2 上的一个动x24点（与 y 轴交点除外） ，直线 PC 交椭圆于另一点 M（1）当直线 PM 过椭圆的右焦点 F 时，求FBM 的面积； （2）记直线 BM，BP 的斜率

4、分别为 k1，k2，求证：k1k2为定值； 求的取值范围PB PM 解：（1）由题意，焦点，当直线 PM 过椭圆的右焦点 F 时，则直线 PM 的方程为，(0,1),(0, 1)BC( 3,0)F113xy即， 联立，解得或（舍） ，即 2 分313yx221,431,3xyyx8 3,71,7xy0,1xy 8 3 1(, )77M连 BF，则直线 BF：，即，而， 4 分113xy330 xy2BFa228 312 3|33|3777271( 3)d故 5 分113322277MBFSBF d A（2）解法一：设，且，则直线 PM 的斜率为，( , 2)P m 0m 1( 2)10kmm

5、则直线 PM 的方程为，联立化简得，解得，811yxm 2211,1,4yxmxy 2248(1)0 xxmm22284(,)44mmMmm分 所以， 所以为定值 10 分22212412148844mmmkmmmm21( 2)30kmm 123 1344kkmm 由知，(,3)PBm 2322222841212(,2)(,)4444mmmm mPMmmmmm 所以， 13 分324222212121536(,3) (,)444mm mmmPB PMmmmm 令，故，244mt 22(4)15(4)367887ttttPB PMtttt 因在上单调递增，故，即的取值范围为16 分87ytt (

6、4,)t8874794PB PMtt PB PM (9,)解法二：设点，则直线 PM 的方程为，令，得. 7 分000(,)0M xyx 0011yyxx2y 00(, 2)1xPy所以，所以0101ykx0200031211ykxxy （定值）.10 分220000122200003131311344 1yyyyk kxxxy 由知，00(,3)1xPBy 0000(,2)1xPMxyy 所以 20000000200023212311xyxxPB PMxyyyyy 精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业= 13 分 （第（第 4 题图）题图） 2000002004 12723211yyy

7、yyyy令，则，因为在上单调递减，010,2ty 8187ttPB PMttt 87ytt (0,2)t所以，即的取值范围为 16 分8872792PB PMtt PB PM (9,)4.如图，已知椭圆（）的左、右焦点为、，是椭圆上一点，在上，且满足12222byax0（ （ （ ba1F2FPM1PF（） ，为坐标原点.MPMF1RMFPO2O（1）若椭圆方程为，且，求点的横坐标；（2）若，求椭圆离心率的取值范围.14822yx（ （ （ （22PM2e解：（1） 22184xy12( 2,0),(2,0)FF2122,2,24OPF MF Mkkk 直线的方程为：，直线的方程为： 4 分2

8、F M2(2)yx 1FM2(2)4yx由解得： 点的横坐标为 6 分2(2)2(2)4yxyx 65x M65（2）设 00(,),(,)MMP xyM xy12FMMPuuuu ruuu rQ1002(,)(,)3MMFMxc yxc y00200212242(,),(,)333333MxcyF Mxcy ， 即 9 分2POF M00(,)OPxy 2000242()0333xc xy220002xycx联立方程得：，消去得：，解得：或 122200022002221xycxxyab0y222222002()0c xa cxaac0()a acxc0()a acxc分 解得：，综上，椭圆

9、离心率 的取值范围为150axa 0()(0, )a acxac20aacac 12e e1( ,1)2分 5.如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率xoyC)0( 12222babyax，左顶点为，过点作斜率为的直线 交椭圆于点，交21e)0 , 4(AA)0( kklCD轴于点. （1）求椭圆的方程; （2）已知为的中点，是否存在定点yECPAD，对于任意的都有，若存在，求出点的坐标；若不存在说明Q)0( kkEQOP Q理由; （3）若过点作直线 的平行线交椭圆于点，求的最小值.OlCMOMAEAD 解：（1）因为左顶点为，所以，又，所以.2 分( 4 0)A （4a 12e 2c

10、 又因为，所以椭圆 C 的标准方程为. 4 分22212bac2211612xyPDMAOxyE精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业（2）直线 的方程为，由消元得，.l(4)yk x2211612(4),xyyk x（22 (4)11612xk x 化简得，所以，. 6 分22(4)(43)1612)0 xkxk14x 222161243kxk当时，22161243kxk222161224(4)4343kkykkk所以.因为点为的中点，所以的坐标为，则.8222161224,4343()DkkkkPADP2221612,43 43()kkkk3(0)4OPkkk分直线 的方程为，令，得点

11、坐标为，假设存在定点，使得，l(4)yk x0 x E(0,4 )k( , )(0)Q m n m OPEQ则，即恒成立，所以恒成立，所以即1OPEQkk 3414nkkm (412)30mkn412030mn（30mn （因此定点的坐标为. 10 分Q( 3,0)（3）因为，所以的方程可设为，由得点的横坐标为，12 分OMlAOMykx2211612xyykx（M24 343xk 由，得 14 分OMlA2DAEADAMMxxxxxxADAEOMxx222221612149434 3343483kkkkk，当且仅当即时取等号，2216)2(243343kk 2264343kk32k 所以当时

12、，的最小值为 16 分32k ADAEOM2 26.如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆(ab0)的两焦点分别为 F1(，0)，F2(，0)，22221xyab33且经过点(，) （1）求椭圆的方程及离心率；312（2）设点 B，C，D 是椭圆上不同于椭圆顶点的三点，点 B 与点 D 关于原点 O 对称设直线 CD，CB，OB，OC 的斜率分别为 k1，k2，k3，k4，且 k1k2k3k4求 k1k2的值；求 OB2+OC2的值解：（1）方法一：依题意，c，a2b2+3，2 分3由，解得 b21(b2，不合，舍去)，从而 a24故所求椭圆方程为：离心率 e 5 分2213413bb342

13、214xy32方法二 由椭圆的定义知，2a4， 即 a2又因 c，故 b21下222211(33)(0)( 33)(0)223略（2）设 B(x1，y1)，C(x2，y2)，则 D(x1，y1)，于是 k1k2 8 分21212121yyyyxxxx12222221yyxx22212221(1)(1)44xxxx14yxOF1F2BC（第 17 题）D精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业方法一由知，k3k4k1k2，故 x1x214124y y所以，(x1x2)2(4y1y2)2，即(x1x2)2，所以，411 分221216(1)(1)44xx22221212164()xxx x221

14、2xx又 2，故所以，OB2+OC2 5 14 分22221212()()44xxyy222212124xxyy22121yy22221122xyxy方法二由知，k3k4k1k2将直线 yk3x 方程代入椭圆中，得 9 分142214xy2123414xk同理，所以，411 分下同方法一2224414xk22122234441414xxkk22334411414()4kk7.如图，已知椭圆其率心率为两条准线之间的距离为分别为椭圆的上、下顶点，过点),0( 1:2222 babyaxM,23CB,338M的直线分别与椭圆交于两点.)0)(2 ,( ttTTCTB,MFE,（1）椭圆的标准方程；

15、（2）若的面积是的面积的倍，求的最大值.MTBCTEFkk解：（1）由题意，解得，所以，椭圆方程为 4 分23 28 3,23caac2,3ac1b 2214xy（2）解法一解法一： ， 6 分12TBCSBC tt直线方程为：，联立，得，所以到的距离TB11yxt221411xyyxt284Etxt22284,44ttEtt:TC30 xtyt ， 直线方程为：，联立，得8 分222222242444212994t tttttt tdtttTC31yxt221431xyyxt22436Ftxt所以，所以2222436,3636ttFttTF22222243623636ttttt，10 分 2

16、2222222222222212336129129363636tttttttttt所以，22222222221292121211223636494TEFttt tt tSTF dttttt所以， 令，则，14 分222236412TBCTEFttSkSt21212tm22(8)(24)16192413mmkmmm 当且仅当，即时，取“” ， 所以的最大值为16 分24m 2 3t k43解法二：解法二：直线方程为，联立，得， 6 分TB11yxt221411xyyxt284Etxt直线方程为：，联立，得， 8 分TC31yxt221431xyyxt22436Ftxt精选优质文档-倾情为你奉上专

17、心-专注-专业 10 分1sin21sin2TBCTEFTB TCBTCSTB TCkSTE TFTE TFETFTCTBTETFxxxxTB TCTE TFxxxx， 12 分2222224368241212436tttttttttttt令，则，14 分21212tm22(8)(24)16192413mmkmmm 当且仅当，即时，取“” ，所以的最大值为 16 分24m 2 3t k438.如图,在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，直线 与轴交于点，与椭圆交xoy2222:1(0)xyCabab63lxEC于、两点. 当直线 垂直于轴且点为椭圆的右焦点时， 弦的长为.ABlxECAB2 63

18、（1）求椭圆的方程；（2）若点的坐标为，点在第一象限且横坐标为，连结点与原点的直线交椭CE3(,0)2A3AO圆于另一点，求的面积；（3）是否存在点，使得为定值？若存在，请指出点的坐标，CPPABE2211EAEBE并求出该定值；若不存在，请说明理由.解：（1）由，设，则，63ca3 (0)ak k6ck223bk所以椭圆的方程为，因直线 垂直于轴且点为椭圆的右焦点，即，代入椭圆方C2222193xykklxEC6ABxxk程，解得，于是，即，所以椭圆的方程为 5 分yk 2 623k 63k C22162xy（2）将代入，解得，因点在第一象限，从而，3x 22162xy1y A( 3,1)A

19、由点的坐标为，所以，直线的方程为，E3(,0)223ABkPA23()23yx联立直线与椭圆的方程，解得，PAC37(,)55B 又过原点，于是，所以直线的方程为，PAO(3, 1)P 4PA PA30 xy所以点到直线的距离，10 分BPA37 3553 325h13 36 34255PABS （3）假设存在点，使得为定值，设，E2211EAEB0(,0)E xyxBPAOEF1F2第 18 题精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业当直线与轴重合时，有，ABx202222220001221111(6)(6)( 6)xEAEBxxx当直线与轴垂直时， 由，解得，ABx22220011266

20、2(1)6xEAEBx20222001226(6)6xxx03x ，所以若存在点，此时，为定值 2. 12 分20626xE(3,0)E 2211EAEB根据对称性，只需考虑直线过点，设，又设直线的方程为，与AB( 3,0)E11( ,)A x y22(,)B xyAB3xmy椭圆联立方程组，化简得，所以，C22(3)2 330mymy1222 33myym12233y ym又，22222222111111111(1)(3)EAm yymyxy所以，212122222222221212()21111(1)(1)(1)yyy yEAEBmymymy y将上述关系代入，化简可得.综上所述，存在点，

21、使得为定值 216 分22112EAEB(3,0)E 2211EAEB9.如图，在平面直角坐标系中，椭圆 E：的离心率为，xOy22221(0)xyabab22直线 l：与椭圆 E 相交于 A，B 两点，C，D 是椭圆 E 上异于 A，B 两点，12yx2 5AB 且直线 AC，BD 相交于点 M，直线 AD，BC 相交于点 N.（1）求的值；（2）求证：直线 MN 的斜率为定值., a b解解：（1）因为 e ，所以 c2 a2，即 a2b2 a2，所以 a22b2 2 分ca221212故椭圆方程为1由题意，不妨设点 A 在第一象限，点 B 在第三象限 x22b2 y2b2由解得 A(b，

22、b)又 AB2，所以 OA，即 b2 b25，解得 b23故 a，b5 分y 12x， x22b2 y2b21，) 2 33 33554313 6 3（2）方法一方法一：由（1）知，椭圆 E 的方程为 1，从而 A(2，1)，B(2，1) x26 y23当 CA，CB，DA，DB 斜率都存在时，设直线 CA，DA 的斜率分别为 k1，k2，C(x0，y0)，显然 k1k2xyAOBCDMN(第 18 题图)精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业从而 k1 kCB 所以 kCB 8 分 y01x02 y01x02 y021x024 3(1sdo1(f(x02,6)1x024 2 x022x0

23、2412 12k1同理 kDB于是直线 AD 的方程为 y1k2(x2)，直线 BC 的方程为 y1(x2) 12k2 12k1由解得 从而点 N 的坐标为(，) y1 12k1(x2)，y1k2(x2)，) 4k1k24k122k1k21 2k1k24k212k1k21用 k2代 k1，k1代 k2得点 M 的坐标为(，) 11 分 4k1k24k222k1k21 2k1k24k112k1k21所以 kMN 1即直线 MN 的斜率为定值1 14 分 4(k1k2)4(k2k1)当 CA，CB，DA，DB 中，有直线的斜率不存在时，根据题设要求，至多有一条直线斜率不存在，故不妨设直线 CA 的

24、斜率不存在，从而 C(2，1)仍然设 DA 的斜率为 k2，由知 kDB此时 CA：x2，DB：y1(x2)，它们交点 M(2，1) 12k2 12k22k2BC：y1，AD：y1k2(x2)，它们交点 N(2，1)，从而 kMN1 也成立2k2由可知，直线 MN 的斜率为定值1 16 分方法二方法二：由（1）知，椭圆 E 的方程为 1，从而 A(2，1)，B(2，1) x26 y23当 CA，CB，DA，DB 斜率都存在时，设直线 CA，DA 的斜率分别为 k1，k2显然 k1k2直线 AC 的方程 y1k1(x2)，即 yk1x(12k1)由得(12k12)x24k1(12k1)x2(4k

25、124k12)0yk1x(12k1)， x26 y231)设点 C 的坐标为(x1，y1)，则 2x1，从而 x1 2(4k124k12)12k12 4k124k122k121所以 C(，)又 B(2，1)，所以 kBC 8 分 4k124k122k121 2k124k112k121 2k124k112k1211 4k124k122k1212 12k1所以直线 BC 的方程为 y1(x2)又直线 AD 的方程为 y1k2(x2) 12k1精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业由解得从而点 N 的坐标为(，) y1 12k1(x2)，y1k2(x2)，) 4k1k24k122k1k21 2k

26、1k24k212k1k21用 k2代 k1，k1代 k2得点 M 的坐标为(，) 11 分 4k1k24k222k1k21 2k1k24k112k1k21所以 kMN 1即直线 MN 的斜率为定值1 14 分 4(k1k2)4(k2k1)当 CA，CB，DA，DB 中，有直线的斜率不存在时，根据题设要求，至多有一条直线斜率不存在，故不妨设直线 CA 的斜率不存在，从而 C(2，1)仍然设 DA 的斜率为 k2，则由知 kDB此时 CA：x2，DB：y1(x2)，它们交点 M(2，1) 12k2 12k22k2BC：y1，AD：y1k2(x2)，它们交点 N(2，1)，从而 kMN1 也成立2k

27、2由可知，直线 MN 的斜率为定值1 16 分10.在平面直角坐标系中，已知椭圆 C：，的离心率为，且经过点，过椭圆的左顶点xOy22221(0)xyabab226(1,)2A 作直线 lx 轴，点 M 为直线 l 上的动点（点 M 与点 A 在不重合） ，点 B 为椭圆右顶点，直线 BM 交椭圆 C 于点 P（1） 求椭圆 C 的方程；（2） 求证：APOM；（3） 试问是否为定值？若是定值，请求出该定值；若不是，请说明理由OP OM 精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业11.如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左顶点为，与轴平行的直线与椭圆交于、xOy:E22221(0)xyababAx

28、EB两点，过、两点且分别与直线、AC垂直的直线相交于点已知椭圆的离心率为CBCABDE，右焦点到右准线的距离为 （1）求椭圆的标准方程； 534 55E（2）证明点在一条定直线上运动，并求出该直线的方程；（3）求面积的最大值DBCD解：（1）由题意得，解得，所以，53ca24 55acc3,5ac224bac所以椭圆的标准方程为4 分E22194xy（2）设，显然直线的斜率都存在，设为，0000(,),(,)B xyCxy,AB AC BD CD1234,k k k k 则，001200,33yykkxx00340033,xxkkyy 所以直线的方程为：，,BD CD0000000033(),

29、()xxyxxyyxxyyy 消去得，化简得，故点在定直线上运动10 分y0000000033()()xxxxyxxyyy3x D3x （3）由（2）得点的纵坐标为，又，所以，D2000000039(3)Dxxyxyyyy2200194xy2200994yx 则，所以点到直线的距离 为， 2000000009354(3)4Dyxyxyyyyy DBCh00005944Dyyyyy 将代入得，所以面积0yy22194xy203 14yx BCD2001196 12244ABCySBC hy，当且仅当，即时等号成立，220020012712727441242224yyyy2200144yy02y

30、故时，面积的最大值为 16 分02y BCD274xyDCOBA精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业12.如图，在平面直角坐标系中，分别是椭圆的左、右焦点，顶点的坐标为，xOy12,F F22221(0)xyababB0,b且是边长为的等边三角形. 求椭圆的方程；12BFF2 1过右焦点的直线 与椭圆交于两点，记，的面积分别为.若，求直线 的斜率. 22Fl,A C2ABF2BCF12,S S122SSl13.在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 ，C， D 分别为线段( 3,4), (9,0)AB精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业OA， OB 上的动点，且满足 AC=BD.（1

31、）若 AC=4，求直线 CD 的方程;（2）证明：OCD 的外接圆恒过定点(异于原点 O).解析：(1) 因为( 3,4)A ，所以22( 3)45OA ，1 分又因为4AC ，所以1OC ，所以3 4(, )5 5C ，由4BD ，得(5,0)D， 4 分所以直线的斜率，所以直线的方程为，即6 分CD40153755 CD1(5)7yx 750 xy（2)设( 3 ,4 )(01)Cmmm，则5OCm7 分则55ACOAOCm，因为ACBD，所以5 +4ODOBBDm，所以D点的坐标为 (5 +4,0)m8 分又设OCD的外接圆的方程为22+0 xyDx EyF，则有10 分2220,916

32、340,54540.FmmmDmEFmmDF解得(54),0DmF ,103Em ,所以OCD的外接圆的方程为22(54)(103)0 xymxmy，12 分整理得，令2243 =0,+2 =0 xyxyxy，所以0,0.xy（舍）或2,1.xy 22435 (2 )0 xyxym xy所以OCD的外接圆恒过定点为(2, 1)14 分14.如图，在平面直角坐标系中，离心率为的椭圆的左xOy22:C22221(0)xyabab顶点为，过原点的直线（与坐标轴不重合）与椭圆交于两点，直线分AOC,P Q,PA QA别与轴交于两点若直线斜率为时，y,M NPQ222 3PQ （1）求椭圆的标准方程；C

33、（2）试问以为直径的圆是否经过定点（与直线的斜率无关）？请证明你的结MNPQ论解：（1）设，直线斜率为时，分002(,)2P xxPQ222 3PQ 22002()32xx202x，椭圆的标准方程为 分22211ab2222cabeaa224,2abC22142xyNMQAOPxy精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业xyOABCDF（第 18 题）E（）以为直径的圆过定点设，则，且，即，MN(2,0)F 00(,)P xy00(,)Qxy2200142xy220024xy，直线方程为： ， ，( 2,0)A PA00(2)2yyxx002(0,)2yMx 直线方程为： ， 分QA00(2

34、)2yyxx002(0,)2yNx 以为直径的圆为，即， 12 分MN000022(0)(0)()()022yyxxyyxx222000220044044x yyxyyxx，令，解得，220042xy 2200220 xxyyy0y 2220 xy2x 以为直径的圆过定点16 分MN(2,0)F 15.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆22221(0)yxabab的右焦点为(1 0)F ，离心率为22分别过O， F 的两条弦 AB ，CD相交于点E（异于A，C两点） ，且OEEF（1）求椭圆的方程；（2）求证：直线AC， BD的斜率之和为定值解（1）由题意，得1c ，22cea，故2a ，

35、从而2221bac， 所以椭圆的方程为2212xy 5 分 （2）证明：设直线AB的方程为ykx， 直线CD的方程为(1)yk x ， 7 分 由得，点A，B的横坐标为2221k， 由得，点C， D 的横坐标为22222(1)21kkk， 9分 记11( )A x kx，22( )B xkx，33( (1)C xkx，44( (1)D xkx，则直线AC， BD的斜率之和为13241324(1)(1)kxkxkxkxxxxx132413241324(1)()()(1)()()xxxxxxxxkxxxx1234123413242()()()()()x xx xxxxxkxxxx13分 22222

36、13242(1)2420212121()()kkkkkkxxxx0 16 分16.椭圆C的右焦点为F，右准线为l，离心率为32，点A在椭圆上，以F为圆心，FA为半径的圆与l的两个公共点是,B D精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业（1）若FBD是边长为的等边三角形，求圆的方程；2（2）若,A F B三点在同一条直线上，且原点到直线的距离为2，求椭圆方程mm解：设椭圆的半长轴是a，半短轴是b，半焦距离是c，由椭圆C的离心率为32，可得椭圆C方程是222214xybb，2 分（只要是一个字母，其它形式同样得分， ）焦点( 3 ,0)Fb，准线43bx ，设点00(,)A xy，（1）FBD是

37、边长为的等边三角形，则圆半径为，且F到直线l的距离是，223又F到直线l的距离是223abbFMccc， 所以，所以33b3b 3 3c 所以，圆的方程是。 6 分22(3 3)4xy（2）因为,A F B三点共线，且F是圆心，所以F是线段AB中点，由B点横坐标是43b得，204222 33333axcbbbc， 8 分再由22002214xybb得：222200243xybb，063yb，所以直线m斜率0063233bykxcb 10 分直线m：2()yxc ，220 xyc12 分原点O到直线m的距离23cd ，依题意223c，6c ，所以2b ，所以椭圆的方程是22182xy15 分17

38、.如图，在平面直角坐标系中，椭圆 C：（）的左焦点为，右xOy22221xyab0abF顶点为 A，动点 M 为右准线上一点（异于右准线与轴的交点） ，设线段交椭圆 C 于xFM点 P，已知椭圆 C 的离心率为，点 M 的横坐标为 （1）求椭圆 C 的标准方程；2392（2）设直线 PA 的斜率为，直线 MA 的斜率为，求的取值范围1k2k12kk解：（1）由已知，得，22,39,2caacM A P FOx y 精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业18.已知椭圆 E：22221(a0)xybab+=过点(0,2），且离心率为22 (1)求椭圆 E 的方程； (2)设直线1xmymR=-

39、，()交椭圆 E 于 A，B 两点，判断点 G9(4-, 0)与以线段 AB 为直径的圆的位置关系，并说明理由解法一：()由已知得 2222,2,2,bcaabc=+解得222abc= 所以椭圆 E 的方程为22142xy+=精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业故222222012222|AB|52553(m +1)25172|GH|my(m +1)y042162(m2)m21616(m2)mmy+-=+=-+=+所以|AB|GH|2，故 G9(4-, 0)在以 AB 为直径的圆外解法二：()同解法一. ()设点1122(y ),B(,y ),A xx，则112299GA(,),GB(,

40、).44xyxy=+=+ 由22221(m2)y230,142xmymyxy=-+-=+=得所以12122223y +y =,y y =m2m2m+，121212129955GA GB()()(my)(my)4444xxy yy y=+=+ A22212122252553(m +1)25(m +1)y(y )4162(m2)m216mym y=+=-+22172016(m2)m +=+所以cos GA,GB0,GAGB 又，不共线，所以AGB为锐角 故点 G9(4-, 0)在以 AB 为直径的圆外19.如图，圆 O 与离心率为的椭圆 T：（）相切于点 M。2312222byax0 ba) 1

41、, 0(求椭圆 T 与圆 O 的方程；过点 M 引两条互相垂直的两直线、与两曲线分别交于点 A、C 与点 B、D（均不重合）.1l2lP 为椭圆上任一点，记点 P 到两直线的距离分别为、，求的最大值；1d2d2221dd若，求与的方程.MDMBMCMA431l2l解: (1)由题意知: 解得可知:222, 1,23abcbac3, 1, 2cba精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业椭圆的方程为与圆的方程4 分C1422 yxO122 yx(2)设因为,则),(00yxP1l2l202022221) 1(yxPMdd因为 所以,7 分142020 yx316)31(3) 1(4420202

42、02221yyydd因为 所以当时取得最大值为，此时点9 分110y310y2221dd316)31,324(P(3)设的方程为,由解得；由解：111l1 kxy1122yxkxy)11,12(222kkkkA14122yxkxy)4141,148(222kkkkC把中的置换成可得，12 分CA,kk1)11,12(222kkkkB)44,48(222kkkkD所以，)12,12(222kkkkMA)418,148(222kkkkMC)12,12(22kkkMB)48,48(22kkkMD由得解得15 分34MA MCMB MD 44413222kkk2k所以的方程为，的方程为1l12 xy2

43、l122xy或的方程为，的方程为16 分1l12 xy2l122xy20.已知圆过点,且与圆:关于直线对称.C) 1 , 1 (PM222(2)(2)(0)xyrr20 xy(1)求圆的方程； (2)设为圆上的一个动点,求的最小值；CQCPQ MQ (3)过点作两条相异直线分别与圆相交于,且直线和直线的倾斜角互补,为坐标原点,试判断直线和PCBA,PAPBOOP是否平行?请说明理由.AB解:(1)设圆心,则,解得 (3 分)C( , )a b222022212abba00ab则圆的方程为,将点的坐标代入得,故圆的方程为(5 分)C222xyrP22r C222xy(2)设,则,且 (7 分)(

44、 , )Q x y222xy(1,1) (2,2)PQ MQxyxy =,所以的最小值为 (可由线性规划或三角代换求得)(10 分)224xyxy2xyPQ MQ 4(3)由题意知, 直线和直线的斜率存在,且互为相反数,故可设,PAPB:1(1)PA yk x ,由,得 (11 分):1(1)PB yk x 221(1)2yk xxy 222(1)2 (1)(1)20kxkk xk精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业 因为点的横坐标一定是该方程的解,故可得 (13 分)P1x 22211Akkxk 同理,所以=22211Bkkxk(1)(1)2()1BABABAABBABABAyyk x

45、k xkk xxkxxxxxxOPk 所以,直线和一定平行 (16 分)ABOP21.已知圆的方程为，直线 的方程为，点在直线 上，过点作圆的切线，切M22(2)1xyl20 xyPlPM,PA PB点为 （1）若，试求点的坐标；,A B60APBP（2）若点的坐标为，过作直线与圆交于两点，当时，求直线的方程；P(2,1)PM,C D2CD CD（3）求证：经过三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标., ,A P M解：（1）设，由题可知，所以，解之得：(2 ,)Pm m2MP 22(2 )(2)4mm40,5mm故所求点的坐标为或P(0,0)P8 4( , )5 5P（2）设直线的方程为：，

46、易知存在，由题知圆心到直线的距离为，所以CD1(2)yk x kMCD22，221221kk解得，或，故所求直线的方程为：或 1k 17k CD30 xy790 xy（3）设，的中点，因为是圆的切线(2 ,)Pm mMP( ,1)2mQ mPAM所以经过三点的圆是以为圆心，以为半径的圆，故其方程为： , ,A P MQMQ2222()(1)(1)22mmxmym化简得：，此式是关于的恒等式，222(2)0 xyym xym故解得或 所以经过三点的圆必过定点或. 2220,20,xyyxy02xy1,1.xy, ,A P M(0,2)(1,1)22.已知椭圆 E：的离心率为，它的上顶点为 A，左

47、、右焦点分别为，直线 AF1，AF2分别22221(0)xyabab3312,F F交椭圆于点 B，C （1）求证:直线 BO 平分线段 AC； （2）设点 P（m，n） （m，n 为常数）在直线 BO 上且在椭圆外，过 P 的动直线 l 与椭圆交于两个不同点 M，N，在线段 MN 上取点 Q，满足，试证明点 Q 恒在一定直线MPMQPNQN上解:（1）由题意，则，故椭圆方程为，32ca3ac22222bacc2222132xycc即，其中，2222360 xyc(0, 2 )Ac1(,0)Fc直线的斜率为，此时直线的方程为，1AF21AF2()yxc精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业

48、联立得，解得（舍）和，即，2222360,2(),xycyxc2230 xcx10 x 232xc 32(,)22Bcc由对称性知 直线 BO 的方程为，线段 AC 的中点坐标为，32(,)22Ccc23yx32(,)44ccAC 的中点坐标满足直线 BO 的方程，即直线 BO 平分线段 AC32(,)44cc（2）设过 P 的直线 l 与椭圆交于两个不同点的坐标为，点，1122( ,),(,)M x yN xy( , )Q x y则，设，则，22211236xyc22222236xycMPMQPNQNMPMQPNQN,APPB AQQB 求得，1212,11xxxxmx1212,11yyyy

49、ny222222121222,11xxyymxny，2222222222221212112222223323(23)23611xxyyxyxymxnyc由于 m，n，C 为常数，所以点 Q 恒在直线上22360mxnyc23.椭圆 C： 两个焦点为，点 P 在椭圆 C 上，且,，.)0( 12222babyax12,F F211FFPF 211PF3221FF(1)求椭圆 C 的方程. (2)以此椭圆的上顶点 B 为直角顶点作椭圆的内接等腰直角三角形 ABC，这样的直角三角形是否存在？若存在，请说明有几个;若不存在，请说明理由.解：解：(1) ，又， 3221FF3c211FFPF ,27,4

50、4922212122PFFFPFPF, 所求椭圆 C 的方程为.1, 2, 4222221cabaPFPFa则1422 yx(2)假设能构成等腰直角三角形 ABC，其中，由题意可知，直角边不可能垂直或平行于轴，故可设) 1 , 0(BBCBA,x边所在直线的方程为， ,则边所在直线的方程为.BA1 kxy)0(k不妨设BC11-xky由得,故，221,44,ykxxy12280()14kxxk 舍，) 1418,418(222kkkkA 用代替上式中的，得,4118)418()418(2222222kkkkkkkABk1-k22418kkBC由 即即得,BCAB ,41)422kkk（3244

51、10,kkk 2(1)(31)0,kkk 故存在三个满足题设条件的内接等腰直角三角形.,2531, 0kkk或解得精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业24.已知椭圆：（）经过与两点，过原点的直线 与椭圆交于、两点，C12222byax0 ba) 1,1 (23,26lCAB椭圆上一点满足CM|MBMA （1）求椭圆的方程； （2）求证：为定值C222|2|1|1OMOBOA解：（1）将与代入椭圆的方程，得，（2 分）) 1,1 (23,26C143231112222baba解得，所以椭圆的方程为（6 分）32a232bC132322yx（2）由，知在线段的垂直平分线上，由椭圆的对称性知、

52、关于原点对称|MBMA MABAB若点、在椭圆的短轴顶点上，则点在椭圆的长轴顶点上，此时ABM（1 分）2112211|2|1|122222222baabbOMOBOA同理，若点、在椭圆的长轴顶点上，则点在椭圆的短轴顶点上，此时ABM（2 分）2112211|2|1|122222222babaaOMOBOA若点、不是椭圆的顶点，设直线 的方程为（） ，ABMlkxy 0k则直线的方程为设，OMxky1),(11yxA),(22yxM由，解得，（4 分）132322yxkxy221213kx2221213kky所以，同理可得，2221212221)1 (3|kkyxOBOA2222)1 (3|k

53、kOM所以（7 分）2)1 (3)2(2)1 (321)1 (321|2|1|1222222222kkkkkkOMOBOA综上，为定值（8 分）222|2|1|1OMOBOA225.已知左焦点为 F(1，0)的椭圆过点 E(1，)过点 P(1，1)分别作斜率为 k1，k2的椭圆的动弦 AB，CD，设 M，N 分2 33别为线段 AB，CD 的中点（1）求椭圆的标准方程；（2）若 P 为线段 AB 的中点，求 k1； （3）若 k1+k2=1，求证直线 MN 恒过定点，并求出定点坐标OABMxyOABMxy精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业解解：依题设 c=1，且右焦点(1，0)F所以，

54、2a=，b2=a2c2=2，故所求的椭圆的标准方程为 4 分EFEF222 32 3(1 1)2 33322132yx(2)设 A(，)，B(，)，则，1x1y2x2y2211132xy2222132xy，得 所以，k1= 9 分21212121()()()()032xxxxyyyy212121212()423()63PPyyxxxxxyyy (3)依题设，k1k2设 M(,)，直线 AB 的方程为 y1=k1(x1)，即 y=k1x+(1k1)，亦即 y=k1x+k2，MxMy代入椭圆方程并化简得 于是，11 分2221122(23)6360kxk k xk1221323Mk kxk2212

55、23Mkyk同理，1222323Nk kxk122223Nkyk当 k1k20 时，直线 MN 的斜率 k=13 分MNMNyyxx222211212146()9()kk kkk k kk21211069k kk k直线 MN 的方程为，即 ，2211222211121063()92323kk kk kyxk kkk21211222221211110610632()992323k kk kk kkyxk kk kkk亦即 此时直线过定点15 分2121106293k kyxk k2(0,)3当 k1k2=0 时，直线 MN 即为 y 轴，此时亦过点综上，直线 MN 恒过定点，且坐标为 16 分

56、2(0,)32(0,)326.已知椭圆的中心在原点，长轴在 x 轴上，右顶点到右焦点的距离与它到右准线的距离之比为. O(2,0)A23不过 A 点的动直线交椭圆于 P,Q 两点12yxmO（1）求椭圆的标准方程； （2）证明 P,Q 两点的横坐标的平方和为定值；（3）过点 A,P,Q 的动圆记为圆 C，动圆 C 过不同于 A 的定点，请求出该定点坐标.解：（1）设椭圆的标准方程为.由题意得.2 分分012222babyax23, 2ea, , 2 分分 椭圆的标准方程为.4 分分3c1b 1422 yx（2）证明：设点 将带入椭圆，化简得：),(),(2211yxQyxPmxy210) 1(

57、2222mmxx1,6 分分 , 212122 ,2(1)xxmx xm 222121212()24xxxxx xP,Q 两点的横坐标的平方和为定值 4.7 分分（3）(法一)设圆的一般方程为:,则圆心为（）,220 xyDxEyF,22DEPQ 中点 M(), PQ 的垂直平分线的方程为:, 8 分分2,mmmxy232 圆心（）满足，所以,9 分分2,2EDmxy232 322EDm2精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业O1C2Cxy. .圆过定点(2,0)，所以,10 分分420DF3圆过, 则 两式相加得：1122(,),(,)P xyQ xy2211112222220,0,xy

58、DxEyFxyDxEyF 22221212121220,xxyyDxDxEyEyF,11 分分222212121212(1)(1)()()2044xxxxD xxE yyF, .12 分分12yym5220mDmEF4因为动直线与椭圆 C 交与 P,Q（均不与 A 点重合）所以，12yxm1m由解得: 13 分分2343(1)3335,42222mDEmFm 代入圆的方程为：,223(1)3335()042222mxyxmym整理得：,14 分分22335333()()0422422xyxymxy所以：15 分分 解得：或(舍). 223350,4223330,422xyxyxy0,1,xy2

59、,0 xy 所以圆过定点(0,1).16 分分( (法二法二) ) 设圆的一般方程为:,将代入的圆的方程:220 xyDxEyFmxy21.8 分分024522FmEmxEDmx5方程与方程为同解方程., 11 分分1522122(1)542EmmEFmDmm圆过定点(2,0)，所以 , 12 分分 024FD因为动直线与椭圆 C 交与 P,Q（均不与 A 点重合）所以.mxy211m解得: ,13 分分 (以下相同以下相同)3(1)3335,42222mDEmFm 27.如图，在平面直角坐标系中，已知圆，圆xOy1) 1( :221yxC. 1)4()3( :222yxC（1）若过点的直线

60、被圆截得的弦长为，求直线 的方程；)0 , 1(1Cl2C56l（2）设动圆同时平分圆的周长、圆的周长. 证明：动圆圆心在一条定直线上运动； C1C2CC动圆是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由.C解：思路一：设圆：（） ，C220 xyDxEyF2240DEF精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业OxyABl 易得圆：， 圆：，1C2220 xyx2C2268240 xyxy 由得，将代入得，(2)0DxEyF1( 1 0)C ，2FD 由得，将代入得， (6)(8)240DxEyF2(3 4)C，6ED 代入得，整理得， 22(6)20 xyDxDyD22(1)6